專題11 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題11圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.米勒最大張角（視角）模型 1模型2.定角定高模型（探照燈模型） 8 17模型1.米勒最大張角（視角）模型已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（23-24九年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，甲、乙、丙三名同學(xué)比賽定點(diǎn)射門，PQ是球門，且甲、乙、丙三名同學(xué)位于以點(diǎn)O為圓心的同一圓弧上，僅從射門角度考慮的話，進(jìn)球概率最大的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同學(xué)一樣大【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，概率定義理解．根據(jù)題意利用在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等即可選出本題答案．【詳解】解：∵甲、乙、丙三名同學(xué)位于以點(diǎn)O為圓心的同一圓弧上，將圖中點(diǎn)進(jìn)行命名，

∴，∴僅從射門角度考慮的話，進(jìn)球概率一樣大，故選：D．例2．（24-25九年級(jí)上·廣東·期中）如圖，某雕塑位于河段上，游客在步道上由點(diǎn)出發(fā)沿方向行走．已知，，當(dāng)觀景視角最大時(shí)，游客行走的距離是多少米？

【答案】米【分析】先證是的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，觀景視角最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于，以直徑作，如圖所示：

根據(jù)圓周角定理，劣弧所對(duì)的圓周角都是相等的，則游客在步道上由點(diǎn)出發(fā)沿方向行走時(shí)，與相切時(shí)，觀景視角最大，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，從而由勾股定理可得，，又，是的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，觀景視角最大，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明是的切線是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級(jí)上·北京房山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)．已知點(diǎn)，，是的外接圓．（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）若最大時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查的是三角形的外接圓與外心、切線的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)圓周角定理得到當(dāng)與軸相切于點(diǎn)時(shí)，最大是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)求出的中點(diǎn)，根據(jù)外心的概念得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形可得，推出，得到當(dāng)與軸相切于點(diǎn)時(shí)，最大，進(jìn)而得到四邊形是矩形，推出，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）點(diǎn)，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，是的外接圓，點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為:；（2）連接，，根據(jù)（1）可知點(diǎn)一定在直線上，是的外接圓，為軸正半軸上，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，最大，即最大，即最大，當(dāng)，即當(dāng)與軸相切于點(diǎn)時(shí)，最大，連接，與軸相切于點(diǎn)，軸，四邊形是矩形，，，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．例4．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·期中）【問題提出】當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想？【數(shù)學(xué)眼光】如圖①，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)A距離地面a米，最低處點(diǎn)B距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距離地面m米，當(dāng)過A，B，C三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)C的水平線相切于點(diǎn)C時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想．【數(shù)學(xué)思維】小明同學(xué)想這是為什么呢？如圖②，他在過點(diǎn)C的水平線上任取異于點(diǎn)C的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，連接，．（1）按照小明的思路完成證明過程；【問題解決】（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點(diǎn)A距地面3米，最低處的點(diǎn)B距地面米，最大視角為，求此時(shí)觀賞者站在距墻壁多遠(yuǎn)的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點(diǎn)C與地面的距離？（3）如圖③，設(shè)墻壁上的展品最高處的點(diǎn)A距地面a米，最低處的點(diǎn)B距地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距地面m米，直接寫出最佳觀賞距離的長(zhǎng)．（用含a，b，m的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析（2）觀賞者站在距離墻壁米處最理想，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距地面的距離為1.2米（3）【分析】（1）由圓周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此視角最大，站在此處觀賞最理想；（2）連接，，，，作于點(diǎn)，利用圓周角定理得到，證明為等邊三角形，推出米，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)得到米，再證明四邊形為矩形，利用矩形的性質(zhì)求解，即可解題；（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)結(jié)合題意得到，由（2）同理可知，四邊形為矩形，結(jié)合矩形性質(zhì)得到，再結(jié)合勾股定理求解，即可解題．【詳解】解：（1），，，，視角最大，站在此處觀賞最理想．（2）連接，，，，作于點(diǎn)，由題知，米，，，，為等邊三角形，米，，米，，四邊形為矩形，米，米，距地面的距離為（米)，即點(diǎn)C距地面的距離為1.2米．（3）展品最高處的點(diǎn)A距地面a米，最低處的點(diǎn)B距地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距地面m米，米，，，米，米，由（2）同理可知，四邊形為矩形，米，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形外角定理，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理．例5．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A?2,0、B4,0，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在軸下方的拋物線上任取一點(diǎn)，射線、分別與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積；(3)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為(2)的面積為(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，切線的性質(zhì)，正確求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于，設(shè)，求出的解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，同法求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（3）當(dāng)過三點(diǎn)的圓與軸相切時(shí)，最大，設(shè)，根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：把A?2,0、B4,0、代入得：，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于，如圖：拋物線與軸交于點(diǎn)A?2,0、B4,0，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，設(shè)，設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為，把A?2,0，，代入得：，解得，的函數(shù)表達(dá)式為，在中，令得，，同理可得，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，，；的面積為；（3）當(dāng)?shù)耐饨訄A與軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為使最大的點(diǎn)，如圖：軸，設(shè)，則，，B4,0，，，，，，，解得（不符合題意，舍去）或，，．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高AD），∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢簦砸步刑秸諢裟Ｐ?。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最??；△ABC的面積最?。弧鰽BC的周長(zhǎng)最小。證明：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos?！逴A+OH≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，H三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcos≥h，即，當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)BC有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)△ABC有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)△ABC有最小值。例1．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且cos∠AOB=，則線段AB的長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：如圖，過點(diǎn)O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．首先證明當(dāng)A，O，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)AB的值最小，解直角三角形求出此時(shí)AB的值，可得結(jié)論．【詳解】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當(dāng)△OAB是等腰三角形（OA=OB）時(shí)，AB的長(zhǎng)最??；設(shè)三角形△OAB的高為h，其外接圓半徑為r，根據(jù)定角定高（探照燈）模型易得：r+rcos∠AOB≥h，當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin∠AOB；∵O到直線l的距離是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。法2：如圖，過點(diǎn)O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小時(shí)，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴當(dāng)A，O，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)AB的值最小，∵直線l'垂直平分線段，∴TB=，∴∠=∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假設(shè)TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k，∴AB=，

∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于選擇題中的壓軸題。例2．（2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，，邊上的高為4，則周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：作的垂直平分線，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，則周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，周長(zhǎng)，且為等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：設(shè)三角形△ABC的高為AD=h=4，其外接圓半徑為r，根據(jù)定角定高（探照燈）模型知：r+rcos≥h，即，當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值（即AB=AC時(shí)）；r的最小值為：，BC的最小值為：，此時(shí)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)有最小值：.法2：如圖所示，作的垂直平分線，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，

∵垂直平分，∴，∴周長(zhǎng)∵在中，，∴，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，，∴周長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最小值，∵，∴為等邊三角形，∵為邊上的高，，∴，∴周長(zhǎng)的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，確定當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)的情況．例3.（23-24浙江·九年級(jí)?？计谥校榱擞有履甑牡絹砟呈信e辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個(gè)鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_______平方米，其周長(zhǎng)最小值為_______米?！窘馕觥客ㄟ^“距地面30米”，“光線夾角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高），可識(shí)別出定角定高模型，因此當(dāng)△ABC為等腰三角形，邊BC有最小值，此時(shí)△ABC為等邊三角形，解直角三角形求出BC=米，進(jìn)而求出面積最小值為平分米，周長(zhǎng)最小值為米。可求答案：；。例4.（23-24·重慶·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為________.【解析】“大角含半角+有相等且共端點(diǎn)的邊”識(shí)別出“半角模型”，通過截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB為定高，通過定角定高模型結(jié)論求出最值。延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，易證△ABE≌△ADG(SAS)∴BE=DG，∠BAE=∠DAG∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF則△AEF'≌△AGF(SAS)，作△AGF的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OF，過得O作OH⊥GF于H，則∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，設(shè)△AGF的外接圓的半徑為R，則GF＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，∴△AGF的面積≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AFE的面積的最小值為16-16．例5．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）【場(chǎng)景發(fā)現(xiàn)】小明晚上經(jīng)過河邊時(shí)，發(fā)現(xiàn)探照燈的照射光線都不是垂直于河邊，而是有一個(gè)角度，為了尋找原因，小明將這一場(chǎng)景進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象化如圖所示，【模型遷移】在一個(gè)矩形院子安裝一個(gè)攝像頭，攝像頭的監(jiān)控角度為，若將攝像頭安裝在墻的處，，是攝像頭與墻壁的交點(diǎn)，如圖圖所示，陰影部分為攝像頭的盲區(qū)．

