2023-2024學(xué)年廣東省深圳市光明區(qū)實驗學(xué)校九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳市光明區(qū)實驗學(xué)校（集團(tuán)）2023－2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)提升九年級數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，22題，滿分100分，考試用時90分鐘注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案（作圖題除外）；不準(zhǔn)使用涂改液．不按以上要求作答無效．4.考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第一部分選擇題一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.2.在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和15個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中白球約有（）A5個 B.10個 C.15個 D.25個3.如圖，四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與的周長比是()A. B. C. D.4.把拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（）A. B. C. D.5.下列關(guān)于反比例函數(shù),結(jié)論正確的是（）A.圖象必經(jīng)過B.圖象在二，四象限內(nèi)C.在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小D.當(dāng)時，則6.下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不一定是菱形的是（）A. B. C. D.7.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)與汽缸內(nèi)氣體的體積成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示，若壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了（）A. B. C. D.8.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A. B.且 C. D.且9.如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個根是，；③；④對于方程，有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確的有()A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③④10.如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點M．若，則的值為（）A. B. C. D.第二部分非選擇題二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11若，則________．12.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為_______．13.圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，和相交于點O，點A、B之間的距離為米，，根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、D之間的距離為__________米．14.如圖，點A，B是函數(shù)圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為______．15.如圖，點在內(nèi)，，，，，則________．三．解答題（本題共7小題，其中第16題9分，第17題6分，第18題7分，第19題7分，第20題8分，第21題8分，第22題10分，共55分）16.解答題：（1）解方程：；（2）計算：．17.為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校開設(shè)了四個興趣小組，A“國畫”、B“古箏”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學(xué)生對每個興趣小組的喜愛情況，隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制出下面不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了_____名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）B組所對應(yīng)扇形圓心角為_____度；（3）現(xiàn)選出了4名書法最好的學(xué)生，其中有1名男生和3名女生，要從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生去參加比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求剛好抽到2名女生的概率．18.圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：，，，，，19.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動在全國各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；（2）若此頭盔的進(jìn)價為30元/個，經(jīng)測算當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為300個；售價每上漲1元，則月銷售量減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的售價應(yīng)定為多少元/個？20.如圖，在菱形中，對角線，相交于點，延長到點，使得．連接．過點作，交于點，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．21.綜合與實踐．某數(shù)學(xué)興趣小組對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有關(guān)汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進(jìn)汽車研發(fā)中心考察，剎車距離．【知識背景】“道路千萬條，安全第一條．”剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全的重要保障，由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱為剎車距離．【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時，對它的剎車性能進(jìn)行測試．興趣小組成員記錄其中一組數(shù)據(jù)如下：剎車后行駛時間0123剎車后行駛的距離y0274863發(fā)現(xiàn)：①開始剎車后行駛的距離y（單位：m）與剎車后行駛的時間t（單位：s）之間成二次函數(shù)關(guān)系；②汽車剎車后行駛的距離隨剎車后行駛的時間t的增大而增大，當(dāng)剎車后行駛的距離最遠(yuǎn)時，汽車完全停止．【問題解決】請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若汽車剎車后，行駛了多長距離；（3）若汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的情況下是否會撞到拋錨的車？試說明理由．22.【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點與點重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為；【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求值．【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．①求線段的長；②若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到，點的對應(yīng)點為點，與交于點，求的取值范圍．深圳市光明區(qū)實驗學(xué)校（集團(tuán)）2023－2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)提升九年級數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，22題，滿分100分，考試用時90分鐘注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案（作圖題除外）；不準(zhǔn)使用涂改液．不按以上要求作答無效．4.考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第一部分選擇題一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了幾何體的三視圖的知識，理解并掌握俯視圖的概念是解題關(guān)鍵．俯視圖是從物體上面往下看得到的視圖，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：從上往下看，看到的是兩個矩形，所以選項A、C、D不符合題意，選項B符合題意．故選：B．2.在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和15個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中白球約有（）A.5個 B.10個 C.15個 D.25個【答案】B【解析】【分析】此題考查了用頻率估計概率，以及概率公式，根據(jù)題意可得摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可得袋中球的總數(shù)，即可求解．利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：經(jīng)過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球頻率穩(wěn)定在左右，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，袋中裝有若干個白球和15個紅球，袋中球的總數(shù)為：，袋中白球約有：（個）．故選：B．3.如圖，四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與的周長比是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得到四邊形和的相似比為：，然后根據(jù)相似多邊形的周長之比等于相似比求解即可．【詳解】解：四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，，四邊形和的相似比為，四邊形和的周長比為．故選A．【點睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握位似比等于相似比、相似多邊形周長比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．4.把拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】把拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是故選C．