【課件】實際問題與二元一次方程方程組課件人教版（2024）+數學七年級下冊

2025年春人教版

數學

七年級下冊第十章

二元一次方程組10.3實際問題與二元一次方程組學習目標1.學會運用二元一次方程組解決較復雜的實際問題.（難點）2.進一步經歷和體驗方程組解決實際問題的過程.3.能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題.（重點）生活中，有很多需要進行配套的問題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和電機等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？情境導入知識點一

列方程組解決簡單實際問題養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12只大牛和5只小牛，這時1天約用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計每只大牛1天約需飼料18到20kg，每只小牛1天約需飼料7到8kg.你認為李大叔估計的準確嗎？新知講解問題1

題中有哪些未知量，你如何設未知數？未知量:每頭大牛1天需用的飼料;每頭小牛1天需用的飼料.設未知數：設每頭大牛和每頭小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg.問題2題中有哪些等量關系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用飼料為675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg.新知講解解:設每頭大牛和小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg.根據等量關系，列方程組：答:每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料為20kg和5kg，飼養(yǎng)員李大叔估計每天大牛需用飼料18到20kg，每頭小牛一天需用7到8kg與計算有一定的出入.

+

=675,

+

=940.30x15y42x20y解方程組：x=

,

y=

.205新知講解劇情發(fā)展：隨著養(yǎng)牛場規(guī)模逐漸擴大，李大叔需聘請飼養(yǎng)員協(xié)助管理現(xiàn)有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養(yǎng)員每人可負責8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養(yǎng)員每人可負責5頭大牛和2頭小牛，請問李大叔應聘請甲、乙兩種飼養(yǎng)員各多少人？8x5y4x2y解得：解：設李大叔應聘請甲種飼養(yǎng)員x人，乙種飼養(yǎng)員y人，則：

+

=42,

+

=20.x=4,y=2.答：李大叔應聘請甲種飼養(yǎng)員4人，乙種飼養(yǎng)員2人.新知講解解題小結：用二元一次方程組解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的_________；(2)設元：用___________表示題目中的未知數；(3)列方程組：根據___個等量關系列出方程組；(4)解方程組：利用__________法或_________法解出未知數的值；(5)檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.數量關系字母2代入消元加減消元新知講解例1

某市舉辦中學生足球比賽，規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分.市第二中學足球隊比賽11場，沒有輸過一場，共得27分，試問該隊勝幾場，平幾場？分析：題中的未知量有勝的場數和平的場數，等量關系有：勝的場數+平的場數=11；勝場得分+平場得分=27.勝場平場合計場數得分x3xyy1127新知講解解：設市第二中學足球隊勝x場，平y(tǒng)場.依題意可得8y3xy3答：該市第二中學足球隊勝8場，平3場.x新知講解例2

某城市規(guī)定：出租車起步價所包含的路程為0～3km，超過3km的部分按每千米另收費.甲說：“我乘這種出租車走了11km，付了17元.”乙說：“我乘這種出租車走了23km，付了35元.”請你算一算：出租車的起步價是多少元？超過3km后，每千米的車費是多少元？分析本問題涉及的等量關系有：總車費=0～3km的車費(起步價)+超過3km的車費.新知講解解：設出租車的起步價是x元,超過3km后每千米收費y元.

根據等量關系,得解這個方程組，得答：這種出租車的起步價是5元，超過3km后每千米收費1.5元.起步價超過3km后的費用合計費用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735新知講解據統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現(xiàn)要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？請?zhí)崛祵W信息知識點二

列方程組解決幾何問題轉換成數學語言：ADCB已知：長方形ABCD，

AB=CD=200m，AD=BC=100m，長方形ABCD分割為兩個小長方形，長方形1和長方形2分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產量的比是1:2.目標：甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4新知講解這里研究的實際上是什么問題.把一個長方形分成兩個小長方形有哪些分割方式？豎著畫，把長分成兩段，則寬不變橫著畫，把寬分成兩段，則長不變長方形的面積分割我們可以畫出示意圖來幫助分析試著畫一畫新知講解豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4等量關系式有幾個？新知講解豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4先求出兩種作物的面積S長方形AEFD=100xS長方形EFCB=100y再寫出兩種作物的總產量甲：100x×1乙：100y×2則列方程為

100x:200y=3:4總產量=xy200m100設AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.則列方程為x+y=200單位面積產量×面積新知講解豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBExy200m100my=80.甲種作物乙種作物解：根據題意列方程組為

過點E作EF⊥AB，交CD于點F.設AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.

