專題02 全等三角形（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+6種提升練）解析版

專題02全等三角形（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+6種優(yōu)選提升練）全等三角形（共14題）一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由全等三角形的對應角相等即可得到答案．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應角相等．2．（2023秋?東遼縣期末）如圖，，點與點，點與點是對應頂點．連接，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)角的和差求解即可．【解答】解：，，，，，，，故選：．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?靖宇縣期末）圖中的小正方形邊長都相等，若，則點可能是圖中的A．點 B．點 C．點 D．點【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和已知圖形得出即可．【解答】解：，點應是圖中的點，如圖，故選：．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．4．（2024春?寬城區(qū)期末）如圖，，與是對應角，與是對應邊．若，，則的長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等，可得，，求出，由此得解．【解答】解：，，，；；故選：．【點評】此題主要考查全等三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是正確的找出全等三角形的對應邊．5．（2024春?二道區(qū)期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出選項．【解答】解：，，，，．故選：．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．6．（2023秋?洮北區(qū)期末）一個三角形的三邊長分別為2，5，，另一個三角形的三邊長分別為，2，6，若這兩個三角形全等，則A．11 B．7 C．8 D．13【分析】根據(jù)已知條件分清對應邊，結(jié)合全的三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】解：這兩個三角形全等，兩個三角形中都有2長度為2的是對應邊，應是另一個三角形中的邊6．同理可得．故選：．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)及對應邊的找法；根據(jù)兩個三角形中都有2找對對應邊是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）7．（2024春?榆樹市期末）如圖，△，其中，，則的大小為25度．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：△，，，，，，故答案為：25．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記“全等三角形的對應角相等”是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?東遼縣期末）如圖，△，點與點，點與點為對應頂點，交于點，若，，則55．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及角的和差可得，，結(jié)合，可求得，即可獲得答案．【解答】解：△，，，，，，．故答案為：55．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024春?長春期末）如圖，四邊形四邊形，若，，，則105．【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)可得，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得的度數(shù)，進一步可得的度數(shù)．【解答】解：四邊形四邊形，，，，，，，，，故答案為：105．【點評】本題考查了全等圖形，四邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖，方格紙中是9個完全相同的正方形，則的值為．【分析】利用全等三角形的判定定理證得△△，則其對應角相等：，則．【解答】解：如圖，在△與△中，，△△，，則．故答案為：．【點評】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題．11．（2023秋?舒蘭市期末）一個三角形的三邊長分別為2，5，，另一個三角形的三邊長分別為，2，6，若這兩個三角形全等，則的值為11．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答．【解答】解：兩個三角形全等，，，，故答案為：11．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．12．（2024春?德惠市期末）如圖，兩個三角形全等，根據(jù)圖中所給條件，可得60．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等、對應角相等，可知道，做題時要找準對應角．【解答】解：左邊的三角形中，所對的角為，兩個全等三角形中，相等的邊是對應邊，兩三角形中，長度為的邊是對應邊，它們對的角是對應角，故答案為：60．【點評】本題利用了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，找準對應邊是做題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）13．（2024春?長春期末）如圖，，其中點、、、在一條直線上．（1）若，，求的大小；（2）若，，則的長為2．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形得到，計算即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，，即，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關(guān)鍵．14．（2024春?長春期末）如圖，，點對應點，點對應點，點、、、在一條直線上．（1）求證：；（2）若，，求邊的取值范圍．【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，等號兩邊同時減去即可得到；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形三邊關(guān)系即可求出邊的取值范圍．【解答】（1）證明：，，，；（2）解：，，，在中，，，即．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．三角形全等的判定（共16題）一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，點，分別在線段，上，與相交于點，已知，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△△A． B． C． D．【分析】欲使△△，已知，可根據(jù)全等三角形判定定理、、添加條件，逐一證明即可．【解答】解：，為公共角，、如添加，利用即可證明△△；、如添，因為，不能證明△△，所以此選項不能作為添加的條件；、如添，等量關(guān)系可得，利用即可證明△△；、如添，利用即可證明△△．故選：．【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應熟練掌握全等三角形的判定定理．2．（2023秋?