專題04 整式乘法與因式分解（7種經(jīng)典基礎(chǔ)練+2種提升練）解析版

專題04整式乘法與因式分解（7種經(jīng)典基礎(chǔ)練+2種優(yōu)選提升練）冪的運(yùn)算1．（2023秋?舒蘭市期末）下列各式計(jì)算正確的有①；②；③；④．A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④【分析】運(yùn)用積的乘方知識(shí)進(jìn)行逐一計(jì)算、辨別．【解答】解：，，；，①，③式計(jì)算正確，②，④式計(jì)算錯(cuò)誤，故選：．2．（2023秋?永吉縣期末）已知、是正整數(shù)，若，，則．【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：，，．故答案為：．3．（2023秋?梨樹縣期末）已知，則的值為．【分析】根據(jù)冪的乘方，可得同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)同底數(shù)的冪相等，可得指數(shù)相等，可得答案．【解答】解：由題意，得，，解得，故答案為：6．4．（2023秋?雙陽(yáng)區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】先根據(jù)積的乘方法則運(yùn)算，然后根據(jù)冪的乘方法則運(yùn)算．【解答】解：原式．故答案為．5．（2023秋?東遼縣期末）已知，則的值為．【分析】先化簡(jiǎn)，再逆用冪的乘方，進(jìn)行求值即可．【解答】解：，．故答案為：1025．6．（2023秋?前郭縣期末）比較大?。海窘獯稹拷猓海?，而．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)冪的乘方與積的乘方的理解及計(jì)算能力．7．（2023秋?長(zhǎng)春期末）已知，，則和的值．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，分別計(jì)算即可．【解答】解：，，；．8．（2023秋?西安區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】先算同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，再算同底數(shù)冪的除法，最后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：．整式乘法1．（2023秋?大安市期末）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，正確；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．2．（2023秋?德惠市校級(jí)期末）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫A． B． C． D．1【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對(duì)照即可得出結(jié)論．【解答】解：左邊．右邊□，□內(nèi)上應(yīng)填寫．故選：．3．（2023秋?扶余市期末）若多項(xiàng)式乘法的結(jié)果中不含項(xiàng)，則的值為A．4 B． C．2 D．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，根據(jù)不含項(xiàng)，即項(xiàng)的系數(shù)為0，求出的值即可．【解答】解：，結(jié)果中不含項(xiàng)，，解得，，故選：．4．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：．故答案為：．5．（2023秋?通榆縣期末）計(jì)算：．【分析】先計(jì)算積的乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計(jì)算即可．【解答】解：．故答案為：．6．（2023秋?公主嶺市期末）計(jì)算：．【分析】先利用積的乘方法則計(jì)算乘方，再利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則算乘法，最后合并同類項(xiàng)．【解答】解：．7．（2023秋?永吉縣期末）若多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的積是，則多項(xiàng)式為．【分析】根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解答】解：，故答案為：．8．（2023秋?梨樹縣期末）計(jì)算：．【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則及合并同類項(xiàng)法則計(jì)算即可．【解答】解：原式．9．（2023秋?農(nóng)安縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后代入已知的數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，原式．完全平方公式1．（2023秋?永吉縣期末）若式子是一個(gè)完全平方式，則的值為A．20 B． C． D．【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出的值．【解答】解：式子是一個(gè)完全平方式，．故選：．2．（2023秋?鐵西區(qū)期末）已知是完全平方式，則為A． B． C．6 D．12【分析】根據(jù)完全平方式得出，再求出即可．【解答】解：是完全平方式，，解得：，故選：．3．（2023秋?雙陽(yáng)區(qū)期末）如圖，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，可以說(shuō)明下列哪個(gè)等式成立A． B． C． D．【分析】長(zhǎng)方形的面積可以表示為，也可表示為兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，即，所以【解答】解：長(zhǎng)方形面積兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，可得故選：．4．（2023秋?寧江區(qū)期末）已知，則的值是．【分析】先計(jì)算等號(hào)左側(cè)的式子，再根據(jù)對(duì)應(yīng)位置系數(shù)相等可得答案．【解答】解：，，．故答案為：．5．（2023秋?雙遼市期末）如圖，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為12，分別以和為邊向外作兩個(gè)正方形，且這兩個(gè)正方形的面積和為20，則長(zhǎng)方形的面積是．【分析】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由題意列方程組，利用完全平方公式即可解答．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由題意得：，，，，，長(zhǎng)方形的面積是8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征．6．（2023秋?綠園區(qū)期末）若，，（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1），，，，；（2），，，，．7．（2023秋?龍山區(qū)期末）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形，如圖1所示放置，其未重合部分（陰影）的面積為，若在圖1的右下角再擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（如圖，兩個(gè)小正方形重合部分（陰影）面積為．（1）用含，的代數(shù)式分別表示，；（2）若，，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積．【分析】（1），；（2），當(dāng)，時(shí)，；（3），當(dāng)時(shí)，可求出圖3中陰影部分的面積．【解答】解：（1）由圖可得，，；（2），當(dāng)，時(shí)，；（3）由圖可得，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式運(yùn)算的幾何意義，關(guān)鍵是能列出整式或算式表示幾何圖形的面積．平方差公式1．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，將甲圖中陰影部分無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是A． B． C． D．【分析】分別計(jì)算出甲、乙兩圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等，即可解答．【解答】解：甲圖中陰影部分的面積為：，圖乙中陰影部分的面積為：，所以，故選：．2．（2023秋?