第08講 垂徑定理（原卷版）

第08講垂徑定理【知識(shí)梳理】一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【考點(diǎn)剖析】一．垂徑定理（共9小題）1．（2023?荊州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）2．（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．3．（2022秋?杭州期末）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，DE．若DE＝3DO，，則△ODE的面積為（）A．4 B． C． D．4．（2023?杭州模擬）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，則⊙O的直徑為（）A．9 B． C． D．125．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm6．（2022秋?杭州期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．7．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（2023?天臺(tái)縣一模）如圖，AB是半圓O的直徑，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，CP⊥AB交半圓于點(diǎn)C，已知AB＝2，則OP+PC的最大值是．9．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點(diǎn)A為圓心，線段AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長(zhǎng)．二．垂徑定理的應(yīng)用（共12小題）10．（2023?武義縣一模）如圖，一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2023?杭州一模）為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm12．（2023?金華模擬）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．13．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖是一個(gè)管道的橫截面，圓心O到水面AB的距離OD是3，水面寬AB＝6．（1）求這個(gè)管道橫截面的半徑．（2）求∠AOB的度數(shù)．14．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖為一個(gè)指紋鎖的部分設(shè)計(jì)圖，尺寸如圖所示，求AB所在圓的半徑為（）A．50mm B．50.5mm C．51mm D．51.5mm15．（2023?沂南縣二模）如圖是美妝小鎮(zhèn)某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個(gè)弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點(diǎn)B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，則香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm16．（2023春?樂(lè)清市月考）如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由和矩形ABCD組成，且點(diǎn)B，?C也在所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點(diǎn)，此時(shí)隧道的最高點(diǎn)P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝m；在上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是m．17．（2023?長(zhǎng)興縣一模）石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝米．18．（2023?松陽(yáng)縣二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測(cè)量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過(guò)思考找到了測(cè)量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高CD＝12cm，底面內(nèi)徑BC＝8cm，球的最高點(diǎn)E到瓶底的距離為20cm，則球的半徑為cm．?19．（2023?南潯區(qū)一模）一根排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5cm，水面寬AB＝8cm，則截面圓心O到水面的距離為cm．20．（2023?瑞安市模擬）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)∠AFC＝90°．測(cè)得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，則所在圓的半徑為米，所在圓的半徑為米．21．（2022秋?溫州期末）根據(jù)素材解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)貨船通過(guò)圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測(cè)得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過(guò)圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過(guò)？

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)E，且，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，小明分別以點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)，作直線分別交弦和劣弧于點(diǎn)．小明量得．則劣弧所在圓的半徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）一個(gè)隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是中弦的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，隧道的高，則的半徑為（

）A．8 B．7 C．6 D．54．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長(zhǎng)度為8，半徑OC垂直AB于點(diǎn)D，，則橋拱高CD為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．26．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接交⊙O于點(diǎn)E，若，則（）A．20° B．2° C．25° D．30°7．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)8．（2023秋·浙江·九年級(jí)期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．159．（2021秋·九年級(jí)?？计谥校〢B和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或410．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校┤鐖D這是我市某跨海大橋正側(cè)面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面長(zhǎng)為800米，且與水面平行，小王用計(jì)算機(jī)根據(jù)照片對(duì)大橋進(jìn)行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點(diǎn)P，在橋面上取點(diǎn)C，作射線交?。ㄖ鳂蚬埃┯邳c(diǎn)D，右邊畫出了與關(guān)于長(zhǎng)的函數(shù)圖象，下列對(duì)此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點(diǎn)與橋面的實(shí)際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面的實(shí)際長(zhǎng)度約為500米C．拍攝照片時(shí)，橋面離水面的實(shí)際高度約為110米D．橋面上段的實(shí)際長(zhǎng)度約200米二、填空題11．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_______．12．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）五水共治辦公室在一次巡查時(shí)測(cè)量一排水管的排水情況，如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為，半徑是，有水部分弓形的高為，則______．13．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O的半徑為5，弦，B是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_____．14．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_______．16．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是_________．17．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．18．（2020秋·浙江·九年級(jí)期中）在半徑為5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD間距離為____三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）我們?cè)趯W(xué)習(xí)了《浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》探究活動(dòng)，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現(xiàn)以水平方向?yàn)檩S，若小明同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是；探究一：(1)若小紅同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是__________．(2)在（1）條件下，求出該拋物線在水面中的倒影所在拋物線函數(shù)表達(dá)式為____________．(3)一艘寬為米，高出水面米的貨船，能否從橋下通過(guò)？探究二：(4)若已知橋洞的拱形是圓的一部分，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面，該圓半徑為__________．20．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過(guò)圓心O的線段于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，已知半徑為5．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）若，且，求弦的長(zhǎng)；21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．22．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度為，拱高為．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出圓弧所在圓的圓心O，并計(jì)算圓的半徑；(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，水面離拱頂只有，即時(shí)，試通過(guò)計(jì)算