專題10 圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題10圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿基米德折弦模型 1模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型 10 16模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；例1．（2024·廣東·?？家荒＃┒x：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．【答案】60°．【分析】連接OA、OC、OE，由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即,進(jìn)而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，則∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.【詳解】解：如圖2，連接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關(guān)鍵是掌握題中給出的關(guān)于阿基米德折弦定理的內(nèi)容并進(jìn)行應(yīng)用.例2．（2023·廣東九年級期中）如圖，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，若，，則CD的長為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】作輔助線在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，使AB和CG在△MBA和△MGC中，通過證明△MBA≌△MGC（SAS），得出CD=AB+BD；【詳解】解：如圖，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，全等三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定；熟練掌握圓周角定理及其推論：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測）請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，．于點(diǎn)E，，連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，推出，．再證，推出，等量代換可得；（2）先利用等邊三角形的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，，求出，再利用（1）中結(jié)論可得，通過等量代換可得．【詳解】（1）證明：如圖，，

∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．（2）解：如圖，∵是等邊三角形，∴，．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)C是的中點(diǎn)．∴由（1）的結(jié)論得，，∴的周長是．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等量代換思想．例4．（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．【答案】（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實踐應(yīng)用）7或．【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實踐應(yīng)用）已知∠D1AC＝45°，過點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【詳解】（問題呈現(xiàn)）①相等的弧所對的弦相等②同弧所對的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M(jìn)是弧AC的中點(diǎn)，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實踐應(yīng)用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因為AB＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，過點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長為7或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧.例5．（24-25九年級上·北京·期中）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知，C是弦AB上一點(diǎn)(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線DE，交于點(diǎn)D，垂足為E；②以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)F（F，A兩點(diǎn)不重合），連接．(2)引理的結(jié)論為：．證明：連接∵DE為的垂直平分線∴∴又∵四邊形內(nèi)接于圓∴（______）①（填推理的依據(jù)）又∵∴____________…②又∵∴____________…③∴∴∴．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【分析】本題考查了垂直平分線的基本作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（1）①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖即可；②按照步驟畫圖即可．（2）根據(jù)三角形全等的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推理證明即可．【詳解】（1）解：①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖如下：則即為所求．②根據(jù)題意，畫圖如下：則即為所求．（2）證明：連接，，，．∴為的垂直平分線，∴，∴．又∵四邊形內(nèi)接于圓∴．（圓的內(nèi)接四邊形，對角互補(bǔ)）．又∵，∴．又∵，∴，（同圓或等圓中，等弧所對圓周角相等）．∴，∴．例6．（2024·河南商丘?？家荒＃╅喿x下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．小明認(rèn)為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接任務(wù)：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，(2)就圖3證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先證明，進(jìn)而可得，即可得到解答；（2）由（1）可知，，整理等式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取C，連接，∵是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴∵，∴∴；（2）證明：在中，，在中，，由（1）可知，，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形（即對角互補(bǔ)的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點(diǎn)（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例1．（2024·河南·?？家荒＃╅喿x下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線將平分對邊”．按圖寫出這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；已知：________________________________________________________________________________，求證：________________________________________________________________________________，證明：________________________________________________________________________________．