河南省漯河市2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷（含解析）

漯河市高一上學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題.1.已知集合和集合，則等于（）A. B. C. D.2.設，則“”是“函數(shù)在上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若定義在上的奇函數(shù)在上單調遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標是（）A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.6.設函數(shù)是上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，實數(shù)m，n滿足不等式，則下列不等關系成立的是（）A. B. C. D.8.已知，，且，有下列不等式：①；②；③；，其中成立的不等式的個數(shù)有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題9.下列式子不正確的是（）A. B.C. D.10.設函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)11.下列說法不正確的是（）A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.集合，，若，則實數(shù)的取值集合為C.“”是“”的充分不必要條件D.若存在使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍三、填空題12.已知關于的不等式的解集為，則_________.13.冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則_________.14.已知函數(shù)的圖像在上連續(xù)不斷，定義：若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”，若函數(shù)是上的“2函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是_________.四、解答題15.（13分）（1）計算.（2）計算.（3）化簡：.（4）已知，求的值.16.（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.（1）求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)在上的解析式；（3）若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17，（15分）某工廠生產某種零件的固定成本為20000元，每生產一個零件要增加投入100元，已知總收入Q（單位：元）關于產量x（單位：個）滿足函數(shù)：（1）將利潤P（單位：元）表示為產量x的函數(shù)；（總收入=總成本+利潤）（2）當產量為何值時，零件的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）當產量為何值時，零件的單位利潤最大？最大單位利潤是多少元？18.（17分）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并證明在上單調遞增；（2）已知且，若對于任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.（17分）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，則稱函數(shù)是上的凹函數(shù).已知二次函數(shù)（，）.（1）求證：函數(shù)是凹函數(shù)；（2）求在上的最小值，并求出的值域.參考答案題號1234567891011答案BACDADCCABBDABD1.B【詳解】，，.2.A【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由函數(shù)在上單調遞增可得，即，所以“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充分不必要條件.故選：A3.C【分析】首先將轉化為或，根據(jù)函數(shù)單調性解和，進而可以求出結果.【詳解】因為，所以或，因為在上單調遞增，且，所以，因為在上為奇函數(shù)，所以在上單調遞增，且，因此，綜上：不等式的解集為.故選：C.4.D【詳解】因為（且），所以令，則，，所以過定點.故選：D.5.A【分析】根據(jù)已知判斷得出函數(shù)的奇偶性，結合時，函數(shù)值的正負，即可得出答案.【詳解】由已知的定義域為，關于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故C、D錯誤；當時，，所以，故B錯誤.故選：A.6.D【解析】由條件利用函數(shù)的單調性的性質可得，解不等式組即可求解.【詳解】由函數(shù)是上的單調遞增函數(shù)，可得，解得.故實數(shù)的取值范圍為.故選：D7.C【解析】有關函數(shù)值的不等式，要得出自變量大小關系，考慮利用函數(shù)的性質轉化，所以先判斷函數(shù)的奇偶性，將函數(shù)化為，得出函數(shù)的單調性，即可求出結論.【詳解】的定義域為，，為奇函數(shù)，，，在上為增函數(shù)，且大于0，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，化為，等價于，.故選：C.8.C【分析】對于①，根據(jù)，結合即可判斷；對于②，根據(jù)，，且，可得，即可判斷；對于③，將式子變形利用基本不等式即可求解；對于④，可利用基本不等式求的最值，從而得出結果.【詳解】①因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以，即，①正確：②因為，，，所以，所以，②正確；③，當且僅當時等號成立，所以③錯誤；④，所以，當且僅當時等號成立，④正確；所以有3個不等式成立.9.AB10.BD【詳解】對于A：令，則，所以A中的函數(shù)是偶的數(shù)，所以A錯誤；對于B：令，則，所以B中的函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確：對于C：令，則，故C錯誤；對于D：令，則，故D正確.故選：BD11.ABD【分析】由全稱量詞命題的否定，集合的運算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域問題對選項逐一判斷.A選項：命題“，都有”的否定“，使得”，故A錯誤；B選項：當時，滿足題意，故B錯誤；C選項：當時，可推出，但當時，無法推出，故“”是“”的充分不必要條件，C正確；D選項：令，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，又因為，所以時，，則，故D錯誤；故答案：ABD.12.16【分析】根據(jù)給定的條件，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系計算作答.【詳解】因關于的不等式的解集為，則是方程的二根，則有，解得，，所以.故答案為：16.13.3【解析】由冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是單調遞減函數(shù)，可得，且為偶數(shù)，，且.解出即可，【詳解】冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，且為偶數(shù)，，且.解得，，且，只有時滿足為偶數(shù).，故答案為：3.14.【分析】根據(jù)函數(shù)在上恒成立，分離得在上恒成立，求出的最值，即可得解.【詳解】由題可得函數(shù)在上恒成立即在上恒成立，，故答案為15.（1）（2）5；（3）（4）【詳解】（1）（4）因為，兩邊同時平方可得：，再將兩邊同時平方可得：，所以.16.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題利用即可求解；（2）當，則，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及當時，，可得函數(shù)在時的解析式，進而得到函數(shù)在上的解析式；（3）根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同，結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，可分析出函數(shù)的單調性，進而將原不等式變形，解不等式可得實數(shù)t的取值范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得（2）由（1）當，又是奇函數(shù)，，，（3）由及函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，由的圖像知為上的增函數(shù)，，，.【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質，及在對稱區(qū)間上單調性的關系是解答本題的關鍵.17.（1）（2）當月產量為300個時利潤最大，最大利潤為25000元（3）當產量為20個，零件的單位利潤最大，最大單位利潤是100元【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合利潤公式，即可直接求得.（2）由二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質，分段求出的最值，即可求出答案.（3）設零件的單位利潤為，得到的解析式，再結合基本不等式的公式，即可求解.【詳解】（1）當時，，當時，，故.（2）當時，；故當時，；當時，是減函數(shù)，故.所以當月產量為300個時，自行車廠的利湤最大，最大利淘為25000元.（3）設零件的單位利潤為，則，當時，，當且僅當，即時，等號成立，當時，，故當產量為200個，零件的單位利潤最大，最大單位利潤是100元.18.（1），證明見解析（2）【分析】（1）由奇函數(shù)的性質可得出，求出，利用函數(shù)奇偶性的定義可驗證函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調性的定義可證得結論成立；（2）略【詳解】略19.（1）證明見解析（2），值域為【分析】（1）代入求出，的表達式，作差化簡，即可得出證明；（2）先求出二次函數(shù)的對稱軸為，根據(jù)對稱軸與的關系，得出在各段上的表達式，根據(jù)函數(shù)的性質即可得出函數(shù)