2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時余弦定理習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=3,A=60°,則c=()A.1 B.2 C.4 D.6解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(負值舍去).答案C2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2-c2+b2=ab,則sinC的值為()A. B. C. D.解析由余弦定理,得cosC=.因為C∈(0,π),所以C=,sinC=.故選C.答案C3.(多選題)在銳角三角形ABC中,b=1,c=2,則a的值不行以是()A.1 B.2 C.3 D.4解析若a為最大邊,則b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<,若c為最大邊,則a2+b2>c2,即a2>3,∴a>,故<a<.答案ACD4.假如將直角三角形的三邊增加同樣的長度,那么新三角形的形態(tài)是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定解析設(shè)直角三角形的三條邊長分別為a,b,c,且a2+b2=c2,三條邊均增加同樣的長度m,三邊長度變?yōu)閍+m,b+m,c+m,此時最長邊為c+m,設(shè)該邊所對角為θ,則由余弦定理,得cosθ=.因為m2>0,a+b-c>0,所以cosθ>0,所以θ為銳角,其他各角必為銳角,故新三角形是銳角三角形.答案A5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,則邊AC上的高為()A. B. C. D.3解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cosA=,∴A=60°.∴邊AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=.故選B.答案B6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,則其最大內(nèi)角為.

解析由題意,得c>b>a,則角C最大.∵cosC==-,且0<C<π,∴C=.答案7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=C,2b=a,則cosA=.

解析由B=C,得b=c=a.由余弦定理,得cosA=.答案8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大內(nèi)角為120°,則該三角形的周長為;最小角的余弦值為.

解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最長邊,所以角A最大.由余弦定理,得cos120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周長為30.最小內(nèi)角為C,cosC=.答案309.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B的度數(shù)為.

解析由余弦定理,得2accosB·tanB=ac,整理,得sinB=,所以B=60°或120°.答案60°或120°實力提升練1.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=,則最大角的余弦值是()A.- B.- C.- D.-解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值為cosA==-.答案C2.(2024吉林長春高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若>0,則△ABC()A.肯定是銳角三角形 B.肯定是直角三角形C.肯定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形解析由>0得-cosC>0,所以cosC<0,從而C為鈍角,因此△ABC肯定是鈍角三角形.答案C3.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是()A. B.C. D.解析cosB==,∵0<B<π,∴B∈.答案A4.在△ABC中,BD為∠ABC的平分線,AB=3,BC=2,AC=,則sin∠ABD=.

解析因為BD為∠ABC的平分線,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,所以sin∠ABD=.答案5.如圖,在△ABC中,已知點D在邊BC上,AD⊥AC于點A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為.

解析因為sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.在△BAD中,由余弦定理,得BD==.答案6.若2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊長,求實數(shù)a的取值范圍.解因為2a+1,a,2a-1是三角形的三邊長,所以解得a>,此時2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三邊長,還需a+2a-1>2a+1,解得a>2.設(shè)最長邊2a+1所對的角為θ,則θ>90°,所以cosθ=<0,解得<a<8.綜上可知實數(shù)a的取值范圍是(2,8).素養(yǎng)培優(yōu)練在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的兩根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的長.解(