人教版數學八年級上冊尺規(guī)作圖教學及習題課件

尺規(guī)作圖課件及習題八年級上數學吳老師2.幾種基本尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖概念3.尺規(guī)作圖習題目錄Contents

只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)也可以畫出一些圖形，這種畫圖的方法被稱為尺規(guī)作圖.

這種作圖方法不必用具體數值，只按給定圖形進行再作圖，這也是它與畫圖的區(qū)別所在.什么是尺規(guī)作圖圓規(guī)功能以平面上任意一點為圓心，任意長為半徑作圓或圓弧，也可在直線上截取一段，使它等于已知線段尺規(guī)作圖我們把只能使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖直尺功能①在兩點間連結一條線段；②過平面上兩點作直線或作射線什么是尺規(guī)作圖1.用直尺作圖的幾何語言：①過點×、點×作直線××；或作直線××；或作射線××；②連接兩點××；或連結××；③延長××到點×；或延長（反向延長）××到點×，使××＝××；或延長××交××于點×.2.用圓規(guī)作圖的幾何語言：①在××上截取××＝××；②以點×為圓心，××的長為半徑作圓（或?。?；③以點×為圓心，××的長為半徑作弧，交××于點×；④分別以點×、點×為圓心，以××、××的長為半徑作弧，兩弧相交于點×、×.尺規(guī)作圖的幾何語言2.幾種基本尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖概念3.尺規(guī)作圖習題目錄Contents

1.作一條線段等于已知線段2.作一個角等于已知角3.在給定邊角條件下，求作三角形4.作已知角的角平分線5.經過一已知點做一直線的垂線6.作一已知線段的垂直平分線幾種基本的尺規(guī)作圖1.作一條線段等于已知線段已知：線段MN＝a，求作一條線段AB，使AB=a.aMNACB作一條線段等于已知線段作一條線段等于已知線段已知：線段AB，如圖.求作：線段A′B′，使A′B′=AB作法圖示（1）作射線A′C′（2）以點A′為圓心，以AB的長為半徑作弧，交射線A′C′于點B′，線段A′B′即為所求作一條線段等于已知線段對點典例剖析典例1

如圖，已知線段a，b，作線段AB=a+b．（要求：保留作圖痕跡）作一條線段等于已知線段-典型例子［答案］

解：作法：①作線段AC=a；②在線段AC的延長線上作CB=b．線段AB就是所求作的線段，如圖所示．［解題思路］可先作一條線段等于已知線段a，進而在所作線段的延長線上再作一條線段等于線段b即可.作一條線段等于已知線段-典型例子

例

如圖，已知線段a，b（a＞b），求作等腰三角形，使其底邊長為a-b，兩腰長分別為a．作一條線段等于已知線段-典型例子［解析］先作線段AB=a，再截取AC=b，然后分別以點C，B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧相交于點D，則△BCD即為所求．作一條線段等于已知線段-典型例子［答案］

解：如圖，△BCD即為所求．1.以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交OA，OB于點C，D.作法：2.作一條射線O,A,.以點O,為圓心，OC長為半徑作弧

,交O,A,于點C,

.3.以點C,為圓心，CD長為半徑作弧

,交弧于點D,.4.過點O,、D,作射線O,B,.∠A,O,B,是所求作的角.ABODC例1已知∠AOB，求作∠A,O,B,,使∠A,O,B,=∠AOB.C,D,A,O,B,2.作一個角等于已知角ABODC例1已知∠AOB，求作∠A,O,B,,使∠A,O,B,=∠AOB.C,D,A,O,B,證明：連接CD,C,D,（SSS）(作法)(作法)(作法)在△OCD與△O,C,D,中∴△OCD≌△O,C,D,

∴∠A,O,B,=∠AOBOC=O,C,OD=O,D,CD=C,D,2.作一個角等于已知角對點典例剖析典例2

已知∠AOB，利用尺規(guī)作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．2.作一個角等于已知角-典型例子［答案］解：作法：①作∠DO′B′=∠AOB；②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D=∠AOB.∠A′O′B′就是所求作的角，如圖所示.［解題思路］按照作圖步驟作兩個有一條公共邊的角等于已知角.2.作一個角等于已知角-典型例子對點典例剖析典例3

