專題11 三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型等腰直角三角形，是初中數(shù)學中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比”、“45°輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸，常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學習中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等直內(nèi)接等直模型 2模型2.等直+高分線模型 8 15模型1.等直內(nèi)接等直模型等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點，且∠EPF=90°。結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦?。┳C明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點是的中點同理可得：，，∵AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易證是等腰直角三角形?！郃E+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴?！逜E=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點D是中點，∴∴，∴又∵∴故選：C例2．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，，直角的頂點P是中點，兩邊分別交于點E、F，當在內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），給出下列四個結(jié)論：①是等腰三角形；②M為中點時，；③；④和的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等角的余角相等求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，全等三角形的面積相等求出，隨著點E的變化而變化，不一定等于，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，，然后解答即可．【詳解】解：∵，∴是等腰直角三角形，∵點P為的中點，∴，∵是直角，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，故①正確；∴，故④正確；∵隨著點E的變化而變化，∴不一定等于，故③錯誤；∵M為中點，，∴，∴，故②正確；故①②④正確，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明出是解決此題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠MPN為直角，使點P與點O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點，連接EF交OB于點G，則下列結(jié)論：①EF＝OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】①由四邊形是正方形，直角，易證得（ASA），則可證得結(jié)論；②由①易證得，則可證得結(jié)論；③，故可得結(jié)論；④首先設(shè)，則，，繼而表示出與的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案；⑤易證得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得，再利用與的關(guān)系，與的關(guān)系，即可證得結(jié)論.【詳解】解：①四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，（ASA），，，，故正確；②，，故正確；③，故正確；④過點作，，，設(shè)，則，，，，當時，最大；即在旋轉(zhuǎn)過程中，當與的面積之和最大時，，故錯誤；⑤，，，，，，，，在中，，，，故正確.故選.【點睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.例4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板中，，，為的中點，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點放置于點上，得到，將繞點旋轉(zhuǎn)，射線，分別與邊，交于，兩點，如圖1所示．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當，分別是，的中點時，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)類比探究：如圖3，當，不是，的中點，但滿足時，判斷形狀，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將繞點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與，的延長線交于，兩點，滿足，是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；②若在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，射線，分別與直線，交于，兩點，滿足，若，，則________（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見詳解(3)①是等腰直角三角形，理由見詳解；②或或【分析】（1）根據(jù)題意易得，然后可證，則問題可求證；（2）連接，然后可證，則有，進而問題可求解；（3）①連接，然后可證，則有，進而問題可求解；②根據(jù)①及（2）可直接進行求解．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，，為的中點，∴，，∴都是等腰直角三角形，∵，分別是，的中點，∴，，，∴，，∴；故答案為，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：連接，如圖所示：∵，，為的中點，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：①仍然具有（2）中的情況，理由如下：連接，如圖所示：∵，，為的中點，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形；②由①和（2）可知：在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，始終有，當，是，上的點，如圖3，∵，，∴；當射線，分別與直線，交于，兩點，如圖4，∴；當射線，分別與直線，交于，兩點，如圖所示：∴故答案為或或．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．模型2.等直+高分線模型等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。條件：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點．結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．