【點睛】本題考查了拋物線的平移及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減、上加下減．5.下列關(guān)于反比例函數(shù),結(jié)論正確的是（）A.圖象必經(jīng)過B.圖象在二，四象限內(nèi)C.在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小D.當(dāng)時，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】∵，∴A錯誤，∵k=-8＜0，即：函數(shù)的圖象在二，四象限內(nèi)，∴B正確，∵k=-8＜0，即：在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴C錯誤，∵當(dāng)時，則或，∴D錯誤，故選B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，掌握比例系數(shù)k的意義與增減性，是解題的關(guān)鍵．6.下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不一定是菱形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)等角對等邊可得平行四邊形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到平行四邊形的對角線互相垂直，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；C、根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，不能得到平行四邊形是菱形，符合題意；D、根據(jù)平行四邊形的對邊平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及等角對等邊可得平行四邊形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查菱形的判定．熟練掌握菱形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．7.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)與汽缸內(nèi)氣體的體積成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示，若壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖象可得關(guān)于的函數(shù)解析式為，然后問題可求解．【詳解】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，由圖象可把點代入得：，關(guān)于的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了；故選：C．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式列出不等式求解即可．【詳解】由題意得：解得：且故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解題關(guān)鍵．對于一般形式有：（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．9.如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個根是，；③；④對于方程，有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確的有()A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程、二元一次方程組的知識；根據(jù)題意，得時，；結(jié)合二次函數(shù)對稱軸的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象以及對稱軸，即可得到拋物線與軸的交點，再根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)分析，即可完成求解．【詳解】根據(jù)題意，時，∵拋物線的對稱軸為直線,∴．∵拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)為∴另一個交點為,∵拋物線與軸有2個交點，∴∴成立，∴①正確；∴方程的兩個根是，，∴②正確；∵圖象與x軸交于點,∴∴③不正確；∵對于方程，有兩個不相等的實數(shù)根，觀察函數(shù)圖象，可得與有2個交點，∴④正確；∴結(jié)論正確的是①②④故選：B．10.如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點M．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點H作交DE于點Q，HG交DE于點N，【詳解】解：如圖所示，過點H作交DE于點Q，HG交DE于點N，設(shè)利用得到三角形相似，對應(yīng)線段成比例，求出從而得到即可得出結(jié)果．∵正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，設(shè)即即即故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形相似，得出對應(yīng)線段成比例，由線段平行，得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵．第二部分非選擇題二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.若，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)得出，將其代入進(jìn)行計算即可得到答案，熟練掌握比例的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．12.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】在網(wǎng)格上取個點D，得∵CD=4，AD=3∴∴故答案為：【點睛】本題考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，屬于學(xué)生靈活運用所學(xué)知識．13.圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，和相交于點O，點A、B之間的距離為米，，根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、D之間的距離為__________米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)高比等于相似比，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．14.如圖，點A，B是函數(shù)圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為______．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點D，A的坐標(biāo)，利用的面積建立方程求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點，，D為的中點，，軸，的面積為3，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．15.如圖，點在內(nèi)，，，，，則________．【答案】【解析】【分析】作交的延長線于，作交的延長線于，則，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，從而得到，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，證明，可得，從而得到，，計算出，最后再由勾股定理進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，作交的延長線于，作交的延長線于，，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（本題共7小題，其中第16題9分，第17題6分，第18題7分，第19題7分，第20題8分，第21題8分，第22題10分，共55分）16.解答題：（1）解方程：；（2）計算：．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的運算法則，進(jìn)行計算即可．【小問1詳解】解：，，或，，；小問2詳解】解：．17.為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校開設(shè)了四個興趣小組，A“國畫”、B“古箏”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學(xué)生對每個興趣小組的喜愛情況，隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制出下面不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了_____名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）B組所對應(yīng)的扇形圓心角為_____度；（3）現(xiàn)選出了4名書法最好的學(xué)生，其中有1名男生和3名女生，要從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生去參加比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求剛好抽到2名女生的概率．【答案】（1）40，圖見解析（2）72（3）【解析】【分析】（1）先由A組的人數(shù)除以其所占的百分比可求得調(diào)查總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得C組的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用乘以B組所占的比例即可求解；（3）畫樹狀圖得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出滿足條件的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【小問1詳解】解：調(diào)查總?cè)藬?shù)為（名），故答案為：40；C組人數(shù)為（名），故補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：【小問2詳解】解：B組所對應(yīng)的扇形圓心角為，故答案為：72；【小問3詳解】解：畫樹狀圖如圖：由圖知，一共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到2名女生的有6種，∴剛好抽到2名女生的概率為．【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的關(guān)聯(lián)、用列表法或畫樹狀圖法求概率，準(zhǔn)確理解題意，能從統(tǒng)計圖中獲取所需信息是解答的關(guān)鍵．18.圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：，，，，，【答案】（1）1.8米（2）0.9米【解析】【分析】（1）過B作BF⊥AD于F．構(gòu)建Rt△ABF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．（2）根據(jù)BF的長可求出AF的長，再判定出四邊形BFDC是矩形，可求出AD，根據(jù)BC＝DF＝AD?AF計算即可．【小問1詳解】如圖，過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，