如圖，已知∠α，求作一個角∠β，使得∠β=3∠α，并作∠β的平分線．2.作一個角等于已知角-典型例子［答案］解：如圖，∠AOB即為所求作的角∠β，OE為∠β的平分線.［解析］按照作一個角等于已知角的方法作出∠β=3∠α，再按照作一個角的平分線的方法作∠β的平分線.2.作一個角等于已知角-典型例子全等三角形的判定方法：判定方法1：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS)判定方法2：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(ASA)判定方法3：兩角及一等角的對邊分別相等的兩個三角形全等(AAS)判定方法4：三條邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)溫故知新全等三角形的判定方法知識點用尺規(guī)作三角形2

我們由三角形全等的判定可以知道，每一種判定兩個三角形全等的條件(_____，_____，_____，_____)，都只能作出唯一的一個三角形.SSSSASASAAAS3.用尺規(guī)作三角形(1)如圖，△ABC中有六個元素，只要已知其中的哪幾個元素就可作出這個三角形呢？BACabc①已知三邊；②已知兩邊及其夾角；③已知兩角及其夾邊；④已知兩角和其中一角的對邊.知道△ABC的六個元素中的某三個元素，根據確定三角形的條件，以下四種情況可作出△ABC.實驗與探究三角形六要素中某三要素可以確定一個三角形例

已知三邊，用尺規(guī)作三角形.如圖，已知線段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c,BC=a，AC=b.已知三邊，用尺規(guī)作三角形（SSS）分析：由作一條線段等于已知線段，能夠作出邊AB，即A，B兩點確定.而BC=a，AC=b，故以點A為圓心，b為半徑畫弧，以點B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧的交點就是點C.三角形作圖-已知三邊作三角形三角形作圖-已知三邊作三角形已知：線段a，b，c(如圖).求作：△ABC，使BC=a，AB=c

，AC=b.作法：①作線段BC=a；②分別以點B，C為圓心，以c，b為半徑在BC的同側作弧，記兩弧的交點為A；△ABC就是所求作的三角形.③連接AB，AC

；abcBCAA′三角形作圖-已知三邊作三角形DE例3已知∠a，∠b和線段a，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠A=∠a，∠B=∠b，AB=a.作法:1.作一條線段AB=a.2.分別以A，B為頂點，在AB的同側作∠DAB=∠a，∠EBA=∠b，DA與EB相交于點C.△ABC就是所求作的三角形.aabBAC畫三角形——已知兩角及夾邊ASA分析：根據夾邊的概念和題目所給的條件，可以考慮先作出夾邊，然后再以夾邊的端點作為角的頂點進一步確定兩個角。三角形作圖-已知兩角及夾邊根據夾邊的概念和題目所給的條件，可以考慮先作出夾角，然后再在夾角的兩邊截取已知兩邊，連接兩個端點例5

已知線段a，c和∠a，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠ABC＝∠a，AB=c,BC=a.畫三角形——已知兩邊及夾角SASBAaacCac△ABC就是所求作的三角形.分析：三角形作圖-已知兩邊及夾角已知兩角及一角對應的邊，方法一方法二三角形作圖-已知兩角及一角對應的邊只要設法把三條線段首尾順次相接即可.三角形的畫法總結：已知兩角夾邊，先畫邊,再畫兩角;已知兩邊夾角，先畫角,再在角的兩邊分別截取兩邊。已知三邊,三角形的畫法總結AOB如圖，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分線.方法歸納交流

用尺規(guī)作已知角的角平分線(或是以已知角的一邊為公共邊，作某角等于已知角)的作圖原理，實則是圓的基本性質與三角形全等判定定理的綜合運用.4.作已知角的平分線AOB作法：（1）在射線OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；DE（2）分別以點D，E為圓心、大于線段DE長的一半為半徑畫弧，在∠AOB內兩弧交于點C；C（3）作射線OC.則射線OC就是所求作的∠AOB的平分線.否則得不到點C或交點C不明顯.作已知角的平分線AOBDEC如何證明∠AOC＝∠BOC？如何證明角平分法AOBDEC如圖，連結EC、DC.∵OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC∴△OCD≌△OCE（S.S.S.），∴∠AOC＝∠BOC.如何證明角平分法（1）以已知角的頂點為圓心、適當長為半徑作弧交已知角的兩邊于兩點（2）再分別以這兩個交點為圓心、大于這兩點的距離的一半為半徑作弧，兩弧交于一點（3）以已知角的頂點為頂點過兩弧交點作射線,射線就是已知角的平分線作已知角的平分線如何過一點P作已知直線l的垂線呢？P點P與已知直線l