證明：，，，，，，，，，，在和中，，．平分，，∵，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形．，，，平分，點到的距離等于點到的距離，，∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。例1．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習）如圖，在中，于D，平分，且于E，與相交于點F，H是邊的中點，連接與相交于點G，以下結(jié)論中：①是等腰三角形；②；③；④．正確的結(jié)論有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】證明可得，即可判定①；證明得到，進而證明得到，即可判斷②；利用三線合一定理和直角三角形的性質(zhì)得到，，進而利用勾股定理得到，由此即可判斷③；如圖所示，連接，證明，得到，利用勾股定理即可證明，即可判斷④．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即是等腰三角形，故①正確；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵H是邊的中點，∴，，∴，∴，故③正確；如圖所示，連接，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故④正確；故選A．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，靈活運用所學知識，通過證明三角形全等得到相應(yīng)的線段相等，進而利用勾股定理得到結(jié)論是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，等腰中，于點D，的平分線分別交于E、F兩點，M為的中點，的延長線交于點N，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④，其中正確結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，進而證，即可判斷①；根據(jù)平分，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，即可得出，即可判斷②；根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得出，即可判斷③；再證，推出，即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，∴為等腰三角形，故②正確；又∵M為的中點，∴，故③正確；在和中，，，故①正確；在和中，，，，故④正確；即正確的有4個，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等相關(guān)知識的應(yīng)用，能熟練運用相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，主要考查學生的推理能力．例3．（23-24八年級·浙江杭州·階段練習）已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點是邊的中點，連結(jié)與相交于點．（1）說明：；（2）說明：；（3）試探索，,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，從而得出BF=AC．（2）利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因為BF=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三線合一”）和勾股定理即可求解．【解析】解：（1）∵CD⊥AB∴∠BDF=∠CDA=90

∠A+∠ACD=90∵BE⊥AC∴∠A+∠FBD="90

"∴∠FBD=∠ACD∵∠BDC="90"∴∠DCB=∴BD="CD"∴△BDF≌△CDA∴(2)∵平分∴△ABC關(guān)于直線BE成軸對稱圖形∴∵∴(3)連結(jié)GC∵∠DCB=∵CD⊥AB∴△BDC是等腰直角三角形∵H是BC的中點

∴DH是BC的中垂線

∴CG="BG"∠EGC=2∠EBC=45∵BE⊥AC∴△GEC是等腰直角三角形∴CE=GE=CG即CE=GE=BG例4．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角中，，，點為上一點，于點，交于點，于點，交于點，連接，．(1)若，求證：垂直平分；(2)若點在線段上運動．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：平分．【答案】(1)證明見解析(2)①，理由見解析；②證明見解析【分析】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明得到，即可推出為的垂直平分線；（2）①利用同角的余角相等得到，利用證明，即可得到；②作交于點N，先證明，，，再利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴為的垂直平分線；方法二：∵且，∴BD垂直平分；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，又∵在等腰直角中，，，∴，∴，在和中，，∴，∴；②作交BD于點N，∴，∴，∵，，且，∴，∵等腰直角中，，，∴，在和中，，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴，∵∴平分．1．（23-24山東威海九年級上期中）已知中，，，D是邊的中點，點E、F分別在、邊上運動，且保持．連接、、得到下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②面積的最大值是2；③的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】B【分析】證明，進一步可得，，所以可知是等腰直角三角形．故①正確；根據(jù)由于是等腰直角三角形，可知當時，最小，此時，．故③錯誤；利用，推出，當面積最大時，此時的面積最小，求出此時，故②正確；【詳解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，；在和中，∴；∴，；∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此選項正確；③由于是等腰直角三角形，因此當最小時，也最??；即當時，最小，此時．∴．故此選項錯誤；②∵，∴，∴，當面積最大時，此時的面積最小，∵，，∴，∴，此時，故此選項正確；故正確的有①②，故選：B【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用．2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，的平分線交BC于點E，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長AE交CF于點G，連接BG，DG與AC相交于點H．有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，可得；②由正方形的性質(zhì)得，即，進而可得；③先證明，可得，根據(jù)，平分可得進而可得；④先證明，可得，即，故可求解．