第01講 二次函數(shù)與y=ax2(a≠0) 圖像與性質(zhì)（8種題型）（原卷版）

第01講二次函數(shù)與圖像與性質(zhì)（8種題型）【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1．二次函數(shù)的定義1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因?yàn)閽佄锞€y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)3：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法在平面直角坐標(biāo)系xOy中，按照下列步驟畫二次函數(shù)的圖像．（1）列表：取自變量x的一些值，計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1圖1圖2（2）描點(diǎn)：分別以所取的x的值和相應(yīng)的函數(shù)值y作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，描出這些坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，如圖1所示．（3）連線：用光滑的曲線把所描出的這些點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)起來，得到函數(shù)的圖像，如圖2所示．要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象．用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)4：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見下表：函數(shù)圖象開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸函數(shù)變化最大（?。┲祔=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而增大；x<0時(shí)，y隨x增大而減小.當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而減小；x<0時(shí)，y隨x增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)，y最大=0要點(diǎn)詮釋：

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【考點(diǎn)剖析】題型1：根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值例1．（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開學(xué)）下列函數(shù)中，常量3表示二次項(xiàng)系數(shù)的是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x2+3例2．（2023春?蘭溪市月考）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．題型2：利用二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)求字母參數(shù)的值例3.拋物線與的形狀相同，則a的值為______．例4.已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，它的圖像開口向上？當(dāng)為何值時(shí)，它的圖像開口向下？例5.已知二次函數(shù)的圖像開口向下，求m的值．題型3：利用二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)判斷拋物線的開口方向和大小例6.（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、的圖像；（2）函數(shù)、的圖像與函數(shù)的圖像，有何異同？例7.（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、、的圖 像；（2）函數(shù)、、的圖像與函數(shù)、、的圖像有何異同？題型4：一題多解法——比較函數(shù)值的大小例8.函數(shù)y＝x2的圖象對(duì)稱軸左側(cè)上有兩點(diǎn)A(a，15)，B(b，)，則a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”號(hào))．題型5：求二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的表達(dá)式例9.如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時(shí)寬20米，水位上升3米到達(dá)警戒線CD，這時(shí)水面寬度10米．（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中，求拋物線解析式；（2）若洪水到來時(shí)，水位以0.2米/時(shí)的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少時(shí)間才能達(dá)到拱橋頂？xxyABCDO例10.已知一個(gè)二次函數(shù)的的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其拋物線開口方向與拋物線的開口方向相反，而拋物線形狀與它相同，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．題型6：雙圖像問題例11.函數(shù)與的圖像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．題型7：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)綜合問題例12.已知直線上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，它們的橫坐標(biāo)分別是3和-2，若拋物線也經(jīng)過點(diǎn)A，試求該拋物線的表達(dá)式．該拋物線也經(jīng)過點(diǎn)B嗎？請(qǐng)說出你的理由．例13.物線與直線交于點(diǎn)（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大．題型7：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與幾何變換例14.若把拋物線（）沿著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的表達(dá)式是__________；若把拋物線（）沿著x軸翻折，所得的拋物線的表達(dá)式是__________；由這樣的旋轉(zhuǎn)與翻折分別得到的兩條拋物線______重合的（選填“是”或“不是”）．題型8：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)中的分類討論例15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知拋物線（）上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，它們的橫坐標(biāo)分別為-1，2．若為直角三角形，求a的值．AABOxy【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．1 B．2 C． D．02．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)蕭山區(qū)黨灣鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校考期中）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）正方形的邊長(zhǎng)為4，若邊長(zhǎng)增加x，那么面積增加y，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為(

)A． B． C． D．4．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在二次函圖象上，則的值是（

）A．1 B． C． D．85．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則必經(jīng)過點(diǎn)（）A． B． C． D．6．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校佄锞€與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下列說法不正確的是（）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)相同 B．對(duì)稱軸相同C．開口方向相反 D．都有最小值7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在同一坐標(biāo)系中畫出的圖象，正確的是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x增大而增大，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＜1二、填空題9．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于二次函數(shù)和，其自變量和函數(shù)值的兩組對(duì)應(yīng)值如表所示（其中a、b均不為0，），根據(jù)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)可知：_________，_________．110．（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的a的值：_______．11．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┒魏瘮?shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍是_____________．12．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，則m的范圍是___________．13．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，如圖所示，則由小到大的順序?yàn)開________．14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的表達(dá)式為______．15．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤魭佄锞€y＝（a－1）x2（a為常數(shù)）開口向上，則a的取值范圍是_______．16．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，將向右平移個(gè)單位后，某一邊的中點(diǎn)恰好落在二次函數(shù)的圖象上，則的值為____________.三、解答題17．（2019秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）已知y關(guān)于x的函數(shù)y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？18．（2021秋·九年級(jí)?？计谥校┠呈谢げ牧辖?jīng)銷公司購(gòu)進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每千克70元，不低于每千克30元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量（千克）是銷售單價(jià)（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，．在銷售過程中，每天還要支付其它費(fèi)用450元．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．(2)求該公司銷售該原料日獲利潤(rùn)（元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．19．（2022秋·浙江·九年級(jí)期末）荔枝是夏季的時(shí)令水果，儲(chǔ)存不太方便．某水果店將進(jìn)價(jià)為18元/千克的荔枝，以28元/千克售出時(shí)，每天能售出40千克．市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)售價(jià)每降低1元/千克時(shí)，平均每天能多售出10千克．設(shè)降價(jià)x元．(1)降價(jià)后平均每天可以銷售荔枝千克（用含x的代數(shù)式表示）．(2)設(shè)銷售利潤(rùn)為y，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(3)該水果店想要使荔枝的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到480元，且盡可能地減少庫(kù)存壓力，應(yīng)將價(jià)格定為多少元/千克？20．（2019秋·浙江湖州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，解決材料后的問題：材料一：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，我們將x與y的“友好數(shù)”用f（x，y）表示，定義為：f（x）＝，例如17與16的友好數(shù)為f（17，16）＝＝．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)x，用[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，即滿足條件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x2+2與1的“友好數(shù)”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，請(qǐng)求出x的值；（2）已知[a﹣1]＝﹣3，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知實(shí)數(shù)x、m滿足條件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，請(qǐng)求f（x，m2﹣m）的最小值．21．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)、、均在該函數(shù)圖象上，①當(dāng)時(shí)，、、能否作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，、、一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，請(qǐng)說明理由．22．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)）．(1)若點(diǎn)是該二次函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的值；(2)若該二次函數(shù)始終存在不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．23．（2021秋·浙江湖州·九年級(jí)校