的位置關系有兩種：點P在直線l上或點P在直線

l外.5.經過一已知點作已知直線的垂線(1)點P在直線l上作法：①在直線l

上點P

的兩旁分別截取線段PA，PB，使PA=PB；③過點C，P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.PlABC

經過一已知點作已知直線的垂線答:如圖，具體作法如下:①以點P為圓心，適當的長為半徑作弧，使它與AB交于點

弧交于點Q.③作直線PQ.直線PQ就是經過直線AB上一點P的AB的垂線.經過一已知點作已知直線的垂線(2)點P在直線l外P作法：①任意取一點K，使點K和點P在l兩旁；②以點P為圓心，PK長為半徑作弧，交l于點D和E；

④作直線PF.

直線PF即為所求垂線.KDEF經過一已知點作已知直線的垂線（2）當點C在直線AB外CBA①以點C為圓心，作能與直線AB相交于D、E兩點的??；DE②作∠DCE的平分線.F直線CF就是要求作的垂線.△CDE為等腰三角形.由“三線合一”可知，只需作出∠DCE的平分線，則該平分線所在的直線就是要求作的垂線.經過一已知點作已知直線的垂線過直線上一點作垂線過直線外一點作垂線經過一已知點作已知直線的垂線ABlOp線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.垂直平分線的定義?線段垂直平分線的性質？垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.6.畫垂直平分線DC例2已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作線段AB的垂直平分線.作法:1.分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，相交于點C，D；2.過點C，D作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.AB畫垂直平分線思考

如圖，已知直線l是線段AB的垂直平分線，則直線l是線段AB的對稱軸，對l上的任意兩點C、D，總有：ABDClCA＝CB，DA＝DB由此，你能發(fā)現作垂直平分線的方法嗎?作已知線段的垂直平分線已知：如圖，線段AB.求作：線段AB的垂直平分線CD.BA作法：

（1）分別以點A和點B為圓心、大于AB一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點C和點D；CD（2）作直線CD.直線CD就是要求作的線段AB的垂直平分線.作已知線段的垂直平分線如何證明直線CD垂直平分線段AB？BACD如何證明垂直平分線BACD如圖，連結CA、CB、DA、DB.∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD（S.S.S.），∴∠ACD＝∠BCD.∴CD垂直平分線段AB（等腰三角形的“三線合一”）.如何證明垂直平分線2.幾種基本尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖概念3.尺規(guī)作圖習題目錄Contents

如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(

A

)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB與CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBA習題

角平分線的作法

55習題變式演練

如圖，已知∠AOB，用尺規(guī)作圖作∠AOC＝∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OA，OB于點E，F，那么第二步的作圖痕跡②的作法是(

D

)DA.以點F為圓心，OE長為半徑畫弧B.以點F為圓心，EF長為半徑畫弧C.以點E為圓心，OE長為半徑畫弧D.以點E為圓心，EF長為半徑畫弧習題

用尺規(guī)作垂線

A.CF平分∠ACBB.CF⊥ABC.CF平分ABD.CF垂直平分ABB習題3.已知：如圖，線段a，b，∠α，求作：△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，

作圖略.作出符合要求的三角形，關鍵是根據條件確定三角形的三個頂點的位置.解題時候要根據實際情況判斷是否存在多個符合題設條件的△ABC.習題3.直線l表示一條公路，點A和點B表示兩個村莊.現要在公路上造一個加油站到兩個村莊的距離相等，問加油站應建在何處？請在圖上標明這個地點，并說明理由.B.A.l習題4.有A,B,C三農戶準備一起挖一口井，使它到三農戶家的距離相等.這口井應挖在何處？請在圖中標出井的位置，并說明理由.A

.C

.B

.習題2.如圖是作△ABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）.A.已知兩邊及夾角B.已知三邊C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及一邊對角C習題2.做出圖中三角形的三個角的平分線。內心習題1.已知∠α、∠β，求作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β.αβ習題2.已知∠α、∠β，求作∠ABC，使∠ABC=∠α-∠β.αβ習題5.在ABC中,BC＝5cm,AC＝3cm,AB＝3.5cm,∠B＝35°,∠C＝45°,請你選擇適當數據,畫與△ABC全等的三角形，說一說你有幾種辦法呢？CAB3.5cm5cm3cm習題1.利用尺規(guī)不能唯一作出的三角形是（）