∵sin∠BAF＝，

∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．

∴真空管上端B到AD的距離約為1.8米．【小問2詳解】在Rt△ABF中，

∵cos∠BAF＝，

∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，

∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，

∴四邊形BFDC是矩形．

∴BF＝CD，BC＝FD，

∵EC＝0.5米，

∴DE＝CD?CE＝1.3米，

在Rt△EAD中，

∵tan∠EAD＝，

∴，

∴AD＝3.25米，

∴BC＝DF＝AD?AF＝3.25?2.4＝0.85≈0.9

∴安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．19.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動在全國各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；（2）若此頭盔的進(jìn)價為30元/個，經(jīng)測算當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為300個；售價每上漲1元，則月銷售量減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的售價應(yīng)定為多少元/個？【答案】（1）（2）48元/個【解析】【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)售價增加了x元，根據(jù)題意列一元二次方程，再取合適的值，進(jìn)而求售價．【小問1詳解】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為x，，解得：，（舍）答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為．【小問2詳解】解：設(shè)售價增加了x元．由題意可得：，，，解得：（舍），∴售價（元/個）答：該品牌頭盔的售價應(yīng)定為48元/個．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在菱形中，對角線，相交于點，延長到點，使得．連接．過點作，交于點，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性，解題的關(guān)鍵是：（1）證四邊形是平行四邊形，再證，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形性質(zhì)得，，所以．又由，，由直角三角形性質(zhì)得．在中，，由直角三角形性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：證明：四邊形是菱形，，，，，，四邊形是平行四邊形，．，四邊形是平行四邊形．，，，，平行四邊形是矩形．【小問2詳解】由（1）知四邊形是矩形，，，．又，，．在中，，，．21.綜合與實踐．某數(shù)學(xué)興趣小組對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有關(guān)汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進(jìn)汽車研發(fā)中心考察，剎車距離．【知識背景】“道路千萬條，安全第一條．”剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全的重要保障，由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱為剎車距離．【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時，對它的剎車性能進(jìn)行測試．興趣小組成員記錄其中一組數(shù)據(jù)如下：剎車后行駛的時間0123剎車后行駛的距離y0274863發(fā)現(xiàn)：①開始剎車后行駛的距離y（單位：m）與剎車后行駛的時間t（單位：s）之間成二次函數(shù)關(guān)系；②汽車剎車后行駛的距離隨剎車后行駛的時間t的增大而增大，當(dāng)剎車后行駛的距離最遠(yuǎn)時，汽車完全停止．【問題解決】請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若汽車剎車后，行駛了多長距離；（3）若汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的