2024-2025學(xué)年四川省天立集團(tuán)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年四川省天立集團(tuán)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l1：2x+y?2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1//l2A.8 B.2 C.?12 2.若a+b=(?2,?1,2)，a?b=(4,?3,?2)A.?5 B.?1 C.5 D.73.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，3，4，x，7，8(其中x≠7)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的56，則該組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是(

)A.4 B.4.5 C.5 D.64.已知圓C：(x?3)2+(y?3)2=72，若直線x+y?m=0垂直于圓CA.2或10 B.4或8 C.4或6 D.2或45.橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A.有2個(gè) B.有4個(gè) C.不一定存在 D.一定不存在6.P為⊙C：x2+y2?2x?2y=0上一點(diǎn)，Q為直線l：x?y?4=0A.2 B.233 C.7.若半徑為r的小球可以在棱長(zhǎng)均為8的四棱錐內(nèi)部自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則r的最大值為(

)A.3+1 B.2(3+1) 8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，列如，與(x?a)2+(y?b)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)之間的距離的幾何問(wèn)題.已知點(diǎn)M(x1,y1)在直線l1：y=x+2，點(diǎn)A.722 B.1122二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的是(

)A.若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立

B.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立

C.若事件A，B相互獨(dú)立，則A?與B?也相互獨(dú)立

D.若P(A)>0，P(B)>0，則事件A，B相互獨(dú)立與A，10.設(shè)直線系M：xcosθ+(y?2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，則下面四個(gè)命題正確的是(

)A.點(diǎn)(0,2)到M中的所有直線的距離恒為定值

B.存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上

C.對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上

D.M中的直線所能圍成的三角形面積都相等11.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，M是側(cè)面ADD′A′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，點(diǎn)P在棱CC′上，且|PC′|=1，則下列結(jié)論正確的有(

)A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為73

B.保持PM與BD′垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為32

C.若保持|PM|=25，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度4π3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間的一組基底為{a,b,c}，m=a+3b13.已知某三棱臺(tái)的高為25，上、下底面分別為邊長(zhǎng)為43和63的正三角形，若該三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=2a?2b四、解答題：本題共5小題，共148分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AA1⊥平面ABC，CC1=2AC=2BC=4，M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)當(dāng)AM=BM時(shí)，求證：16.(本小題100分)

為響應(yīng)國(guó)家“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的號(hào)召，培養(yǎng)同學(xué)們的“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”，我校團(tuán)委鼓勵(lì)全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，并組織知識(shí)競(jìng)賽．今隨機(jī)對(duì)其中的1000名同學(xué)的初賽成績(jī)(滿分：100分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(有數(shù)據(jù)缺失)：

請(qǐng)大家完成下面的問(wèn)題：

(1)根據(jù)直方圖求以下表格中x，y的值：成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)頻數(shù)x250350y100(2)求參賽同學(xué)初賽成績(jī)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)若從這1000名參加初賽的同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本，再在該樣本中成績(jī)不低于80分的同學(xué)里任選2人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的2人中恰好1人的分?jǐn)?shù)低于90分且1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率．

注：方差公式s2=17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐S?ABCD的體積為233．

(1)若E為棱SB的中點(diǎn)，求證：PE//平面SCD；

(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)M，使得平面PMB與平面SAD所成夾角的余弦值為235？18.(本小題12分)

蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來(lái).如圖，已知圓M的方程為x2+(y?b)2=r2，直線x=my與圓M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線x=ny與圓M交于E(x3,y3)，F(xiàn)(x4,y4).原點(diǎn)O在圓M內(nèi).設(shè)CF交x軸于點(diǎn)P，ED交x19.(本小題12分)

已知直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P(x0,y0)，點(diǎn)P到直線l的有向距離d(P,l)用如下方法規(guī)定：若b≠0，d(P,l)=|b||ax0+by0+c|ba2+b2，若b=0，d(P,l)=ax0+ca．