農(nóng)安縣期末）在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是A． B． C． D．【分析】這個(gè)圖形變換可以用來(lái)證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；因?yàn)槠闯傻拈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)“長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)寬”代入為：，因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；拼成的長(zhǎng)方形的面積：，所以得出：，故選：．3．（2023秋?鎮(zhèn)賚縣期末）如圖，從邊長(zhǎng)為的正方形紙片中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，剩余部分沿虛線剪開后又拼成如圖所示的長(zhǎng)方形（不重疊，無(wú)縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的另一邊的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】表示出拼成的長(zhǎng)方形的面積，化簡(jiǎn)后即可得到另一邊的長(zhǎng)．【解答】解：拼成的長(zhǎng)方形的面積，拼成的長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，故選：．4．（2024秋?德惠市期末）計(jì)算．【分析】將原式變形為，然后再按平方差公式計(jì)算可得答案．【解答】解：原式．故答案為：1．5．（2023秋?扶余市期末）計(jì)算：．【分析】原式利用平方差公式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：原式．故答案為：．6．（2023秋?四平期末）計(jì)算的結(jié)果是．【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可．【解答】解：．故答案為：0．7．（2023秋?樺甸市期末）探究活動(dòng)：（1）如圖1是邊長(zhǎng)分別為、的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識(shí)應(yīng)用：①計(jì)算：．②計(jì)算．【分析】（1）用代數(shù)式表示圖1中陰影部分所看作兩個(gè)正方形的面積差即可；（2）圖2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由長(zhǎng)方形的面積公式可得答案；（3）由（1）（2）可得答案；①連續(xù)2次利用平方差公式即可；②將原式化為，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）圖1中陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，故答案為：；（2）圖2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，因此面積為，故答案為：，（3）由圖1、圖2的面積相等可得，，故答案為：；①原式；②原式．8．（2023秋?龍山區(qū)校級(jí)期末）如圖，圖①為邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，圖②是由圖①中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖①中陰影部分面積為，圖②中陰影部分面積為，請(qǐng)用含、的式子表示：，；（只需表示，不必化簡(jiǎn)）（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？請(qǐng)寫出這個(gè)乘法公式；（3）運(yùn)用（2）中得到的公式：計(jì)算：．【分析】（1）結(jié)合圖示，運(yùn)用字母表示數(shù)量關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)圖示中陰影部分面積，數(shù)量關(guān)系為，由此即可求解；（3）根據(jù)平方差公式的運(yùn)算方法即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，，，故答案為：；；（2），，即平方差公式，故答案為：；（3）解：．整式除法1．（2023秋?四平期末）有下列式子：①；②；③；④，其中計(jì)算正確的有A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【分析】利用整式的除法運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)求出即可．【解答】解：①，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；②，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④，正確．故選：．2．（2023秋?榆樹市期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)整式的除法法則即可求出答案．【解答】解：原式．故答案為：．3．（2023秋?磐石市期末）規(guī)定一種新運(yùn)算“”，則有，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式．【分析】根據(jù)“”的運(yùn)算方法對(duì)題目整理，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算求解即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．4．（2024秋?德惠市期末）計(jì)算．【分析】先去中括號(hào)，再去小括號(hào)，再算除法，最后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：．零指數(shù)冪1．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算，以下結(jié)果正確的是A． B． C． D．無(wú)意義【分析】非零底數(shù)的零指數(shù)冪的值為1，據(jù)此解答即可．【解答】解：，．故選：．2．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：求解．【解答】解：．故答案為：1．3．（2023秋?龍山區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)零次冪，有理數(shù)的乘方，負(fù)整指數(shù)冪計(jì)算即可．【解答】解：．因式分解1．（2023秋?蛟河市期末）如果，，那么的值是A． B． C．24 D．2【解答】解：，，，，．故選：．2．（2023秋?長(zhǎng)春期末）分解因式：．【分析】直接把公因式提出來(lái)即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?通榆縣期末）分解因式：．【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：．4．（2023秋?東豐縣期末）分解因式：．【分析】本題可先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．【解答】解：，，．故答案為：．5．（2023秋?蛟河市期末）因式分解：．【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解．【解答】解：原式．故答案為：．6．（2023秋?前郭縣期末）分解因式：．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．【解答】解：．故答案為：．7．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）分解因式：．【分析】原式第一項(xiàng)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并后分解即可．【解答】解：原式．8．（2023秋?洮北區(qū)校級(jí)期末）因式分解：．【分析】首先利用平方差公式分解因式，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：原式．9．（2022秋?榆樹市期末）因式分解：．【分析】利用完全平方公式直接分解因式得出即可．【解答】解：．平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用1．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）將圖1中的陰影部分剪下來(lái)，拼成如圖2的長(zhǎng)方形．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．