【詳解】解：①∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，故①正確；②由正方形的性質(zhì)得，平分，，，，，故②正確；③，∴AC=AF，∵AG平分，∴，，，，，，，，，，平分，，，，故③正確；④，，，，，，故④正確，綜上，正確的結(jié)論是①②③④，共四個，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要是正方形的一個綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，涉及的知識點多，綜合性強，難度較大，靈活運用這些知識解題是關(guān)鍵．3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角中，，于點D，的平分線分別交于點E，F(xiàn)，M為中點，延長線交于點N，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)三線合一的性質(zhì)證明，即可判斷①；證明A、B、D、M四點共圓，則，得到，即可判斷③；證明，過點D作于點H，則，設(shè)，則，得到，則，即，即可判斷②；求出，過點D作于點P，求出，即可判斷④；證明，則，利用等量代換即可判斷⑤.【詳解】解：∵，，，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵M為中點，∴，∴，∴，∴在和中，∴，∴，∴①正確；∵，∴A、B、D、M四點共圓，∴，∴，∵，∴平分∴③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴過點D作于點H，則，∴，設(shè)，則，∴∵∴，即，∴；故②正確；∵，∴∴，過點D作于點P，則，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴，∴∴，故④錯誤；∵，，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，故⑤正確；綜上可知，正確結(jié)論是①②③⑤，故選：C【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵，綜合性較強．4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD交于F，H是BC邊的中點，連接DH與BE交于點G，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】證明△BDF≌△CDA可判斷①；由利用三角形的外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和定理可判斷②；連接利用DH是BC的垂直平分線，從而可判斷③；過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，設(shè)分別計算三角形ADC的面積和四邊形CEGH的面積可判斷④；由△BDF∽△CEF，可判斷⑤．【詳解】解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠DCB=45°=∠ABC，∴BD=DC，∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠DBF=∠ACD，∵在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∠BFD=∠A，∴①正確；∵∠DFB=∠FBC+∠FCB=∠FBC+45°，∠DGF=∠GBD+45°，∠FBC=∠GBD，∴∠DFG=∠DGF，∴∠A=∠DGE，故②正確，如圖，連接∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴△BDC是等腰直角三角形，∵H是BC邊的中點，∴DH垂直平分BC，故③正確；過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，平分四邊形DGMF是菱形，設(shè)則四邊形CFGH的面積＝梯形GHMF的面積＋的面積S△ADCS四邊形CEGH，故④錯誤．∵△BDF∽△CEF，∴，∵BD=DC，CE=AE，DF=DG，∴

∴DG?AE=DC?EF，故⑤正確．故選：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．（2024·湖南長沙·一模）如圖，在中，，．點是邊上的中點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，延長交于點，連接，過點作，交于點．現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①；②；③；④中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題意條件可證得，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，則，故①正確；過點A作，垂足為點H，通過條件證得，，再通過條件證得，結(jié)合對應(yīng)邊相等可得到，從而說明②③正確；通過邊長的等量關(guān)系能推出，最后說明，故能說明④錯誤．【詳解】解：∵由題可知，，，∴，，，，，∵，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，，，∴是等腰直角三角形，即，故①正確；如圖，過點A作，垂足為點H，∵是等腰直角三角形，∴，∵點是邊上的中點，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，故②正確；∴，故③正確；∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，則，故④錯誤；故選C【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，綜合運用相關(guān)知識，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題關(guān)鍵．6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】由“”可證，可得，故①正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得，故②正確，由全等三角形的性質(zhì)可得，則可得，故③正確；由角平分線的性質(zhì)可得點到的距離等于點到的距離，由三角形的面積公式可求，故④正確，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，，在和中，，，故①正確．∵平分，，，∴，∴，，，，故②正確，，，，故③正確；平分，點到的距離等于點到的距離，設(shè)為h，，故④正確，故選：A．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，對角線相交于點O，點E在BC邊上，且，連接AE交BD于點G，過點B作于點F，連接OF并延長，交BC于點M，過點O作交DC于占N，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；②過點O作交AE于點H，過點O作交BC于點Q，過點B作交OM的延長線于點K，首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的邊長，利用勾股定理求出AE,AF,EF的長度，再利用平行線分線段成比例分別求出OM,BK的長度，然后利用即可判斷；③利用平行線分線段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的長度，進而OF的長度可求；④直接利用平行線的性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論．【詳解】∵，∴,又∵∴,，，故①正確；如圖，過點O作交AE于點H，過點O作交BC于點Q，過點B作交OM的延長線于點K，∵四邊形ABCD是正方形，，，．，，，，，，∴，，．，即，∴，，故②錯誤；，，．，，，，，，，．，，，故③正確；，，．，，，故④正確；∴正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題主要考查四邊形綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形中，，于，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，延長交于點，連接，．下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤四邊形是菱形，正確結(jié)論的序號是（