(1)假設(shè)探照燈的有效照射角度為，河寬米，米的時(shí)候照射的面積最小，最小值為；(2)若米，米，在線段是否存在點(diǎn)，當(dāng)攝像頭在點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，攝像頭的盲區(qū)不變，若存在，等于多少，攝像頭的盲區(qū)面積為多少？(3)在南北走向的馬路上，工作人員要安裝一個(gè)攝像角度為的攝像頭，正好可以監(jiān)控到整面墻面，以墻面的中點(diǎn)為為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，，馬路距離墻面的最小距離為，請(qǐng)寫出符合條件的攝像頭的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)，盲區(qū)的面積不會(huì)變化，為；(3)，．【分析】（）作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由不變,要使面積最小則最小，當(dāng)、、共線時(shí)最小，的面積最??；（）設(shè)，則有盲區(qū)面積為，當(dāng)攝像頭轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為時(shí)，盲區(qū)減少的面積為，增加的面積為，當(dāng)盲區(qū)增加的面積與減少的面積相等時(shí)即可求解；（）以為直徑以為圓心做圓,交公路與點(diǎn)，，求出坐標(biāo)即可．【詳解】（1）作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

的面積，不變,要使面積最小則最小，設(shè)圓的半徑為，不變，∴不變，，當(dāng)最小時(shí)，最小，，∴當(dāng)、、共線時(shí)最小，的面積最小，此時(shí)，，，故答案為：，；（2）設(shè)，當(dāng)攝像頭如圖所示，盲區(qū)面積為，當(dāng)攝像頭轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為時(shí)，盲區(qū)減少的面積為，增加的面積為，當(dāng)盲區(qū)增加的面積與減少的面積相等時(shí)，，盲區(qū)的面積不會(huì)變化，此時(shí)，面積為初始面積等于，故，盲區(qū)的面積不會(huì)變化，為；（3）以為直徑以為圓心做圓,交公路與點(diǎn)，,∴坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)和垂線段最短，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2024·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）【問題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是；【問題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；【問題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝蓿柙诿?，米的矩形平面開挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證，即可求得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證，設(shè)，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況討論，分別求出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得和的比值，然后根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形面積公式可得答案．【詳解】（1）是等腰直角三角形，，，，；，，也是等腰直角三角形，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，四邊形是矩形，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，，四邊形面積的最大值；

（3）四邊形是矩形，，，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，且，，設(shè)的外接圓半徑為，，，由題意得，即，，，的面積最小值為，的面積最小值為．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．1．（2023·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且cos∠AOB=，則線段AB的長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】法1：運(yùn)用定角定高（探照燈）模型求解。法2：如圖，過點(diǎn)O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．首先證明當(dāng)A，O，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)AB的值最小，解直角三角形求出此時(shí)AB的值，可得結(jié)論．【詳解】法1：設(shè)三角形△ABO的高為h=4，其外接圓半徑為r，∠AOB＝根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當(dāng)△ABO是等腰三角形（AO=BO）時(shí)?！鄏+rcos≥h，即，當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值；∴=4，當(dāng)取等號(hào)時(shí)AB有最小值；法2：如圖，過點(diǎn)O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小時(shí)，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴當(dāng)A，O，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)AB的值最小，∵直線l'垂直平分線段，∴TB=，∴∠=∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假設(shè)TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k，∴AB=，

∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于選擇題中的壓軸題．2．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求的值．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，作的外接圓，與直線交于另一點(diǎn)，則，圓心在上，由矩形的性質(zhì)可知，，所以，則與相切于點(diǎn)，所以，，則，則圓心在弦的上方，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，作的外接圓，與直線交于另一點(diǎn)，如圖，則，圓心在上，四邊形是矩形，，，與相切于點(diǎn)，，，，，圓心在弦的上方，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，連接、，則，，，，，，，即當(dāng)最大時(shí)，的值為．故答案為：．3．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP=．【答案】4?2【分析】先確定P點(diǎn)的位置，畫出輔助圓，再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切，且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的⊙O上時(shí)，∠DPM的度數(shù)最大，此時(shí)，P點(diǎn)即為切點(diǎn)，連接OP，∴OP⊥BC，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，∴DM=2，過O點(diǎn)作OE⊥DM于E，∴DE=1，延長(zhǎng)PO，交AD于點(diǎn)F，∴OF⊥AD，∴四邊形OEDF和四邊形PCDF都是矩形，∴OF=DE=1，∴OP=4?1=3，連接OD，則OD=3，∴DF=O∴PC=DF=22，∴BP=4?PC=4?22，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．4.（2023·山東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為?！窘馕觥咳鐖D，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，作三角形BEC的外接圓，連接OB，OC，OE，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，則EF=2，（AD與BC之間的距離為2），BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠BOC=2∠BEC，∵∠BEC=45°，∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，設(shè)OB=OC=OE=r，則OG=BG=r，BC=2BG=r，∵OE+OG≥EF,，∴r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4，當(dāng)G，O，E三點(diǎn)共線，即EF與EG重合時(shí)，BC有最小值，最小值為4-4，∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四邊形ABCD面積的最小值為8-8。5．（2024九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，邊上的高，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：延長(zhǎng)到E，使得，延長(zhǎng)到F，使得，連接，作的外接圓，過點(diǎn)O作于點(diǎn)J，交于點(diǎn)T．求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，△ABC有最小值。再結(jié)合，邊上的高，∴BC=12，AB=AC=。∴的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．法2：如圖，延長(zhǎng)到E，使得，延長(zhǎng)到F，使得，連接，作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)J，交于點(diǎn)T．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，定長(zhǎng)線段的端點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，連接．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖2所示（最高點(diǎn)為），當(dāng)時(shí)，最大，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)圖形和圖象可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)最大，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)時(shí)，，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半，得到為定值1，點(diǎn)在半徑為1的上，進(jìn)而得到與相切時(shí)，最大，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，利用等積法求出，進(jìn)而求出，利用即可得解．【詳解】解：∵，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，∴的最大值即為的長(zhǎng)，∵圖象的最高點(diǎn)為：，∴的最大值為：，即：，∴，當(dāng)時(shí)，，即：，，∴，∴，連接，∵是的中點(diǎn)，∴，點(diǎn)在半徑為1的上，∴當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)：，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則：，，即：，∴，∵，，∴，∴，∴為的中點(diǎn)，∴，∴，即：時(shí)，最大；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，函數(shù)圖象，直角三角形斜邊上的中線，平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例．本題的綜合性較強(qiáng)，確定點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，是解決本題的關(guān)鍵．7．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，墻壁上的展品最高點(diǎn)與地面的距離，最低點(diǎn)與地面的距離，觀賞者的眼睛E距地面，經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)水平視線與過P、Q、E三點(diǎn)的圓相切于點(diǎn)E時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想，求此時(shí)點(diǎn)E到墻壁的距離．【答案】【分析】作于，連接，如圖，根據(jù)垂徑定理得到，再計(jì)算出，則，根據(jù)切線的性質(zhì)得，于是可判斷四邊形為矩形，所以，，然后在中，利用勾股定理計(jì)算出，從而得到．【詳解】解：作于，連接，，如圖，，，，，，，，，與相切，，而，，四邊形為矩形，，，在中，，，，．答：此時(shí)點(diǎn)到墻壁的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查垂徑定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理．8．（2024九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）某兒童游樂場(chǎng)的平面圖如圖所示，場(chǎng)所工作人員想在邊上的點(diǎn)P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控邊上的段，為了讓監(jiān)控效果更佳，必須要求最大，已知：，米，米，問在邊上是否存在一點(diǎn)P，使得最大？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)和的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】存在，，【分析】當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切于P時(shí)，的值最大，作于H，交于Q，連接，，．