乾安縣期末）已知：如圖，在長方形中，，．延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點運動，設(shè)點的運動時間為秒，當?shù)闹禐槊霑r．△和△全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【分析】分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【解答】解：因為，若，，根據(jù)證得△△，由題意得：，所以，因為，若，，根據(jù)證得△△，由題意得：，解得．所以，當?shù)闹禐?或7秒時．△和△全等．故選：．【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，．3．（2023秋?榆樹市期末）如圖，點、、、在一條直線上，，，添加下列選項中的條件，能用判定的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的條件和各個選項中的條件，可以寫出判斷的依據(jù)，然后即可判斷哪個選項符合題意．【解答】解：，，當添加條件時，，故選項不符合題意；當添加條件時，，故選項不符合題意；當添加條件時，，故選項不符合題意；當添加條件時，，故選項符合題意；故選：．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法．4．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖，在和中，已知，在不添加任何輔助線的前提下，要使，只需再添加的一個條件不可以是A． B． C． D．【分析】添加，利用即可得到兩三角形全等；添加，利用即可得到兩三角形全等，添加，利用即可得到兩三角形全等．【解答】解：、添加，利用即可得到兩三角形全等，不符合題意；、添加，不能判定兩三角形全等，符合題意；、添加，利用即可得到兩三角形全等，不符合題意；、添加，利用即可得到兩三角形全等，不符合題意；故選：．【點評】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩直角三角形全等的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：，，，．，，符合兩直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本選項符合題意；．，，，符合兩直角三角形全等的判定定理，不是兩直角三角形全等的判定定理，故本選項不符合題意；．，，不符合兩直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本選項不符合題意；．，，，符合兩直角三角形全等的判定定理，不是兩直角三角形全等的判定定理，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．6．（2024春?農(nóng)安縣期末）如圖，有一個邊長為的正方形，將一塊的三角板直角頂點與正方形對角線交點重合，兩條直角邊分別與邊交于點，與邊交于點．則四邊形的面積是A． B． C． D．【分析】連接，，根據(jù)為正方形性質(zhì)得，，，再根據(jù)得，由此可依據(jù)“”判定和全等，則，進而得，然后根據(jù)可得出答案．【解答】解：連接，，如圖所示：四邊形為正方形，，，，，，，，在和中，，，，，正方形的邊長為，，，，故選：．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）7．（2023秋?乾安縣期末）如圖，，，，垂足分別為，，添加一個條件，使，添加的條件是（答案不唯一）（寫出一個即可）【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是，判斷兩三角形全等的根據(jù)是，理由是：，，，，，，，在和中，，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有．8．（2023秋?梨樹縣期末）如圖，在中，，高，交于點．若，，則2．【分析】先由已知得到，即可證明，即可求得繼而可得答案．【解答】解：，，，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對應邊相等的性質(zhì)．解決本題的根據(jù)是證明．9．（2024春?長春期末）如圖，小李用若干長方體小木塊，分別壘了兩堵與地面垂直的木塊墻、，其中木塊墻，．木塊墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板，點在上，點和分別與木塊墻的頂端重合，則兩堵木塊墻之間的距離36．【分析】根據(jù)題意可得，，，，進而得到，再根據(jù)等角的余角相等可得，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．【解答】解：由題意得，，，，，，，，在和中，，；，，，即：兩堵木墻之間的距離為．故答案為：36．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，解題的關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．三．解答題（共7小題）10．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，，，．求證：．【分析】由，得到，由即可證明．【解答】證明：，，，在和中，，．【點評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等三角形的判定方法：．11．（2023秋?榆樹市期末）已知：如圖，點在上，點在上，和相交于點，，．求證：．【分析】由兩角和夾邊即可得出，由全等三角形的性質(zhì)可到，進而可得出結(jié)論．【解答】證明：在和中，，，，，，．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應熟練掌握，也是中考常見題型．12．（2023秋?寬城區(qū)期末）如圖，點、、、在同一條直線上，點、分別在直線的兩側(cè)，，，．（1）求證：△△．（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）由“”可證△△；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【解答】（1）證明：，，；在△和△中，，△△；（2）解：由（1）可知：△△，，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接、，若，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）得出，，求出，則可求出．【解答】證明：，，，，，，，在與中，，；（2）解：，，，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋?梅河口市期末）如圖，中，，點，在邊上，，點在的延長線上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角和等式的性質(zhì)以及證明即可．（2）由，推出，進而利用等腰三角形的角解答．【解答】證明：（1），，，，即，在與中，，；（2），，，．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．15．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，要測量河兩岸相對的兩點，的距離，可以在的垂線上取兩點，，使，再定出的垂線，使，，在一條直線上，這時測得的的長就是的長，為什么？【分析】本題是測量兩點之間的距離方法中的一種，符合全等三角形全等的條件，方案的操作性強，只要測量的線段和角度在陸地一側(cè)即可實施．【解答】解：，，，又直線與交于點，（對頂角相等），，，，即測得的長就是，兩點間的距離．【點評】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，做題時要注意尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．