）A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義求得，繼而可得，即可判斷①③；證明出，即可判斷②；證明出，即可判斷④；先證明四邊形為平行四邊形，再由，即可判斷四邊形為菱形，故可判斷⑤．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，故①正確；③錯誤，為的中點，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵為的中點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵為的中點，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，故⑤正確；∴平分，∴，∵，∴，∴，故④正確，∴正確結(jié)論的序號為①②④⑤，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解此題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知中，，，直角的頂點P是中點，兩邊、分別交、于點E、F，當在內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），給出以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤與的面積和無法確定．上述結(jié)論中始終正確的有（

）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)，，點P是中點得到，，，結(jié)合是直角得到，即可得到從而得到即可得到，，即可得到，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，，點P是中點，∴，，，∵是直角，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，故①②③是正確的，故選：A【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．10.（23-24九年級上·廣東河源·期中）如圖，在正方形中，，相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊上的動點（點E，F(xiàn)不與線段的端點重合）且，連接．在點E，F(xiàn)運動的過程中，有下列四個結(jié)論：①始終是等腰直角三角形；②面積的最小值是2；③至少存在一個，使得的周長是；④四邊形的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)，勾股定理可求，證明，則，，由，可判斷始終是等腰直角三角形，可判斷①的正誤；由勾股定理得，，根據(jù)，可知當最小，即時，最小，證明，是等腰直角三角形，則，，可求最小值，進而可判斷②的正誤；根據(jù)，可得，則的周長為，存在，進而可判斷③的正誤；由題意知，，進而可判斷④的正誤，然后作答即可．【詳解】解：∵正方形，為對角線，∴，，，，∵，∴，∴，即，解得，，∵，，，∴，∴，，∴，∴始終是等腰直角三角形，①正確，故符合要求；∴，∵，∴當最小，即時，最小，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴最小為，②正確，故符合要求；∴，∴，∵的周長為，∴，∵，∴，∴，∴存在，∴至少存在一個，使得的周長是，③正確，故符合要求；由題意知，，∴四邊形的面積始終是4，④正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，無理數(shù)的估算等知識．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)確定線段長度，角度；由勾股定理確定線段之間的數(shù)量關(guān)系；由等腰三角形的判定與性質(zhì)，確定線段之間的等量關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)，確定線段、面積的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)無理數(shù)的估算確定線段長度的取值范圍．11．（2024·重慶·中考模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角，是斜邊的中點，點分別在直角邊上，且，交于點．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）的面積等于四邊形的面積的倍；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法和性質(zhì)可判定結(jié)論（1）；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用即可判定結(jié)論（2），（3）；運用相似三角形的判定和性質(zhì)可判定結(jié)論（4）．【詳解】解：結(jié)論（1）錯誤，理由如下：圖中全等的三角形有3對，分別為，，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知，易得；∵，∴，在與中，∵，∴；同理可證：．結(jié)論（2）正確．理由如下：∵，∴，∴，即的面積等于四邊形的面積的倍．結(jié)論（3）正確．理由如下：∵，∴，∴．結(jié)論（4）正確．理由如下：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴．綜上所述，正確的結(jié)論有個．故選：．12．（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形中，對角線相交于點O，點在邊上，且，連接交于點，過點作于點，連接并延長，交于點，過點O作交于點，，以下四個結(jié)論：①；②正方形的面積為9；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明，則，，即，解得，可求，正方形的面積為，進而可判斷②的正誤；如圖，取中點，連接，則，是的中位線，，證明，則，可求，進而可判斷③的正誤；如圖，過作交于，證明，則，證明，則，解得，，，即，進而可判斷①的正誤；由勾股定理得，，則，證明，則，解得，，則，，證明，則，即，可求，，，如圖，作于，則，，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解，可判斷④的正誤．