B．

C．(2)若，，求的值；(3)應(yīng)用公式計(jì)算：．【答案】(1)B(2)3(3)【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、平方差公式與幾何圖形【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2中的陰影部分面積相等進(jìn)行求解即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行求解即可；（3）利用平方差公式得到，再把所求式子每一項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)求解即可．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為，∵圖1和圖2中的陰影部分面積相等，∴，故選B；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式與幾何圖形的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）實(shí)踐操作：從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是___________；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．

B．C．

D．啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)結(jié)合（1）選出的等式，利用其結(jié)論完成下列各題：(2)已知，，求x的值；(3)計(jì)算：．【答案】(1)C(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、平方差公式與幾何圖形、加減消元法【分析】（1）分別表示出兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，即可列出等式；（2）利用（1）得出的等式，求得，再聯(lián)立方程組進(jìn)行求解，即可求出x的值；（3）利用（1）得出的等式化簡(jiǎn)各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子，再計(jì)算有理數(shù)的加減法與乘法即可得到答案．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積為：；圖2中陰影部分的面積為：，，故答案為：C；（2）解：，，，，聯(lián)立，得：解得：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積，解二元一次方程組，平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）從邊長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是___________（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．

B．

C．(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，求的值；②計(jì)算：．【答案】(1)B(2)①3；②【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式與幾何圖形、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】（1）用兩種不同的方法表示陰影部分面積即可解答；（2）①將化為，即可解答；②根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由圖1可得：整個(gè)圖形面積為：，空白部分面積為：，陰影部分寬為：，由圖2可得：該長(zhǎng)方形長(zhǎng)為：，∴，故選：B．（2）解：①，；②原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握用面積法求證平方差公式，以及根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算．平方差公式．4．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）從邊長(zhǎng)為a的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．