A.已知三邊B.已知兩邊及夾角

C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及其中一邊的對角DC2.利用尺規(guī)不可作的直角三角形是（）A.已知斜邊及一條直角邊B.已知兩條直角邊C.已知兩銳角D.已知一銳角及一直角邊習題

3.如圖△ABC,在圖中找一點O,使它到△ABC的三邊距離都相等.點O應在何處？請在圖中標出點O的位置，并說明理由.ACB習題4.已知:∠β和線段a,b，用尺規(guī)作ΔABC，使∠B=∠β,BC=a,AC=b，這樣的三角形能作幾個？bab習題AOB如何將∠AOB四等分?【想一想】習題

已知：如圖，已知∠AOB.求作：射線OC,使∠AOC:∠COB=1:3.作法：（1）作∠AOB的平分線OP；（2）作∠AOP的平分線OC，射線OC,將∠AOB分成1:3的兩部分.習題1.如圖，已知△ABC，用尺規(guī)作圖作∠ACB的平分線CD．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）習題解：如圖所示：DC即為所求．習題

習題解：如圖所示：1.如圖，A、B、C三個居民區(qū)的位置成三角形，現決定在這三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）A.AC，BC兩邊高線的交點處B.AC，BC兩邊中線的交點處C.AB，BC兩邊垂直平分線的交點處D.∠A，∠B兩內角平分線的交點處【解析】根據線段垂直平分線的性質，在線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，可知超市應該建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點處.C習題2.如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′關于某直線對稱，請你作出它們的對稱軸.ABCDA′B′C′D′EF解：如圖，直線EF即為所求對稱軸.分析：連接任意兩個對應點作其垂直平分線即是.習題3.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點，并說明理由.··CABa作法：作點B關于直線

a的對稱點點C,連接AC交直線a于點D，則點D為建抽水站的位置.·D習題3.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點，并說明理由.··CABa·D解：在a

上另外任取一點E，連接AE，

CE，BE，BD,AD.易得DB=DC，EB=EC，所以AD+DB=AD+DC=AC，AE+EB=AE+EC.在△ACE中，AE+EC＞AC,即AE+EC＞AD+DB,所以抽水站應建在河邊的點D處.E·習題AC+CB=AC+CB1=AB1,AC1+C1B=AC1+C1B1＞AB1.所以最短路徑是AC+BC.草地河BAC1CB1l“牧馬飲水問題2”：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到河邊某處飲馬，再回到B處，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？請畫出最短路徑.當點A、B位于直線

l的同側時，作點B關于直線l的對稱點B1，連接AB1，與直線l的交點，即為直線l上到A、B距離之和最短的點.習題

1.如圖，點P在∠O的一邊上，試過點P作該角兩邊的垂線.OPAB習題2.如圖，作△ABC邊BC上的高.ABCDAD就是要求作的高.習題BACD線段AB的中點①找線段中點②作任意三角形的三邊的中線習題BA

1.四等分已知線段AB.習題

2.如圖，作△ABC的邊BC的垂直平分線.ABCEF直線EF就是要求作的垂直平分線.習題4.如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D，E為兩個頂點作三角形，使所作出的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以作出（）A.2個B.4個C.6個D.1個ACBEDB已知線段b，∠β，如圖所示.求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.bβ習題

已知：線段a，b，c，如圖所示.

求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC邊上的中線AD=c.abc習題如圖，用尺規(guī)作出∠OBF＝∠AOB，作圖痕跡

是(

)A．以點B為圓心，OD為半徑的弧B．以點B為圓心，DC為半徑的弧C．以點E為圓心，OD為半徑的弧D．以點E為圓心，DC為半徑的弧D例1習題1.尺規(guī)作圖的畫圖工具是(

)A．刻度尺、圓規(guī)B．三角板和量角器C．直尺和量角器D．沒有刻度的直尺和圓規(guī)D練習題練1.利用基本作圖方法，不能作出唯一三角形的是(

)A．已知兩邊及其夾角B．已知兩角及其夾邊C．已知兩邊及一邊的對角D．已知三邊C習題2.根據下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是(

)A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝3，BC＝4，CA＝1D．∠C＝90°，AB＝6A習題1.

已知∠

AOB

，用尺規(guī)作一個角∠A'O'B'等于已知角∠

AOB

的作圖痕跡如圖所示，則判斷∠

AOB

＝∠A'O'B'所

用到的三角形全等的判定方法是(

D

)A.SASB.ASAC.AAS