蘇科版數(shù)學(xué)九下第五章二次函數(shù)綜合經(jīng)典題歸類復(fù)習(xí)(附練習(xí)及解析)

2015年初三數(shù)學(xué)《二次函數(shù)綜合題》歸類復(fù)習(xí)1．圖像與性質(zhì)：例1．(2014年四川資陽(yáng)，第24題12分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）分三種情況：①當(dāng)MA=MB時(shí)；②當(dāng)AB=AM時(shí)；③當(dāng)AB=BM時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）平移后的三角形記為△PEF．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中．分二種情況：①當(dāng)0＜m≤時(shí)；②當(dāng)＜m＜3時(shí)；討論可得用m的代數(shù)式表示S．解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則，解得．故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）①當(dāng)MA=MB時(shí)，M（0，0）；②當(dāng)AB=AM時(shí)，M（0，﹣3）；③當(dāng)AB=BM時(shí)，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形記為△PEF．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得．則直線AB的解析式為y=﹣x+3．△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′，則，解得．則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中．①當(dāng)0＜m≤時(shí)，如圖1所示．設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)M（3﹣m，2m）。故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF?h=﹣（3﹣m）2﹣m?2m=﹣m2+3m．②當(dāng)＜m＜3時(shí)，如圖2所示．設(shè)PE交AB于K，交AC于H．因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3﹣m，又因?yàn)橹本€AC的解析式為y=﹣2x+6，所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=6﹣2m，所以點(diǎn)H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA?PH﹣PA2=﹣（3﹣m）?（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．綜上所述，當(dāng)0＜m≤時(shí)，S=﹣m2+3m；當(dāng)＜m＜3時(shí)，S=m2﹣3m+．點(diǎn)評(píng)： 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線的對(duì)稱軸，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．2．旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例2.（2014?福建泉州，第22題9分）如圖，已知二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．（1）寫(xiě)出該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）若將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)？考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化－旋轉(zhuǎn)．分析： （1）由于拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（2，0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1；（2）作A′B⊥x軸與B，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=OA′=1，A′B=OB=，則A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可判斷點(diǎn)A′為拋物線y=﹣（x﹣1）2+的頂點(diǎn)．解答： 解：（1）∵二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1；（2）點(diǎn)A′是該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．理由如下：如圖，作A′B⊥x軸于點(diǎn)B，∵線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），∴點(diǎn)A′為拋物線y=﹣（x﹣1）2+的頂點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），對(duì)稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x=﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3．與三角形結(jié)合：例3．（2014?廣西賀州，第26題12分）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．專題： 綜合題．分析： （1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答： （1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2；（2）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=x2上，∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直線y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x軸，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（﹣2，3）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練基本知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．4．與四邊形結(jié)合：例4．（2014?福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判斷：四邊形DECF一定是什么形狀？②裁剪：當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊：請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說(shuō)明你的折法和理由．考點(diǎn)： 四邊形綜合題分析： （1）①根據(jù)有兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據(jù)△ADF∽△ABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)h的值．（2）第一步，沿∠ABC的對(duì)角線對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，使DA1⊥BB1．解答：. 解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF是平行四邊形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm，∴AG==12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=，∴x=×20，∵S=xh=x?×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．（2）第一步，沿∠ABC的對(duì)角線對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，使DA1⊥BB1．理由：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論．5．新定義題：例5．（2014?安徽省,第22題12分）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．（1）請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值．考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．專題： 新定義．分析： （1）只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可．（2）由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題．解答： 解：（1）設(shè)頂點(diǎn)為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上．當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上．∵兩個(gè)函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點(diǎn)相同，開(kāi)口都向上，∴兩個(gè)函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1．∵5＞0，∴函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上．①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，∴y2隨x的增大而減小．∴當(dāng)x=0時(shí)，y2取最大值，最大值為5（0﹣1）2=5．②當(dāng)1＜x≤3時(shí)，∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，∴y2隨x的增大而增大．∴當(dāng)x=3時(shí)，y2取最大值，最大值為5（3﹣1）2=20．綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值為20．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開(kāi)口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力．而對(duì)新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵．6．運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題：例6．（2014?廣東，第25題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 相似形綜合題．分析： （1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．解答： （1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=2，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示．