B．C．(2)若，，求的值．(3)計(jì)算：．【答案】(1)B(2)3(3)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式與幾何圖形【分析】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計(jì)算即可．（3）利用平方差公式展開計(jì)算化簡(jiǎn)，最后求值．【詳解】（1）邊長(zhǎng)為a的正方形面積是，邊長(zhǎng)為b的正方形面積是，圖①陰影部分面積為；圖②長(zhǎng)方形面積為；驗(yàn)證的等式是，故答案為：B．（2），且，，解得：；（3）．5．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）探究活動(dòng)：（1）如圖1是邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識(shí)應(yīng)用：①計(jì)算：；②計(jì)算【答案】探究活動(dòng)：（1）；（2）；（3）；知識(shí)應(yīng)用：①；②【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、平方差公式與幾何圖形【分析】本題主要考查了平方差公式的幾何背景以及靈活應(yīng)用，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．（1）大正方形的面積與小正方形的面積的差就是陰影部分的面積；（2）利用矩形的面積公式即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）表示的陰影部分面積相等即可解答；知識(shí)應(yīng)用：①利用平方差公式即可求解；②把化為，再利用公式即可求解．【詳解】解：探究活動(dòng)：（1）（2）（3）（等號(hào)左右順序可互換）；知識(shí)應(yīng)用：①；②；完全平方公式幾何圖形中的應(yīng)用1．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）一個(gè)圖形通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)通過(guò)計(jì)算圖中陰影面積可以得到的數(shù)學(xué)等式是____________．(2)當(dāng)，時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)12(3)12【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、已知式子的值，求代數(shù)式的值【分析】（1）用兩種方法分別表示出陰影面積，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果變形求解即可；（3）根據(jù)（1）中結(jié)果變形求解即可．【詳解】（1）解：圖中陰影部分的面積為表示為：，另一種表示方式為：，∴得到的數(shù)學(xué)等式是，故答案為：；（2），，由（1）得，∴；（3）∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用完全平方公式變形求值，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形按照?qǐng)D中那樣分割成9個(gè)部分．(1)正方形A、B、C的面積分別為______、______、______．(2)長(zhǎng)方形D、E、F的面積分別為______、______、______．(3)對(duì)于邊長(zhǎng)為的正方形，通過(guò)不同的方法計(jì)算它的面積可以得到一個(gè)等式，則這個(gè)等式為______．(4)利用上述結(jié)論，解決問(wèn)題：已知，，求的值．【答案】(1)，，；(2)，，；(3)；(4)29．【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【分析】（1）觀察圖形根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)即可求解；（2）觀察圖形根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬即可求解；（3）大正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)，也等于分割成9個(gè)部分的面積之和，根據(jù)等量關(guān)系寫出等式即可；（4）根據(jù)（3）中得出的結(jié)論，進(jìn)行變形即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：正方形A的面積為：，正方形B的面積為：，正方形C的面積為：，故答案為：，，；（2）解：由圖可知：長(zhǎng)方形D的面積為：，長(zhǎng)方形E的面積為：，長(zhǎng)方形F的面積為：，故答案為：，，；（3）解：邊長(zhǎng)為的正方形的面積為：,邊長(zhǎng)為的正方形的面積也為分割的9個(gè)部分面積的和，即：，則：，故答案為：；（4）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的面積，完全平方公式，整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找準(zhǔn)等量關(guān)系．3．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖1，三種紙片、、分別是邊長(zhǎng)為的正方形，邊長(zhǎng)為的正方形和寬與長(zhǎng)分別為與的長(zhǎng)方形．(1)數(shù)學(xué)課上，老師用圖1中的一張紙片，一張紙片和兩張紙片，拼成了如圖2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是______；(2)若小莉想用圖1中的三種紙片拼出一個(gè)面積為的大長(zhǎng)方形，需要、、三種紙片分別______張．【答案】(1)(2)，，【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【分析】（1）根據(jù)兩種計(jì)算圖2面積的方法可得公式；（2）由計(jì)算的結(jié)果可得此題結(jié)果．【詳解】（1）解：∵圖2中正方形的面積可表示為：和，∴可得公式，故答案為：；（2）解：∵可得，需要取種紙片2張、種紙片1張、種紙片3張，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確地根據(jù)圖形列出算式，和根據(jù)算式得到相應(yīng)的圖形．4．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）閱讀材料：若x滿足，求的值．解：設(shè)，，則，∴，∴．類比應(yīng)用：(1)若，求的值．(2)若，則的值為________．(3)已知正方形的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)P和點(diǎn)R分別是邊和上的點(diǎn)，且，，分別以和為邊長(zhǎng)作正方形和正方形．若圖中陰影部分長(zhǎng)方形的面積是4，則正方形和正方形的面積和為_______．