16．（2023秋?臨江市期末）如圖所示，、是高，點在的延長線上，，點在上，．（1）判斷：（用“”、“”、“”填空）；（2）探究：與之間的關(guān)系；（3）若把（1）中的改為鈍角三角形，，是鈍角，其他條件不變，試探究與之間的關(guān)系，請畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）由條件可得出，可證得，可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合（1）可證得，可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)、交于，、是高，，，，，；故答案為：；（2）結(jié)論：，，證明：、是的高，，，，，，在和中，，，，，而，，即，；即，；（3）上述結(jié)論成立，理由如下：如圖所示：、是的高，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，即，．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．角的平分線的性質(zhì)（共15題）一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?綠園區(qū)期末）如圖，在中，平分，若，，則A． B． C． D．【分析】先根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點到和的距離相等，然后根據(jù)三角形面積公式得到．【解答】解：平分，點到和的距離相等，，故選：．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積，能熟記角平分線性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，角平分線上的點到角兩邊的距離相等．2．（2023秋?二道區(qū)期末）將兩把寬度相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，兩把直尺的接觸點記為點，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連結(jié)并延長．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線的判定定理得到是的平分線，計算即可．【解答】解：兩把長方形直尺的寬度相同，點到射線、的距離相等，射線是的平分線，，，，故選：．【點評】本題考查的是角平分線的判定，熟記到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖，是的角平分線，于點，，，，則長是A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出的面積，求出面積，即可求出答案．【解答】解：過作于，是的角平分線，，，，的面積為10，的面積為，，，故選：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?梨樹縣期末）如圖，在中，，平分，若，則點到的距離是A．8 B．9 C．10 D．11【分析】作于．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出，代入求出即可．【解答】解：如圖，作于．，平分交于點，（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等），，，即點到的距離是10．故選：．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．5．（2023秋?通榆縣期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，，，則的面積等于A．4 B．5 C．7 D．10【分析】過作于點，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【解答】解：過作于點，是邊上的高，平分，，，故選：．【點評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）6．（2023秋?舒蘭市期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為14和22，則的長為11．【分析】過點作于點，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：如圖，過點作于點，在中，，的面積為14，則，即，解得：，平分，，，，的面積為22，，解得：，故答案為：11．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?永吉縣期末）如圖，在中，，平分，交于，若，為上一動點，則的最小值為3．【分析】過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：如圖，過點作于，平分，，，，，由垂線段最短可知：的最小值為3，故答案為：3．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，熟記角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?扶余市期末）如圖，在中，為的平分線，于，于，面積是，，，則的長為．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：在中，為的平分線，于，于，，，面積是，，，，解得．故答案為：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023秋?乾安縣期末）如圖，在中，平分，．若，，則1．【分析】過點作，垂足為，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積進行計算即可解答．【解答】解：過點作，垂足為，平分，，，，，，故答案為：1．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?梨樹縣期末）在中，，平分交于，若，且，則到的距離為14．【分析】首先由線段的比求得，然后利用角平分線的性質(zhì)可得到邊的距離等于的長．【解答】解：如圖，，，，作于，，平分，．（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），即：點到的距離為14，故答案為：14．【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等．做題時要由已知中線段的比求得線段的長，這是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023秋?寧江區(qū)期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為，邊與其中一把直尺邊緣的交點為，點、在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則的長度是．【分析】過作于，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出平分，得到，由平行線的性質(zhì)推出，得到，因此，由，即可得到的長度是．【解答】解：過作于，由題意得：，，平分，，，，，，、在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，，的長度是．故答案為：．【點評】本題考查角平分線性質(zhì)定理的逆定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是角平分線性質(zhì)定理的逆定理證明平分．12．（2023秋?臨江市期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長線于點，恰好平分，．