【答案】見解析【分析】由AC⊥BD，EF⊥AB，即可得出∠BMF＝∠MAF，進(jìn)而證得∠EDM＝∠EMD，得出DE＝ME，同理可證ME＝CE，即可證得結(jié)論．【詳解】解：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作AB的垂線分別交AB、DC于點(diǎn)F，E．求證：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)．證明：∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可證ME＝CE，∴DE＝CE，∴點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)．點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)．∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可證ME＝CE，∴DE＝CE；【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，等角的余角相等，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2024·重慶·?？家荒＃┢帕_摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．則．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．…任務(wù)：(1)將上述證明過程補(bǔ)充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命題：如圖②，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點(diǎn)M，直線FM交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．若，則．請證明該命題．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）可推出∠DMF＝∠ADM，進(jìn)而得證；（2）先推出FM＝AF＝FD，進(jìn)而可推出∠CBD+∠BME＝90°即可得證．【詳解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD（2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD，∵，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM，∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定．例3．（2024·山西太原·三模）請閱讀下面的材料，并解答問題．婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就，他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達(dá)克迪迦》，婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，其中有著名的婆羅摩笈多定理．婆羅摩笈多定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角線與垂直相交于M，過點(diǎn)M的直線與邊分別相交于點(diǎn)F、E．則有下兩個結(jié)論：如果，那么；如果，那么．?dāng)?shù)學(xué)課上，趙老師帶領(lǐng)大家對該定理的第一條進(jìn)行了探究．證明：，，即，，，在中，，……請解答以下問題：(1)請完成所給材料的證明過程；(2)請證明結(jié)論（2）；(3)應(yīng)用：如圖圓O中，半徑為4，A，B，C，D為圓上的點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于E，延長交于G，則的長度為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)得到進(jìn)而推出，同理得到，根據(jù)等邊對等角即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，利用圓周角定理結(jié)合對頂角推出，從而得到，即可證明；（3）連接，設(shè)交于點(diǎn)M，先利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意易證，再利用三角形內(nèi)角和定理推出，從而證明，由（1）中結(jié)論易得，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得到，再根據(jù)勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，，即，，，在中，，，又∵，∴，∴，∵，∴∴，∴；（2）證明：∵∴，∴又∵，∴，∵，∴∴，∴；（3）解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)M，，，，，即，，，，，，由（1）中結(jié)論可得，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練運(yùn)用等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】延長ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，從而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)列式可求BE的長度，從而可求得AE的長度．【詳解】解：延長ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，如圖，∵BC為⊙O的直徑，MD⊥BC于點(diǎn)D，∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出輔助線，得出三角形相似．2．（23-24九年級上·河南漯河·期末）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．如圖，和組成圓的折弦，，是的中點(diǎn)，于，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，在上截取，證明，推出，利用等腰三角形“三線合一”可證，等量代換可得．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，，，是的中點(diǎn)，，，和都是所對的圓周角，，在和中，，，，又，，，故C選項正確，現(xiàn)有條件不能證明選項A，B，D中的結(jié)論一定成立，故選C．3．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形”．如圖，在中，四邊形是“婆氏四邊形”，對角線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等推出，則，再證明，得到，則．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳角互余，證明，是解題的關(guān)鍵．4．（23-24九年級下·江西南昌·期末）婆羅摩笈多是公元7世紀(jì)的古印度偉大數(shù)學(xué)家，曾研究對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且是“婆羅摩笈多四邊形”、若，則的半徑為．

【答案】1【分析】連接，交于點(diǎn)E，連接并延長交于F，連接，設(shè)的半徑為r，根據(jù)圓周角定理的推論得出，然后求出，再利用勾股定理得出，同理可得，然后得出，即可求出的半徑．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)E，連接并延長交于F，連接，設(shè)的半徑為r，