又∵EF⊥AD，∴EF為AD的垂直平分線，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴當(dāng)t=2秒時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10，此時(shí)BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，此時(shí)PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示．過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化簡(jiǎn)得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△PEF為直角三角形．點(diǎn)評(píng)： 本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類型．第（1）問(wèn)考查了菱形的定義；第（2）問(wèn)考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問(wèn)考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．7．代數(shù)與幾何綜合：例7.（2014?廣西玉林市、防城港市，第26題12分）給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1．（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a的值；（2）若把直線l向上平移k2+1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線r，則無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．①求此拋物線的解析式；②若P是此拋物線上任一點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）直線與拋物線的交點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即橫縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很使用于韋達(dá)定理．由其中有涉及頂點(diǎn)，考慮頂點(diǎn)式易得a值．（2）①直線l：y=kx向上平移k2+1，得直線r：y=kx+k2+1．根據(jù)無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C：y=ax2+bx+1都只有一個(gè)交點(diǎn)，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．這雖然是個(gè)方程，但無(wú)法求解．這里可以考慮一個(gè)數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡(jiǎn)單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗(yàn)，進(jìn)而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能滿足k=1，2時(shí)，并不滿足任意實(shí)數(shù)k，所以可以再代回△=中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去．②求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫(huà)出大致的示意圖．發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再進(jìn)行比較．這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），進(jìn)而易求OP，PQ．解答： （1）解：∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時(shí)有A，B兩交點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．∵B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴0=xA+xB=，∴k=1．∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，∴頂點(diǎn)（﹣，1﹣）在y=x上，∴﹣=1﹣，解得a=﹣．（2）①解：∵無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)，∴k=1時(shí)，k=2時(shí)，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k=1時(shí)，r：y=x+2，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，∵△==0，∴（b﹣1）2+4a=0，當(dāng)k=2時(shí)，r：y=2x+5，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，∵△==0，∴（b﹣2）2+16a=0，∴聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組，解得或．∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，∴△=．當(dāng)時(shí)，△===0，故無(wú)論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，△==，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．∴C：y=﹣x2+1．②證明：根據(jù)題意，畫(huà)出圖象如圖1，由P在拋物線y=﹣x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），連接OP，過(guò)P作PQ⊥直線y=2于Q，作PD⊥x軸于D，∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，∴OP====，PQ=2﹣yP=2﹣（﹣x2+1）=，∴OP=PQ．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及圖象，圖象平移解析式變化，韋達(dá)定理及勾股定理等知識(shí)，另涉及一些數(shù)學(xué)技巧，學(xué)生解答有一定難度，需要好好理解掌握．8．面積問(wèn)題：例8．（2014?溫州，第21題10分）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過(guò)頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）求△EMF與△BNE的面積之比．考點(diǎn)： 拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）直接將（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用EM∥BN，則△EMF∽△BNF，進(jìn)而求出△EMF與△BNE的面積之比．解答： 解：（1）由題意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EMF∽△BNF是解題關(guān)鍵．9．探究型問(wèn)題：例9．（2014?舟山，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長(zhǎng)為m，△BED的面積為S．（1）當(dāng)m=時(shí)，求S的值．（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式．（3）①若S=時(shí)，求的值；②當(dāng)m＞2時(shí)，設(shè)=k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題專題： 綜合題．分析： （1）首先可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2），再由m的值，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)及BE、OE的長(zhǎng)度，易得△ABE∽△CBO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出CO，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當(dāng)0＜m＜2時(shí)，將BE?DO轉(zhuǎn)化為AE?BO，求解；（II）當(dāng)m＞2時(shí)，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式；（3）①首先可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)===k，可得S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，從而可得===k，代入即可得出k的值；②可得===k，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2），S=m，代入可得k與m的關(guān)系．解答： 解：（1）∵點(diǎn)A在二次函數(shù)y=x2的圖象上，AE⊥y軸于點(diǎn)E且AE=m，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2），當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），∴BE=OE=1．∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸，∴△ABE∽△CBO，∴==，∴CO=2，∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴DO=CO=2，∴S=BE?DO=×1×2=；（2）（I）當(dāng)0＜m＜2時(shí)（如圖1），∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴△BOD≌△BOC，∵△BEA∽△BOC，∴△BEA∽△BOD，∴=，即BE?DO=AE?BO=2m．∴S=BE?DO=×2m=m；（II）當(dāng)m＞2時(shí)（如圖2），同（I）解法得：S=BE?DO=AE?OB=m，由（I）（II）得，S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m＞0且m≠2）．（3）①如圖3，連接AD，∵△BED的面積為，∴S=m=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），∵===k，∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，∴===k，∴k===；②k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=m2，如圖4，連接AD，∵===k，∴S△ADF=k?S△BDF?S△AEF=k?S△BEF，∴===k，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2），S=m，∴k===m2（m＞2）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，難度較大．