若，則6．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，推出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到結(jié)論．【解答】解：，，平分，，，，平分，，在與中，，，，，，，故答案為：6．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2023秋?大安市期末）已知△中，，，是△的角平分線，于點．（1）求的度數(shù)；（2）若，，，求．【分析】（1）是△的角平分線，則將分成兩個度數(shù)相等的角；（2）是△的角平分線，則點到兩邊的距離相等．【解答】解：（1），，．是△的角平分線，．，，；（2）如圖，過作于點，是△的角平分線，，，又，，．【點評】此題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到兩邊的距離相等、三角形內(nèi)角和等于180度是解決此題的關(guān)鍵．14．（2023秋?雙遼市期末）如圖，是的角平分線，，，．求證：．【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．【解答】證明：是的角平分線，，又，，，又，，，在與中，，，．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?龍山區(qū)期末）已知：在中，平分，平分．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)．（2）如圖2，連接，作，，，求的面積．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算的度數(shù)；（2）作于，于，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式計算的面積．【解答】解：（1）平分，，平分，，；（2）作于，于，如圖2，平分，，，，平分，，，，的面積．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．倍長中線模型1．（21-22八年級上·吉林長春·期末）如圖，中，，，是的中點，的取值范圍為．【答案】【分析】延長到，使，連接，證明，得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，是的中點，，在與中，，，，，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，理解倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·吉林長春·期末）在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是．【答案】/【分析】如圖，過作交的延長線于證明可得再利用三角形的三邊關(guān)系可得答案.【詳解】解：如圖，過作交的延長線于AD是BC邊上的中線，∴，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形中線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級上·吉林·期末）為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小紅在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖①，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【初步應用】（2）如圖②，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；【探究提升】（3）如圖③，是的中線，過點分別向外作、，使得，，延長交于點，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．

【答案】（1），，（2）；（3），，理由見解析【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定即可得出；（2）延長到，使，連接，由（1）可知，，得，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長到，使得，連接，由（1）可知，，得，再證，得，，則，然后由三角形的外角性質(zhì)證出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的中線，，在和中，，，，，，（2）如圖2，延長到，使，連接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即邊上的中線的取值范圍為；（3），，理由如下：如圖3，延長到，使得，連接，

由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，添加輔助線．一線三等角模型1．（22-23八年級上·吉林白城·期末）在中，，過點C作直線于點M，于點N．(1)若在外（如圖1），求證：；(2)若與線段相交（如圖2），且，則＝．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用互余關(guān)系證，再證，得到，，即可得出結(jié)論；（2）類似于（1）可證，得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（2）解：∵于M，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．2．（22-23八年級上·吉林長春·期末）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；應用解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·吉林松原·期末）如圖①，，垂足分別為D、E．

(1)求證：；(2)在圖①中的邊上取一點F，使，連接交于點G，連接（如圖②）．①求證：；②若，請直接寫出的面積．【答案】(1)證明過程見解析(2)①證明過程見解析；②【分析】（1）根據(jù)“”證明，即可得出結(jié)論；（2）①由，可得，再根據(jù)“”證明即可；②由可得，，從而可得，由可得，，從而可得，再利用三角形面積公式計算即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）①證明：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴；②解：∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積公式，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（20-21八年級上·吉林長春·期中）是經(jīng)過頂點的一條直線，．、分別是直線上兩點，點在點的左側(cè)，且．（1）直線經(jīng)過的內(nèi)部，、兩點在射線上．①如圖1，若，，則______（填“”、“”或“”）；、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是：______．②如圖2，若，，①中的兩個結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請直接寫出、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①；；②當時，①中的兩個結(jié)論仍然成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)題意易證△BEC≌△CFA，進而問題可得解；②由題意易得，進而可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）由題意易證△BEC≌△CFA，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）①∵，，∴，∴∠BCE+∠FCA=90°，∠BCE+∠EBC=90°，∴∠FCA=∠EBC，∵，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE=CF，AF=CE，∵CF=CE+EF，∴；故答案為，；②當時，①中的兩個結(jié)論仍然成立．