∵是直徑，∴，由題意知，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，即的半徑為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，作出合適的輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．5．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）古代數(shù)學(xué)家阿基米德曾經(jīng)提出一個定理：一個圓中一條由兩條長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖（1），弦，是的一條折弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則．根據(jù)這個定理解決問題：如圖（2），邊長為的等邊內(nèi)接于，點(diǎn)為優(yōu)弧上的一點(diǎn)．，則的周長是．【答案】/【分析】過點(diǎn)Q作于T，在上截取，連接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再證明，得，從而利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，即可得出，則，即可由三角形周長公式求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)Q作于T，在上截取，連接，，∵等邊∴，，∵∴∵∴∴∵∴，由題意可得：，，在和中，，，，，，∴∴∴的周長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊”．任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．【答案】（1）見解析；（2）菱形【分析】（1）先寫出已知、求證，先證明，再證明，即可證明（2）先證明，再證明,由布拉美古塔定理證明即可證明【詳解】（1）已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)證明：，，，，，同理可證，，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)故答案為：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)（2）四邊形是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)∴四邊形是菱形故答案為：四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、根據(jù)題意寫已知求證、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵7．（23-24九年級上·山西大同·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：斯庫頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過程：證明：如圖2，是的外接圓，延長交于點(diǎn)，連接．∵為的平分線，∴．∵，（依據(jù)①__________________________）．（依據(jù)②_________________________）又，．．……任務(wù)：（1）證明過程中的依據(jù)是：①__________________________________．②__________________________________．（2）將證明過程補(bǔ)充完整：（3）如圖3．在圓內(nèi)接四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)．若，，，，，請利用斯庫頓定理，直接寫出線段的長．【答案】（1）①同弧或等弧所對的圓周角相等，②兩角分別相等的兩個三角形相似；（2）見解析；（3）【分析】（1）由圖可知和所對的弧是同一條弧，根據(jù)同弧或者等弧所對圓周角相等可知結(jié)論；已知兩角分別相等的兩個三角形相似；（2）已知兩角分別相等的兩個三角形相似可知，進(jìn)而得到比例關(guān)系，最后得出結(jié)論；（3）由斯庫頓定理，得，從而求出的值，再根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似可知：，進(jìn)而得出的值，最后由線段和可知的值．【詳解】解：（1）①同弧或等弧所對的圓周角相等∵和所對的弧是同一條弧∴①應(yīng)填：同弧或等弧所對的圓周角相等②兩角分別相等的兩個三角形相似∵題目中的結(jié)論是兩個三角形相似，用的方式是三角形的兩個角分別相等∴②應(yīng)填兩角分別相等的兩個三角形相似（2）∵，..（3）∵.∴弧弧CE∴∴平分.由斯庫頓定理，得又∵，，，，∴.解得或（舍去）?！?.∴∴∴解得∴【點(diǎn)睛】本題是一道閱讀理解題，通過讀材料運(yùn)用已知條件得到斯庫頓定理，理解并會運(yùn)用斯庫頓定理是解題的關(guān)鍵．8．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）【概念認(rèn)識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，若，cm，，求的長度，【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動中，小李與同學(xué)討論出了如下方法：如圖2，在中，已知是的弦，只需作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，請你寫出證明過程．【問題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形（、不重合且、、三點(diǎn)不共線），對角線與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時，求弦的長度．【答案】（1）5；（2）見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義列式求解即可；（2）連結(jié)，并相交于點(diǎn)，證明，得到，證明，即可得到結(jié)果；（3）方法一：連接，，根據(jù)已知條件求出AD，DE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可；方法二：通過已知條件證明和是等腰直角三角形，在根據(jù)條件計算即可；【詳解】（1）由垂等四邊形的定義得，又∵，∴，∴．（2）如圖1，連結(jié)，并相交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，即，∵，，，∴，∴．∵，，∴四邊形是垂等四邊形．（3）方法一：連接，，由（2）可得等腰，∴，作，易證得，∴，設(shè)，，可得方程，解得（如圖2），（如圖3），∴或，作，∵，∴，∴，∴或，∴（如圖2）或（如圖3）．方法二：∵且，∴，∴，∴，∴，∴和是等腰直角三角形，∴由方法一得或，根據(jù)可得或2，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用和四邊形綜合知識的計算是解題的關(guān)鍵．9．（23-24湖南長沙九年級月考）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．【答案】（1）③；（2）3；（3）①見解析；②【分析】（1）根本圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和平行四邊形對角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，從而可證明四邊形ABCD為矩形，再根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形即可判斷；（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可；（3）①根據(jù)圓周角定理即可得出，從而可得∠CED=90°，繼而證明結(jié)論；②作OM，ON分別垂直與AD，BC，證明△OAM≌△BON，設(shè)，則，，，在Rt△BON中，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出半徑的最小值．