2025屆福建省莆田一中等中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆福建省莆田一中等中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點在曲線上，過作軸垂線，設(shè)與曲線交于點，，且點的縱坐標(biāo)始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．32．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．333．已知集合，集合，則A． B．或C． D．4．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項和（）A．100 B．210 C．380 D．4005．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．26．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．8．的展開式中含的項的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．809．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．10．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．11．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．201712．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時，面積為最小，政府投資最低？14．已知，，，且，則的最小值為___________．15．已知向量滿足，，則______________.16．甲、乙兩人同時參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為和；乙筆試、面試通過的概率分別為和．若筆試面試都通過才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為拋物線過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點.（1）求的值及圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.18．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．19．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）如圖，在中，角的對邊分別為，且滿足，線段的中點為.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）已知，求的大小.21．（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點E，使平面DEM，求的值22．（10分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減；當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標(biāo)運算,考查零點存在性定理的應(yīng)用.2、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．4、B【解析】

設(shè)公差為，由已知可得，進(jìn)而求出的通項公式，即可求解.【詳解】設(shè)公差為，，，,.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前項和，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.7、A【解析】

是函數(shù)的零點，根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性．函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)．8、B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數(shù)為．故選：B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.10、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當(dāng)r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用．11、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．12、D【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運算將復(fù)數(shù)化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】

（1）以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，，進(jìn)而表示直線的方程，由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍，進(jìn)而對原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元，再令進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，.所以直線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以.因為點在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時，取得最大值，取最小值.答：當(dāng)時，面積為最小，政府投資最低.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.14、【解析】

由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點睛】此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.15、1【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為，所以又所以所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率；乙被錄取的概率；只有一人被錄取的概率.故答案為：.【點睛】本題考查獨立事件概率的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2，；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意得的方程為，根據(jù)為拋物線過焦點的弦，以為直徑的圓與相切于點..利用拋物線和圓的對稱性，可得，圓心為，半徑為2.（2）設(shè)，的方程為，代入的方程，得，根據(jù)直線與拋物線相切，令，得，代入，解得.將代入的方程，得，得到點N的坐標(biāo)為，然后求解.【詳解】（1）解：由題意得的方程為，所以，解得.又由拋物線和圓的對稱性可知，所求圓的圓心為，半徑為2.所以圓的方程為.（2）證明：易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)，的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點N的坐標(biāo)為，所以，，故.【點睛】本題主要考查拋物線的定義幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18、A【解析】

由正弦定理化簡得，解得，進(jìn)而得到，利用正切的倍角公式求得，根據(jù)三角形的面積公式，求得，進(jìn)而化簡，即可求解.【詳解】由題意，在銳角中，滿足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，則，所以，可得，又由的面積，所以，則.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.19、(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中運用正弦、余弦定理后可得．（2）由經(jīng)三角變換可得，然后運用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴．∴面積的最大值為．點睛：（1）正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時要注意整體代換的應(yīng)用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起．（2）運用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件，在解題中必須要注明．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正弦定理邊化角，再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解；（Ⅱ）可設(shè)，由，再由余弦定理解得，對中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進(jìn)而得解【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（Ⅱ）設(shè)，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用，屬于中檔題21、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)題意證出，，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵為等邊三角形，N是AD的中點，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點Q，連接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在點E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點A的三等分點.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力，屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.22、（2），（2），的最大整數(shù)是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，，為等比數(shù)列，所以，化簡計算得，，從而得到數(shù)列的通項公式，再計算出，，，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數(shù)列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；（3）由題意可知，，即，這個可看成一個數(shù)列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，，利用同樣的方法可得.【詳解】解：（2）由題，當(dāng)時，，即當(dāng)時，①②①-②得，整理得，又因