，即，又，，，，，，，，．（2），理由如下：∵，∴∠ACF=180°-∠ACB-∠BCE，∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC，∴∠ACF=∠CBE，∵CB=CA，，∴EC=AF，CF=BE，∵EF=EC+CF，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（21-22八年級上·吉林長春·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．【感知】（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，易證△ADC≌△CEB（不需要證明），進而得到DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為．【探究】（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：DE＝AD－BE．（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，直接寫出DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）見解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；（3）與（1）（2）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；【詳解】解：（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴DE=AD+BE．（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．∴∠CAD＝∠BCE．∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB．∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE－CD＝AD－BE；（3）DE=BE-AD，理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．【點睛】本題考查了鄰補角的意義，同角的余角相等，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．6．（23-24八年級上·吉林白山·期末）在中，，，過點作直線，分別過點，，作，，垂足分別為，（點，不重合）．(1)如圖，當點，在直線的同側(cè)時，求證；(2)當點A，B在直線的異側(cè)時，其他條件不變，在備用圖中畫出圖形，判斷（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論應該是，理由見解析【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到全等三角形的對應邊和對應角并且證明是解題的關(guān)鍵．（1）證明，得，，根據(jù)線段的和差即可解決問題；（2）根據(jù)題意畫出圖形，同（1）的方法證明，得，，根據(jù)線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）證明：，，，，，在和中，，，，，；（2）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論應該是，理由如下：如圖所示，當點，在直線的異側(cè)時，，，，，，在和中，，，，，，婆羅摩笈多結(jié)構(gòu)（共3題）1．（21-22八年級上·吉林長春·期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點D是直線AB上一點（點D與點A、B不重合），以CD為直角邊作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，連結(jié)AE．（1）如圖①，當點D在線段AB上，點E與點A在CD同側(cè)．求證：AE＝BD；（2）如圖②，當點D在AB的延長線上，點E與點A在CD同側(cè)．若AE＝1，AB＝4，則AD＝；（3）如圖③，當點D在BA的延長線上，點E與點A在CD的兩側(cè)時，直接寫出線段AB、AD、AE三者之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）見解析；（2）5；（3）AB+AD=AE．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠BCD=∠ACE，利用SAS定理證明△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）證明△BCD≌△ACE，得到AE=BD，結(jié)合圖形計算，得到答案；（3）仿照（2）的方法解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖①，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD；（2）解：如圖②，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠BCD+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，∴AD=AB+BD=AB+AE=5，故答案為：5；（3）同（2）的證明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，∴AB+AD=BD=AE，故答案為：AB+AD=AE．【點睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用類比思想是解題的關(guān)鍵．2．（21-22八年級上·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，點M、N分別在邊BC、AC上（點M、N不與所在線段端點重合），且BM＝AN，連結(jié)MA并延長交AD的垂直平分線于點E，連結(jié)ED．(1)【猜想】如圖①，當∠C＝30°時，可證△BCN≌△ACM，進而得出∠BDE的大小為度．(2)【探究】如圖②，若∠C＝β．①求證：△BCN≌△ACM．②∠BDE的大小為度（用含β的代數(shù)式表示）．(3)【應用】如圖③，當∠C＝120°時，AM平分∠BAC，DE＝DF，則△DEF的面積為．【答案】(1)150°(2)①見解析；②180°-β(3)1【分析】（1）延長ED交BC于點F，交AC于點O．想辦法證明∠BNC=∠BFE，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；（2）①同理根據(jù)SAS證明：△BCN≌△ACM；②延長ED交BC于點F，方法同①證出∠ACB=∠BDF=β，則可得出答案；（3）證明∠E=90°，求出DF=2，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，延長ED交BC于點F，交AC于點O，∵CB=CA，∴∠ABM=∠BAN，∵CA=CB，BM=AN，∴CM=CN，∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，∵E是AD的垂直平分線上的點，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠EMF，∠EDA=∠EFM，∴∠BNC=∠BFE，∴∠NOD+∠BDF=∠C+∠FOC，∵∠C=30°，∠FOC=∠NOD，∴∠NDO=30°，∴∠BDE=150°，故答案為：150°；（2）①證明：∵CA=CB，BM=AN，∴CA-AN=CB-BM，∴MC=NC，在△BCN和△ACM中，，∴△BCN≌△ACM（SAS）；②如圖，延長ED交BC于點F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，同理得：∠BNC=∠AMC=∠BFE，∴∠BNC+∠NBC=∠NBC+∠BFE，∴∠ACB=∠BDF=β，∴∠BDE=180°-β．