100x:200y=3:4.x+y=200,解得x=120,答：將這塊土地分為長120m,寬100m和長100m,寬80m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.

新知講解橫著畫，把寬分成兩段，則長不變ADCBExyF乙種作物甲種作物200y200x200m100mx+y=100,解：過點E作EF⊥AD，交BC于點F.設DE＝xm，AE＝y(tǒng)m.

200x:400y=3:4.x=60,y=40.解得根據題意列方程組為答：將這塊土地分為長200m,寬60m和長200m,寬40m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.

新知講解例18塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位:cm）60x+y=60,x=3y.解:設小長方形地磚的長為x,寬為y,由題意,得解此方程組得：x=45,y=15.答:小長方形地磚的長為45cm,寬為15cm.新知講解

小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？知識點三

列方程組解決行程問題新知講解分析：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的時間+走下坡路的時間=________，走上坡路的時間+走平路的時間=_______．路程=平均速度×時間1015新知講解（直接設元法）平路時間坡路時間總時間上學放學解：設小華家到學校平路長xm，下坡路長ym.根據題意，可列方程組：解方程組，得.所以，小明家到學校的距離為700m.新知講解

例1

甲、乙兩人相距4km，以各自的速度同時出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多少？分析：對于行程問題，一般可以借助示意圖表示題中的數量關系，可以更加直觀的找到相等關系.（1）同時出發(fā)，同向而行甲出發(fā)點乙出發(fā)點4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程新知講解（2）同時出發(fā)，相向而行甲出發(fā)點乙出發(fā)點4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：設甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據題意，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.新知講解實際問題設未知數、找等量關系、列方程（組）

數學問題[方程(組)]解方程（組）數學問題的解雙檢驗實際問題的答案

知識點四

列方程組解決較復雜的實際問題新知講解例1如圖,長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連，這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產品運到B地.已知公路運價為1.5

元/（噸·千米），鐵路運價為1.2元/（噸·千米），這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元，這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？·長青化工廠公路10千米新知講解分析：銷售款與產品數量有關，原料費與原材料有關.設制成x噸產品，購買y噸原料.根據題意填寫下表：1.5×

20x1.2×

110x8000x1.5×

10y1.2×

120y1000y1500097200價值（元）

鐵路運費（元）公路運費（元）合計原料y噸產品x噸新知講解解:根據圖表，列出方程組解方程組得

x=300，

y=400.8000x-1000y-15000-97200=8000×300-1000×400-15000-97200=1887800（元）.答：這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元.1.5×20x+1.5×10y=15000，1.2×110x+1.2×120y=97200.新知講解1.我國的長江由西至東奔騰不息，其中九江至南京約有450千米的路程，某船從九江出發(fā)9個小時就能到達南京；返回時則用多了1個小時.求此船在靜水中的速度以及長江水的平均流速.

答：輪船在靜水中的速度為47.5千米/時，長江水的平均流速為2.5千米/時.隨堂練習2.某班有40名同學看演出，購買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，乙種票每張8元.請問甲種和乙種票各多少張？

隨堂練習3.一個工廠共42名工人,每個工人平均每小時生產圓形鐵片120片或長方形鐵片80片.已知兩片圓形鐵片與一片長方形鐵片可以組成一個圓柱形密封的鐵桶.你認為如何安排工人的生產,才能使每天生產的鐵片正好配套?解：設生產圓形鐵片的工人x人，生產長方形鐵片的工人y人，根據題意列出方程組得解得答：生產圓形鐵片的工人24人，生產長方形鐵片的工人18人.隨堂練習4.某工地挖掘機的臺數和裝卸機的臺數之和為2