【詳解】解：（1）如下圖，∵平行四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∵四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD為正方形，故答案為：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD為直徑，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四邊形ABED是“婆氏四邊形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，設(shè)AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)E如圖所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②如下圖，作OM，ON分別垂直與AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4設(shè)，則，，，在Rt△BON中，，當(dāng)時，取得最小值，即⊙O半徑的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等．（1）中能正確證明出四邊形的一個角是90°是解題關(guān)鍵；（2）中能正確表示出Rt△EDC的三個邊是解題關(guān)鍵；（3）中①正確利用圓周角定理是解題關(guān)鍵；②正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．10．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖1所示，A、B、C、D四點(diǎn)在上逆時針順序分布，且滿足．(1)求證：點(diǎn)A到兩邊的距離相等；(2)如圖2，已知與相交于點(diǎn)，為的直徑．若，，求的長．(3)已知，與相交于點(diǎn)，直線與直線相交于圓外一點(diǎn)G，若線段為的一條高，試求：的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，首先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可；（2）過點(diǎn)D作，交延長線于點(diǎn)Q，根據(jù)平行線分線段成比例得到，得到，設(shè)，則，得出，求出，，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（3）首先得出，證明出，得到，設(shè)，求出，，同理可證，，得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖1，連接，∵，∴，∴點(diǎn)A到兩邊的距離相等；（2）∵，∴，∵為直徑，∴，∴，如圖2，過點(diǎn)D作，交延長線于點(diǎn)Q，∴，，又由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，則，設(shè)，則，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，，又∵，，∵，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，與相交于點(diǎn)，直線與直線相交于圓外一點(diǎn)G，∵為的一條高，若，則，與題意矛盾．∴，此時為的直徑，∴，∴又∵∴，∴，設(shè)，∴，．同理可證，，∴，∴∴∴原式∵，∴，∴．當(dāng)時，原式有最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形綜合題，解直角三角形，三角形的相似的性質(zhì)和判定，等弦對等弧，等弧對等角，平行線分線段成比例等相關(guān)知識點(diǎn)，牢記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．（2023·江蘇淮安·三模）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點(diǎn)與該邊所對頂點(diǎn)連線長度的平方，則稱這個點(diǎn)為三角形該邊的“平方點(diǎn)”．如圖1，中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知，在四邊形中，平分于點(diǎn)E，，求證：點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”；(2)如圖3，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”，若，求的值；(3)在，，點(diǎn)E是邊上的“平方點(diǎn)”，直接寫出線段的長為______．【答案】(1)答案見解析(2)(3)5或8【分析】（1）先證，得，再由平分，得，即可得答案；（2）由點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”得，再證，得，可得，再證，得，即可得答案；（3）先求出的長，設(shè)，得，解答即可．【詳解】（1）解：，，，，平分，，，點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”；（2）如下圖，延長交圓O于點(diǎn)D，連接，

點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”，，是的內(nèi)接三角形，，，，，，，，，，，；（3）如下圖，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

，，，設(shè)，由題意得：，，解得：，的長為5或8．【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．12．（2024·河南安陽·?？家荒＃╅喿x下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．(2)請將證明過程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時，，請你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C和點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結(jié)論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；（2）如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上；（3）如圖，連接．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關(guān)鍵．13．（2024·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．（1）寫出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．【答案】（1）；（2），見解析；（3）40【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可求得；（2）在線段上截取，根據(jù)是的中垂線，，可得，進(jìn)而可得，；（3）根據(jù)即可求得．【詳解】（1）是的中點(diǎn)，故答案為：（2）理由如下：如圖，在線段上截取，∵∴是的中垂線∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，∴∵∴，∵，∴，∴，∴，∴即（3）∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級上·吉林長春·期中）有關(guān)阿基米德折弦定理的探討與應(yīng)用【問題呈現(xiàn)】（1）阿基米德折弦定理：如圖①，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向作垂線，垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖②，在上截取，連接、、和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，．……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．【理解運(yùn)用】（2）如圖③，內(nèi)接于，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．若，，則的長為______．【實踐應(yīng)用】（3）如圖④，等邊內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的周長為______．