故答案為：180°-β；（3）∵∠C=120°，CA=CB，∴∠BAC=30°，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC=∠BAC=15°，∵AP∥BC，∴∠C=∠CAD=120°，∴∠EAD=180°-∠MAC-∠CAD=45°，由（2）可知，∠BDE=180°-120°=60°，∠CBN=∠CAM=∠ADB=15°，∴∠ADE=45°，∴∠E=90°，∵DE=DF，DE=1，∴DF=2，∴△DEF的面積為DE?EF=×1×2=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．3．（22-23八年級上·吉林長春·期末）如圖1，中，于點D，以A為直角頂點，分別以、為直角邊，在外作等腰直角和等腰直角，過點E、F作射線的垂線，垂足分別為H、G．(1)試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖2，若連接交的延長線于G，由（1）中的結(jié)論能否判斷與的大小關(guān)系？并說明理由．(3)在（2）的條件下，若面積為90，，請直接寫出長．【答案】(1)相等，見解析(2)能，相等，見解析(3)18【分析】（1）根據(jù)一線三等角模型，利用證明，，推出，推出，即可得出；（2）利用證明，即可得出；（3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解．【詳解】（1）解：，證明如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，同理，則，；（2）解：，理由如下：，，，在和中，，，；（3）在（2）的條件下，若面積為90，，請直接寫出長，，，，，，在和中，，，∴，∵，∴∴，是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，又∵∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的定義等，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．手拉手旋轉(zhuǎn)模型（共2題）1．（2020秋?農(nóng)安縣期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點，，在同一直線上，連接．填空：①的度數(shù)為；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，點，，在同一直線上，為中邊上的高，連接，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）易證，即可求證，根據(jù)全等三角形對應邊相等可求得，根據(jù)全等三角形對應角相等即可求得的大?。唬?）易證，可得，進而可以求得，即可求得，即可解題．【解答】解：（1），，，在和中，，，，，；（2），，理由：如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，．在和中，，，，．為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，．，．，，．，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?德惠市期末）如圖，是等邊三角形，．動點，分別從點、同時出發(fā)，動點以的速度沿向終點運動．動點以的速度沿射線運動．當點停止運動時，點也隨之停止運動．點出發(fā)后，過點作交于點，連結(jié)，以為邊作等邊三角形，連結(jié)，設(shè)點的運動時間為．（1）用含的代數(shù)式表示的長．（2）求的周長（用含的代數(shù)式表示）．（3）求的長（用含的代數(shù)式表示）．（4）當?shù)倪吪c垂直時，直接寫出的值．【分析】（1）分兩種情況討論，點在線段上，點在射線上；（2）先證明是等邊三角形，然后求出即可；（3）根據(jù)手拉手全等模型，證明即可；（4）分兩種情況，，；【解答】解：（1）由題意得：，，是等邊三角形，，分兩種情況：當點在線段上，，當點在射線上；，的長為或；（2）是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，的周長；（3）是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，，，，，；（4）分兩種情況：當時，如圖：，，，，，當時，如圖：是等邊三角形，，，，，，，，的值為或．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想．角平分線+垂直構(gòu)造全等模型（共4題）1．（2020秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，的面積為，垂直的平分線于點，則的面積為．【分析】延長交于點，則由條件可知，，則陰影部分面積為的一半，可得出答案．【解答】解：延長交于，垂直的平分線于，，又知，，，，，和等底同高，，，，故答案為：8．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的定義及三角形的面積，由條件得出陰影部分面積為的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在中，，于點，，平分交于點，的延長線交于點．求證：．【分析】根據(jù)證明和全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：平分，．在和中，，．．，，，，，．．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．3．（2021秋?吉林期末）如圖，在中，，為邊的中線，是邊上一點（點不與點、重合），過點作于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，且，直接寫出的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)線段之間的關(guān)系解答即可．【解答】（1）證明：，為的中點，，，；（2）證明：，為的中點，，，，，，；（3）解：，，，，，．【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．4．（2022秋?松原期末）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點．點為邊上的一個動點．（1），度；（2）當四邊形為軸對稱圖形時，求的長；（3）若是等腰三角形，求的度數(shù)；（4）若點在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，即可求出的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可解答．（3）根據(jù)題意可得，分三種情況：當時；當時；當時．再依次根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．（4）過點作，作點關(guān)于的對稱點，根據(jù)題意可得，，，根據(jù)可證明△，則，，因此，以此得出當點、、三點共線時，的值最小，此時，最后根據(jù)解含30度角的直角三角形即可得到結(jié)果．【解答】解：（1），，，，點是邊的中點，，平分，；故答案為：4，45．（2）四邊形為軸對稱圖形，平分，對稱軸為直線，；（3）平分，，當時，，