(1)已知直線l1：3x?4y+12=0，直線l2：2x+3=0，求原點(diǎn)O到直線l1，l2的有向距離d(O,l1)，d(O,l2)；

(2)已知點(diǎn)A(2,1)和點(diǎn)B(3,?1)，是否存在通過(guò)點(diǎn)A參考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.?6

13.144π

14.7

15.解：(1)證明：∵AA1⊥平面ABC，又CM?平面ABC，

∴AA1⊥CM，

∵AC=BC，AM=BM，

∴CM⊥AB，又AA1⊥CM，且AA1∩AB=A，

∴CM⊥平面ABB1A1；

(2)∵CC1=2AC=2BC=4，AC⊥BC，

∴AB=AC2+BC2=22，

又由(1)知CM⊥平面ABB1A1，

∴點(diǎn)C到平面A1B1M距離為CM=16.解：(1)由直方圖可知成績(jī)?cè)赱50,60)的頻率為0.005×10=0.05，

所以成績(jī)?cè)赱50,60)的頻數(shù)x=1000×0.05=50，

則成績(jī)?cè)赱50,60)的頻數(shù)y=1000?50?250?350?100=250；

(2)設(shè)[60,70)分組的頻率/組距為a，則a=2501000×110=0.025，

平均數(shù)x?=11000(50×55+250×65+75×350+85×250+95×100)=76，

S2=(76?55)2×0.05+(76?65)2×0.25+(76?75)2×0.35+(76?85)2×0.25+(76?95)2×0.1=109；

(3)從這1000名參加初賽的同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本，

則抽樣比為201000=15017.證明：(1)取SC的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，

如圖所示：

由于點(diǎn)E、F分別為SB、SC的中點(diǎn)，

所以EF/?/BC，EF=12BC，

由于底面四邊形ABCD為矩形，P為棱AD的中點(diǎn)，

所以PD/?/BC，PD=12BC，

所以EF/?/PD，EF=PD，

故四邊形PDFE為平行四邊形，所以PE//FD，

由于FD?平面SCD，PE?平面SCD，

所以PE/?/平面SCD．

解：(2)假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)M滿足題意，

在等邊三角形SAD中，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，所以SP⊥AD，

由于平面SAD⊥平面ABCD，

SP?平面SAD，

所以SP⊥平面ABCD，

則SP為四棱錐S?ABCD的高，

設(shè)AD=m，SP=32m，S矩形ABCD=m，

V四棱錐S?ABCD=13S矩形ABCD?SP=13m×32m=233，解得m=2；

以點(diǎn)P為原點(diǎn)，PA，AB，PS的方向?yàn)閤軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，S(0,0,3)，

所以PA=(1,0,0)，PB=(1,1,0)，AS=(?1,0,3)，

設(shè)AM=λAS=(?λ,0,18.解：(1)當(dāng)b=0，r=5，m=?12，n=2時(shí)，

圓M：x2+y2=5，

直線CD：x=?12y，由x2+y2=5x=?12y?x=?1y=2或x=1y=?2，故C(?1,2)，D(1,?2)；

直線EF：x=2y，由x2+y2=5x=2y?x=?2y=?1或x=2y=1，故E(2,1)，F(xiàn)(?2,?1)．

所以直線CF：y+12+1=x+2?1+2，令y=0，得x=?53，即P(?53,0)；

直線ED：y?1?2?1=x?21?2，令y=0，得x=53，即Q(53,0)．

所以|OP|=|OQ|=53．

(2)①證明：由題意：b2<r2．

由x2+(y?b)2=r2x=my?(my)2+(y?b)2=r2?(m2+1)y2?2by+b2?r2=019.解：(1)由直線l1：3x?4y+12=0，直線l2：2x+3=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的有向距離公式得，d(O,l1)=|?4||0+0+12|?432+(?4)2=?125，d(O,l2)=2?0+32=32；

即d(O,l1)=?125，d(O,l2)=32，

(2)當(dāng)直