【詳解】解：∵正方形，∴，，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴，②正確，故符合要求；∴，如圖，取中點，連接，則，∵為中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，解得，∵，∴，③正確，故符合要求；如圖，過作交于，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，，∵，∴，∴，①正確，故符合要求；由勾股定理得，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，，∵，∴，，∴，∴，即，解得，，，∴，如圖，作于，∴，∴，，由勾股定理得，，∴，④正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2024·黑龍江·?？家荒＃┤鐖D，在面積為的正方形中，是對角線的交點，過點作射線分別交于點，且交于點．下列結(jié)論：；；③四邊形的面積為．其中結(jié)論正確的序號有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】①由正方形證明OC=OB，∠ODF=∠OCE=45°，∠BOE=∠COF，便可得結(jié)論；②證明點O、E、C、F四點共圓，得∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，進而得OGE∽△FGC便可；③先證明S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD便可；④證明△OEG∽△OCE，得OG?OC=OE2，再證明OG?AC=EF2，再證明BE2+DF2=EF2，得OG?AC=BE2+DF2便可．【詳解】解：①如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴OC=OB，AC⊥BD，∠OCF=∠OBE=45°，∵∠MON=90°，∴∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF（ASA）；故①正確；②∵∠EOF=∠ECF=90°，∴點O、E、C、F四點共圓，∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，∴△OGE∽△FGC；故②正確；③易證△COE≌△DOF，∴S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD=1；故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，又∵∠EOF=90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°=∠OCE，∵∠EOG=∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，∴OG?OC=OE2，∵OC=AC，OE=EF，∴OG?AC=EF2，∵CE=DF，BC=CD，∴BE=CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，∴OG?AC=BE2+DF2，∴2OG?OC=BE2+DF2；故④正確，故選：D．【點睛】本題屬于正方形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運用．解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．14．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點D為AC的中點，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，則FC的長是．【答案】2【分析】連接BD，根據(jù)的等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BED≌△CFD得BE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)得BF=AE，再運用勾股定理可得BE的長，從而可得結(jié)論．【詳解】解：連接BD∵D是AC中點，∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，∴∠EDB=∠CDF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE=CF；∵是等腰直角三角形，∴AB=CB∵BE=CF∴在Rt△BEF中，∴(負值舍去)故答案為：2【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理的運用，本題中連接BD是解題的關(guān)鍵．15．（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點，E、F分別是一個三角板與另一個三角板直角邊AC、BC的交點，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．【答案】【分析】由CE=5，AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的長度，過E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的長度，由于∠CME=2∠ADE，延長MB至P，是MP=ME，可以證明，MP=x，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，過E作EN⊥AD于N，∴NE=NA，同理，延長MB至P，使MP=ME，連接PE，∴可設(shè)又設(shè)則在中，【點睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構(gòu)造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決問題的關(guān)鍵．16．（23-24九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形中，，對角線、交于點O，點E、F分別為邊、上的動點（不與端點重合），且，連接、、，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段的最值問題等．利用正方形的性質(zhì)可得，，利用證明，進而推出是等腰直角三角形，可得，當時，取最小值，由此可得線段的最小值．【詳解】解：在正方形中，對角線、交于點O，，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，當時，取最小值，，，，線段的最小值為．故答案為：．17．（2024·山東德州·二模）如圖，在等腰直角中，，是線段上一動點（與點不重合），連接，延長至點，使得，過點作于點，交于點．(1)若，則______；（用含的式子表示）；(2)求證：；(3)猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)見解析(3)，見解析【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由是等腰直角三角形，得，由，得，再由得；（2）連接，設(shè)，由題知，垂直平分，易得是等腰三角形，即，再求出，又得，故，最后用等量代換可得結(jié)論；（3）過點作于，則為等腰直角三角形，得，先用角角邊證明，得，進而，再結(jié)合即可得出關(guān)系．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，故答案為：；（2