習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂求和與展開

習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂求和與展開

求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問題:判別斂散;求收斂域;求與函數(shù);級(jí)數(shù)展開、為傅立葉級(jí)數(shù)、為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得審斂法1、利用部分與數(shù)列得極限判別級(jí)數(shù)得斂散性2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用她法判別積分判別法部分與極限3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂例1、

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂、證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂例2、判別下列級(jí)數(shù)得斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級(jí)數(shù)發(fā)散、因調(diào)與級(jí)數(shù)發(fā)散,利用比值判別法,可知原級(jí)數(shù)發(fā)散、用比值法,可判斷級(jí)數(shù)因n充分大時(shí)∴原級(jí)數(shù)發(fā)散、用比值判別法可知:時(shí)收斂;時(shí),與p

級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散、再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂、時(shí)發(fā)散、發(fā)散,收斂,例3、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與也收斂、提示:

因

存在N>0,又因利用收斂級(jí)數(shù)得性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確、都收斂,證明級(jí)數(shù)當(dāng)n>N時(shí)例4、設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且就是否也收斂？說明理由、但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂、問級(jí)數(shù)提示:

對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散、例如,取例5、討論下列級(jí)數(shù)得絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1時(shí),條件收斂;p≤0時(shí),發(fā)散、(2)因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù)

原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、故因單調(diào)遞減,且但所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂、由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂;12大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、二、求冪級(jí)數(shù)收斂域得方法?標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處得斂散性、例7、求下列級(jí)數(shù)得斂散區(qū)間:解:當(dāng)因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂、故收斂區(qū)間為解:

因故收斂區(qū)間為級(jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;例2、解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成得級(jí)數(shù)極限不存在∵原級(jí)數(shù)=∴其收斂半徑注意:?求部分與式極限三、冪級(jí)數(shù)與函數(shù)得求法求與?映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)與式積分或求導(dǎo)難直接求與:直接變換,間接求與:轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求與,再代值求部分與等?初等變換法:分解、套用公式(在收斂區(qū)間內(nèi))?數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求與例1、

求冪級(jí)數(shù)法1

易求出級(jí)數(shù)得收斂域?yàn)榉?先求出收斂區(qū)間則設(shè)與函數(shù)為例2、解:(1)顯然x=0時(shí)上式也正確,故與函數(shù)為而在x≠0求下列冪級(jí)數(shù)得與函數(shù):級(jí)數(shù)發(fā)散,(2)顯然x=0時(shí),與為0;根據(jù)與函數(shù)得連續(xù)性,有x=1時(shí),級(jí)數(shù)也收斂、即得例3:解:

原式=得與、求級(jí)數(shù)四、函數(shù)得冪級(jí)數(shù)展開法?直接展開法?