10．存在性問(wèn)題：例10．（2014年廣東汕尾，第25題10分）如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y=﹣3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知在在x軸下方對(duì)稱軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖所示：①若BC∥AP1，確定梯形ABCP1．此時(shí)P1與D點(diǎn)重合，即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②若AB∥CP2，確定梯形ABCP2．先求出直線CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．當(dāng)x=0，y=﹣3．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴對(duì)稱軸為直線x==1．∵AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）；②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）．綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）結(jié)論：存在．如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：①若BC∥AP1，此時(shí)梯形為ABCP1．由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，可知BC∥x軸，則P1與D點(diǎn)重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四邊形ABCP1為梯形；②若AB∥CP2，此時(shí)梯形為ABCP2．∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，∴可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直線CP2的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)P2在拋物線y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化簡(jiǎn)得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四邊形ABCP2為梯形．綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，6）．點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，三角形的面積，梯形的判定．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．11．應(yīng)用題型：利潤(rùn)問(wèn)題。例11．（2014?武漢2014?武漢，第29題10分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：時(shí)間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價(jià)（元/件）x+4090每天銷量（件）200﹣2x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用分析： （1）根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量，可得利潤(rùn)，可得答案；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．解答： 解：（1）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200，當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，綜上所述：y=；（2）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口下，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=45，當(dāng)x=45時(shí)，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=50時(shí)，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元；（3）當(dāng)20≤x≤60時(shí)，每天銷售利潤(rùn)不低于4800元．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．12．求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題：例12．（2014?武漢，第25題12分）如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)．（1）直線AB總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）當(dāng)k=﹣時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB=90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程－因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題： 壓軸題．分析： （1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無(wú)關(guān)即可．（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個(gè)定點(diǎn)C，容易得到DC長(zhǎng)就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．解答： 解：（1）∵當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=（﹣2）k+2k+4=4．∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（﹣2，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，4）．（2）∵k=﹣，∴直線的解析式為y=﹣x+3．聯(lián)立，解得：或．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PQ，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．∵點(diǎn)P在直線AB下方，∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ?AM+PQ?BN=PQ?（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）?5=5．整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．當(dāng)a=﹣2時(shí)，yP=×（﹣2）2=2．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）．當(dāng)a=1時(shí)，yP=×12=．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（1，）．（3）過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F，如圖2．∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2．AE=yA﹣yE=m2﹣t2．BF=yB﹣yF=n2﹣t2．ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t．∵，∴=．化簡(jiǎn)得：mn+（m+n）t+t2+4=0．∵點(diǎn)A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點(diǎn)，∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0兩根．∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線DG，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DG，垂足為G，如圖3所示．∵點(diǎn)C（﹣2，4），點(diǎn)D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG，∴DC====2．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，如圖3所示，∴DH≤DC．∴DH≤2．∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時(shí)，點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大值為2．∴點(diǎn)D到直線AB的最大距離為2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，考查了通過(guò)解方程組求兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、用割補(bǔ)法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強(qiáng)．構(gòu)造K型相似以及運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)的關(guān)鍵，點(diǎn)C是定點(diǎn)又是求點(diǎn)D到直線AB的最大距離的突破口．13．與一元二次方程結(jié)合：例13．（10分）（2014?孝感，第22題10分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（2）試說(shuō)明x1＜0，x2＜0；（3）若拋物線y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OA?OB﹣3，求k的值．考點(diǎn)： 拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系分析： （1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，說(shuō)明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；（3）不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）．利用x1，x2表示出OA、OB的長(zhǎng)，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及OA+OB=2OA?OB﹣3即可列方程求解．解答： 解：（1）由題意可知：△=【﹣（2k﹣3）】2﹣4（k2+1）＞0，即﹣12k+5＞0∴．（2）∵，∴x1＜0，x2＜0．（3）依題意，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）．∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），OA?OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，∵OA+OB=2OA?OB﹣3，∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，解得k1=1，k2=﹣2．∵，∴k=﹣2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是另y=0，得到的方程的兩根，則滿足一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．14．雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：例14．(2014?襄陽(yáng)，第26題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為；拋物線的解析式為．（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題分析： （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸與矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）先根據(jù)勾股定理可得CE，再分兩種情況：當(dāng)∠QPC=90°時(shí)；當(dāng)∠PQC=90°時(shí)；討論可得△PCQ為直角三角形時(shí)t的值；（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，根據(jù)S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．解答： 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，解得a=﹣1．故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）依題意有：OC=3，OE=4，∴CE===5，當(dāng)∠QPC=90°時(shí)，∵cos∠QPC==，∴=，解得t=；當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，∵cos∠QCP==，∴=，解得t=．∴當(dāng)t=或t=時(shí)，△PCQ為直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得．故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，將x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ?AG+FQ?DG=FQ（AG+DG）=FQ?AD=×2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1，∴當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．故答案為：（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．點(diǎn)評(píng)： 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線的對(duì)稱軸，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)的最值，以及分類思想的運(yùn)用．15．與圓結(jié)合：例15．（2014?益陽(yáng)，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．考點(diǎn)： 相似形綜合題．分析： （1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)CE=BC?sin∠B求出CE，再根據(jù)AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，求出AP，再根據(jù)在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB，②當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，求出AP=3，根據(jù)≠且≠，得出△PCB與△ADP不相似．（3）先求出S1=x?，再分兩種情況討論：①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根據(jù)S1=x?BM2代入計(jì)算即可．②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+），最后根據(jù)S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC?sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．（2）存在．若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP與△CPB相似，此時(shí)x=2．②∵當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．則≠且≠，此時(shí)△PCB與△ADP不相似．（3）如圖，因?yàn)镽t△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x?（）2=x?，①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM．則BM為△PCB外接圓的半徑．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．②∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴當(dāng)x=時(shí)，S=S1+S2取得最小值x．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類討論．適應(yīng)性練習(xí)；1．（2014?浙江寧波，第23題10分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=x+1，并寫(xiě)出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．2．（2014?四川自貢，第24題14分）如圖，已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=x﹣2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=x﹣2與y軸的交點(diǎn)，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△ABC為直角三角形；（3）△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2014?浙江湖州，第23題分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2014年江蘇南京，第24題）已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？5．（2014?呼和浩特，第25題12分）如圖，已知直線l的解析式為y=x﹣1，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D（1，）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線的大致圖象；（2）已知點(diǎn)P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．6．（2014?濱州，第23題9分）已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而變化的情況；（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及△ABC的面積．7．（2014?德州，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2014?菏澤，第21題10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9．（1）求證：無(wú)論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5），求此拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，若點(diǎn)M是線段AN上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線MC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，記點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)P是線段MC上一點(diǎn)，且滿足，連結(jié)CD，PD，作PE⊥PD交x軸于點(diǎn)E，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)E，使得PE=PD？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2014?濟(jì)寧，第22題11分）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點(diǎn)C；（1）求該拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（10分）（2014?蘇州）如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣3），點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的圖象；拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)與不等式（組）分析： （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三點(diǎn)，代入得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，求得a，b，c，從而得出二次函數(shù)的解析式；（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，從而得出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）畫(huà)出圖象，再根據(jù)圖象直接得出答案．解答： 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三點(diǎn)，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣1；（2）當(dāng)y=0時(shí)，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）；（3）圖象如圖，當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜4．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的圖象、拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，是中檔題，要熟練掌握．2．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題分析： （1）由直線y=x﹣2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，則B、C坐標(biāo)可求．