設(shè)，用兩種方法求出，構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切于P時(shí)，的值最大，作于H，交于Q，連接，，．設(shè)，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，，，∵，∴，整理得：，∴，∴或（舍棄），∴，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，一元二次方程的解法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．9．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門，他在哪里射門時(shí)射門角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)Q，過A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小______：（填序號(hào)）①逐漸變大；②逐漸變?。虎巯茸兇蠛笞冃?；④先變小后變大【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】操作感知：③；猜想驗(yàn)證：見解析；實(shí)際應(yīng)用：見解析【分析】操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，利用圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長(zhǎng)交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，∴；∵，∴，∵，∴；在上取一點(diǎn)T，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于S，連接，∴，∵，∴，∴球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是先變大后變小，故答案為：③；猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，∴，∵，∴，即，∴上異于點(diǎn)Q的其他所有點(diǎn)對(duì)的張角都小于，∴球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長(zhǎng)交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求；理由如下：∵，∴，∵，且，即是兩條平行線間的距離，∴也是這兩條平行線間的距離，∴，∴直線與相切，∴由“猜想驗(yàn)證”可知，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)P時(shí)，最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)于判定，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，確定圓心，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，平行線間間距相等等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）足球射門時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門AB的張角越大，射門越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門點(diǎn)．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)員帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得（此時(shí)也有）時(shí)，恰好能使球門AB的張角達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門點(diǎn)．(1)如圖2所示，AB為球門，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿CD行進(jìn)時(shí)，，，為其中的三個(gè)射門點(diǎn)，則在這三個(gè)射門點(diǎn)中，最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)______；(2)如圖3所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門，于點(diǎn)D，，．某球員沿CD向球門AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長(zhǎng)度并求出的值；②已知對(duì)方守門員伸開雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時(shí)守門員站在張角內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進(jìn)行防守，求MN中點(diǎn)與AB的距離至少為多少時(shí)才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)①；；②．【分析】（1）連接、，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可判斷；（2）①根據(jù)最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q，可證△ADQ∽△QDB，列出比例式即可求出DQ的長(zhǎng)度，作BE⊥AQ于E，求出線段長(zhǎng)，利用三角函數(shù)求解即可；②根據(jù)題意可知，過MN中點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性質(zhì)求出EM，再解直角三角形求出MP、PF、PO即可．【詳解】（1）解：連接、，∵CD∥AB，∴，∵，，∴，∴，∴，∴最佳射門點(diǎn)為故答案為：．（2）解：①作BE⊥AQ于E，∵最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴，∵，∴，∴△ADQ∽△QDB，∴，∵，，∴，代入比例式得，，解得，（負(fù)值舍去）；，∴，，∴，，∴，，則，；②過MN中點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交AQ于P，∵守門員伸開雙臂后，可成功防守的范圍為，∴當(dāng)時(shí)才能確保防守成功．∵M(jìn)N⊥AQ，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∵，∴，，∵，∴，；MN中點(diǎn)與AB的距離至少為時(shí)才能確保防守成功．．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，解題關(guān)鍵恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，熟練運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求解．11．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(在的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求、、的坐標(biāo)及的值；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與拋物線交于、，若，求直線的解析式；(3)過點(diǎn)作直線，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使的值最大？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)、，，；(2)直線的解析式為：或；(3)存在，．【分析】（1）令，即可求出點(diǎn)、坐標(biāo)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出．（2）如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，設(shè)直線的解析式為，，，列出方程組消去，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及，列出方程即可解決問題．（3）存在點(diǎn)，使的值最大，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)與相切于點(diǎn)（如圖3），求出即可．【詳解】（1）解：令，得，、；，，代入得；（2）解：如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，