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）【分析】（1）先證明，得出，根據(jù)三線合一性質(zhì)得到，進(jìn)而得到；（2）利用垂徑定理得到，根據(jù)阿基米德折弦定理求出，利用求出結(jié)果；（3）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，基米德折弦定理，結(jié)合題意得出是等腰直角三角形，求出，進(jìn)而求出，從而求出結(jié)果．【詳解】解：（1）問題呈現(xiàn)：在和中，，，，，，即；（2），，是的中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：3；（3）是等邊三角形，，，是的中點(diǎn)，，如圖：作于點(diǎn)，則，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，理解題中給出的阿基米德折弦定理是解答本題的關(guān)鍵．15．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．這個定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．∵是弧的中點(diǎn)，∴．…

任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，，則折弦的長是______．

【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，得，。再根據(jù)直角三角形的全等和判定，得，推出，即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，則，，根據(jù)，于點(diǎn)，，得；由題意得，，則折弦的長為：，即可．【詳解】（1）∵是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵和所對的弧是，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．（2）∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴折弦的長為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，掌握折弦定理的運(yùn)用．16．（23-24九年級上·河南周口·期末）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點(diǎn)，∴，……(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)實踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為______.(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，．在和中，，，又，，．（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為故答案為：．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，由阿基米德折弦定理得：，∵∴∴，∴的周長為【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解“截長法”是解答本題的關(guān)鍵．17．（23-24·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道，如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥AB于點(diǎn)E，易得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即AE＝EB．⊙O上一點(diǎn)C（AC＞BC），則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”．（1）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的上方時（如圖2），過點(diǎn)F作EF⊥AC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中點(diǎn)，即AE＝EC+CB．（2）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的下方時（如圖3），其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明．（3）如圖4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過⊙O上一點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)∠PAB＝45°時，求AH的長．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論AE＝EC+CB不成立，新結(jié)論為：CE＝BC+AE，見解析；（3）AH的長為﹣1或+1．【分析】（1）在AC上截取AG＝BC，連接FA，F(xiàn)G，F(xiàn)B，F(xiàn)C，證明△FAG≌△FBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG＝FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG＝EC，即可證明.（2）在CA上截取CG＝CB，連接FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C，證明△FCG≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG＝FB，得到FA＝FG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE＝GE，即可證明.（3）分點(diǎn)P在弦AB上方和點(diǎn)P在弦AB下方兩種情況進(jìn)行討論.【詳解】解：（1）如圖2，在AC上截取AG＝BC，連接FA，F(xiàn)G，F(xiàn)B，F(xiàn)C，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，F(xiàn)A＝FB，在△FAG和△FBC中，∴△FAG≌△FBC（SAS），∴FG＝FC，∵FE⊥AC，∴EG＝EC，∴AE＝AG+EG＝BC+CE；（2）結(jié)論AE＝EC+CB不成立，新結(jié)論為：CE＝BC+AE，理由：如圖3，在CA上截取CG＝CB，連接FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴FA＝FB，,∴∠FCG＝∠FCB，在△FCG和△FCB中，∴△FCG≌△FCB（SAS），∴FG＝FB，∴FA＝FG，∵FE⊥AC，∴AE＝GE，∴CE＝CG+GE＝BC+AE；（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴當(dāng)點(diǎn)P在弦AB上方時，如圖4，在CA上截取CG＝CB，連接PA，PB，PG，∵∠ACB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠PAB，∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，在△PCG和△PCB中，∴△PCG≌△PCB（SAS），∴PG＝PB，∴PA＝PG，∵PH⊥AC，∴AH＝GH，∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，∴∴當(dāng)點(diǎn)P在弦AB下方時，如圖5，在AC上截取AG＝BC，連接PA，PB，PC，PG∵∠ACB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠PAB，∴PA＝PB，在△PAG和△PBC中，∴△PAG≌△PBC（SAS），∴PG＝PC，∵PH⊥AC，∴CH＝GH，∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，∴∴∴即：當(dāng)∠PAB＝45°時，AH的長為或【點(diǎn)睛】考查弧，弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)，注意分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用.18．（23-24·江蘇·九年級期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上