進(jìn)而代入拋物線y=ax2﹣x+c，即得a、c的值，從而有拋物線解析式．（2）求證三角形為直角三角形，我們通?？紤]證明一角為90°或勾股定理．本題中未提及特殊角度，而已經(jīng)A、B、C坐標(biāo)，即可知AB、AC、BC，則顯然可用勾股定理證明．（3）在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點(diǎn)為C，AB、AC、BC邊上各有一點(diǎn)，②AB邊上有兩點(diǎn)，AC、BC邊上各有一點(diǎn)．討論時(shí)可設(shè)矩形一邊長(zhǎng)x，利用三角形相似等性質(zhì)表示另一邊，進(jìn)而描述面積函數(shù)．利用二次函數(shù)最值性質(zhì)可求得最大面積．解答： （1）解：∵直線y=x﹣2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y=ax2﹣x+c過(guò)B、C兩點(diǎn)，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣2．（2）證明：如圖1，連接AC，∵y=x2﹣x﹣2與x負(fù)半軸交于A點(diǎn)，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴AC=，在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，∵AB=AO+BO=1+4=5，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC為直角三角形．（3）解：△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為，理由如下：①一點(diǎn)為C，AB、AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖2，此時(shí)△AGF∽△ACB∽△FEB．設(shè)GC=x，AG=﹣x，∵，∴，∴GF=2﹣2x，∴S=GC?GF=x?（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，即當(dāng)x=時(shí)，S最大，為．②AB邊上有兩點(diǎn)，AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖3，此時(shí)△CDE∽△CAB∽△GAD，設(shè)GD=x，∵，∴，∴AD=x，∴CD=CA﹣AD=﹣x，∵，∴，∴DE=5﹣x，∴S=GD?DE=x?（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣[（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，即x=1時(shí)，S最大，為．綜上所述，△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，最值問(wèn)題及相似三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度適中，適合學(xué)生鞏固知識(shí)．3．分析：（1）①將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值；②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c．解：（1）①∵AC∥x軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得；②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由①得拋物線的解析式為y═﹣x2﹣4x+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，8），過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形．（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，∴OC=c，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c，∵將A點(diǎn)代入可得c=﹣+c?c+c，∴橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（﹣2，2）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式，以及函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法．4．考點(diǎn)：二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應(yīng)用分析：（1）求出根的判別式，即可得出答案；（2）先化成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)得出即可．解析：（1）證明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函數(shù)y=（x﹣m）2+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=（x﹣m）2的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，把函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目比較好，有一定的難度．5．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，再根據(jù)A（m，0）在拋物線上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)四邊形PAFB的面積S=AB?PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12，進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，依此即可求解．解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0），D（1，），∴，解得a=﹣，b=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，∵A（m，0）在拋物線上，∴0=﹣m2﹣m+2，解得m=﹣4，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）．如圖所示：（2）∵直線l的解析式為y=x﹣1，∴S=AB?PF=×6?PF=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）=﹣x2﹣3x+9=﹣（x+2）2+12，其中﹣4＜x＜0，∴S的最大值是12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（3）∵直線PB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，2），B（2，0），∴PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，∴直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)的最值問(wèn)題，四邊形的面積求法，以及關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征．6．考點(diǎn)： 拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的三種形式分析： （1）配方后求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出AB、CD，根據(jù)三角形面積公式求出即可．解答： 解：（1）y=x2﹣4xx+3=x2﹣4x+4﹣4+3=（x﹣2）2﹣1，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣1），當(dāng)x≤2時(shí)，y隨x的增大而減少；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，即A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），過(guò)C作CD⊥AB于D，∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的三種形式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較典型，難度適中．7．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）根據(jù)A的坐標(biāo)，即可求得OA的長(zhǎng)，則B、C的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，和C的直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解；（3）據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)，則DF=OC，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)．解答： 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+x，則，解得：，則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過(guò)點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．∴P2N∥x軸，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，則AC==4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2．則﹣x2+3x+1=2，解得：x=，∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，0）或（，0）．點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．8．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）令y=0，則x2﹣2mx+m2﹣9=0，根據(jù)根的判別式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞0，所以無(wú)論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）直接將C點(diǎn)（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根據(jù)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB），求出m的值即可；（3）假設(shè)E點(diǎn)存在由直角三角形的性質(zhì)可以得出∠MEP=∠CPD．再根據(jù)條件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，設(shè)C（x0，y0），則D（4﹣x0，y0），P（x0，y0）．根據(jù)PM=DC就有|2x0﹣4|=﹣y0，由C點(diǎn)在拋物線上有|2x0﹣4|=﹣（x02﹣4x0﹣5），分兩種情況求出x0的值就可以得出結(jié)論．解答： 解：（1）令y=0，則x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2