，，又，，設(shè)直線的解析式為，，，由消去得，，，，，，，直線的解析式為：或；（3）解：存在點(diǎn)，使的值最大，如圖2，設(shè)的外接圓為，是弦心距，則，

在中，為定值，當(dāng)?shù)陌霃阶钚r(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)與相切于點(diǎn)（如圖3），由，得，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理、圓、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．12．（2024九年級(jí)下·上海·專題練習(xí)）（1）如圖①，是的弦，直線l上有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在上，則、、的大小關(guān)系為__________＜__________＜__________；（2）如圖②，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C．點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)且，為x軸上一條可移動(dòng)的線段，，連接，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，連接．求當(dāng)最小時(shí)，的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）設(shè)交于C，的延長(zhǎng)線交于D，連接，可得出，從而，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）過A、B兩點(diǎn)的圓I與x軸相切時(shí)，最大，連接，作于D，可得出，從而，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）在y軸上取點(diǎn)，將其向右移動(dòng)20個(gè)單位至，連接，交x軸于B，將點(diǎn)B向左移動(dòng)20個(gè)單位得A，則最小，可求得點(diǎn)，過A、B的圓I與相切于P時(shí)，最大，，作于H，交于G，連接IP，設(shè)則，，在中，由勾股定理得出，求得x的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)交于C，的延長(zhǎng)線交于D，連接，∵，∴，∵是的外角，∴，同理可得：，∴，故答案為：；（2）如圖2，當(dāng)過A、B兩點(diǎn)的圓I與x軸相切時(shí)，最大，∴，連接，作于D，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，由題意得：，在y軸上取點(diǎn)，將其向右移動(dòng)20個(gè)單位至，連接，交x軸于B，將點(diǎn)B向左移動(dòng)20個(gè)單位得A，則最小，∵，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為：，由得，∴點(diǎn)，過A、B的圓I與相切于P時(shí)，最大，，作于H，交于G，連接，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則在中，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，∴，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，求一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對(duì)定角”等模型．13．（2023·廣東深圳·三模）【問題發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長(zhǎng)常常通過測(cè)定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？【解決問題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門米，米，米，，．該球員在射門角度（）最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）

【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得到當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，然后利用解直角三角形和勾股定理求解即可．【詳解】（1）∵是的外角，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下：如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∵是的外角，∴，∴；（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，

過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)的半徑，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了最大張角問題，圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．14．（2024·陜西·二模）（1）如圖1，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B，C均在直線l上，于點(diǎn)D，且，，求的最小值；（2）如圖2，某公園有一塊四邊形空地，園區(qū)管理人員計(jì)劃將該空地進(jìn)行劃分，種植不同的花卉，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，，將其分為三個(gè)區(qū)域．已知，，，若保持，試求四邊形面積的最大值．【答案】（1）的最小值為；（2）【分析】（1）的外接圓，連接，過點(diǎn)O作，先由圓周角定理和垂徑定理得，，則，，設(shè)，則，再由即可求解；（2）長(zhǎng)交于點(diǎn)M，如圖所示：則均為等腰直角三角形，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則三點(diǎn)共線由，因?yàn)闉槎ㄖ担〉米钚≈禃r(shí)，取得最大值．【詳解】（1）解：如圖，作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作，則，∵∴，設(shè)，則，∵∴，解得：，∴，∴的最小值為；（2）解：分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，如圖所示：則均為等腰直角三角形∵，，，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則三點(diǎn)共線∴∵為定值∴當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，∵∴以為斜邊作等腰，則的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，過點(diǎn)O作于點(diǎn)J，設(shè)的外接圓半徑為，則，∵∴∴當(dāng)點(diǎn)O在上時(shí)，最短，此時(shí)∴∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，三角形的外接圓，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型．15．（2024·廣東深圳·二模）【問題提出】(1)如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)在邊上，，連接，則的面積為____【問題探究】(2)如圖2，已知在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)的工作面，其中、分別在、邊上不與點(diǎn)、、重合，且，為了減少對(duì)該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在一個(gè)面積最小的，其最小值為平方米【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）延長(zhǎng)到使得，連接，證明，，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，得出，過點(diǎn)作于，作于，則四邊形是矩形，則，得出當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最小；作的外接圓，圓心為，連接，，，過點(diǎn)作于，當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，進(jìn)而求得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為米，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵等邊的邊長(zhǎng)為，∴，，∴又∵，∴的面積為，故答案為：．（2）如圖所示，延長(zhǎng)到使得，連接，四邊形是正方形，，，，，，∠，，，，又，，，，又，；（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，，，，，過點(diǎn)作于，作于，則四邊形是矩形，，，，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最??；如圖所示，作的外接圓，圓心為，連接，，，過點(diǎn)作于，設(shè)，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為米，平方米存在一個(gè)面積最小的，其最小值為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【問題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為______；【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問題解決】（3）如圖③，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，米，．則四邊形的面積的最小值為______．【答案】（1）11；（2）；（3）平方米【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)垂線段最短可得R的最小值，從而得出的最小值，進(jìn)而得出答案；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，在上截取，連接，利用證明，則，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，由（2）同理求出面積的最小值即可．【詳解】解：（1）∵圓心到弦的距離為4，若的半徑為7，∴上的點(diǎn)到弦的距離最大值為，故答案為：11；（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，如圖．，，，設(shè)，則，由，得，即，∴，，．即面積的最小值為；（3）