【答案】(1)3(2)(3)12【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值【分析】（1）根據(jù)材料提示，設(shè)，，則，，由此即可求解；（2）根據(jù)材料提示，設(shè)，，則，，再表示出，由此即可求解；（3）由題意可知：，，可知，圖中陰影部分的面積為，再根據(jù)材料提示方法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，，則，，∴．（2）設(shè)，，則，，∴，∴．故答案為：．（3）由題意可知：，，∴，圖中陰影部分的面積為，則正方形和正方形的面積和為：，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法公式與圖形的綜合，掌握乘法公式中完全平方公式的變形，整式的混合運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·吉林松原·期末）一個(gè)圖形通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，利用這種方法解答下列問(wèn)題．

(1)通過(guò)計(jì)算圖①中陰影部分的面積可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；(2)如圖②，點(diǎn)、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，（為常數(shù)，且），分別以、為邊作正方形和正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．①求的值；②若長(zhǎng)方形的面積是，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)①，②【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積可以直接用正方形的面積求解，也可以用大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，加上一個(gè)小正方形的面積求解，再根據(jù)面積相等即可得到等式；（2）①用含x和k的代數(shù)式分別表示、即可得出答案；②根據(jù)長(zhǎng)方形的面積是，求出，由陰影部分的面積解答即可．【詳解】（1）解：陰影部分的面積．（2）解：①由題意，得，，∴．②∵長(zhǎng)方形的面積是，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握正方形、長(zhǎng)方形面積的求法，靈活應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）【教材呈現(xiàn)】下圖是人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第109頁(yè)的部分內(nèi)容．（1）請(qǐng)寫出圖①所表示的公式：____________；圖②所表示的公式：____________．【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．（2）請(qǐng)寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式：____________．【解決問(wèn)題】（3）利用（2）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若，，則____________．【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖④表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖④中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：____________．【答案】（1）；；（2）；（3）50；（4）【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積、列代數(shù)式【分析】本題考查圖形與乘法公式的關(guān)系，看懂圖形，數(shù)形結(jié)合準(zhǔn)確找到各部分面積或體積的表示是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由圖中大正方形面積與各個(gè)小正方形及長(zhǎng)方形面積關(guān)系，列代數(shù)式表示即可得到答案；（2）由圖中大正方形面積與各個(gè)小正方形及長(zhǎng)方形面積關(guān)系，列代數(shù)式表示即可得到答案；（3）由（2）中得到的結(jié)論，代值求解即可得到答案；（4）根據(jù)兩個(gè)圖形的體積關(guān)系，用代數(shù)式表示即可得到答案．【詳解】解：（1）由圖可知大正方形的面積為，與四部分面積和相等，則；由圖可知大正方形的面積為，與四部分面積和相等，則；故答案為：，；（2）由圖可知大正方形的面積為，與九部分面積和相等，則，故答案為：；（3）由（2）中結(jié)論，，，，解得，故答案為：；（4）由左圖可知，剩下部分體積為；重新拼接的新圖形為長(zhǎng)方體，體積為，由題中圖形的拼接過(guò)程可得兩者體積相等，則，故答案為：．7．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)模擬練習(xí)：如圖，寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式______；

(2)解決問(wèn)題：如果，，求的值；(3)類比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和，且，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．【答案】(1)(2)33(3)【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式及其變形．（1）由圖可得，邊長(zhǎng)為的正方形面積邊長(zhǎng)為的正方形面積邊長(zhǎng)為的正方形面積長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，據(jù)此式即可求解；（2）將完全平方公式變形成，將，代入即可求解；（3）設(shè)，，則長(zhǎng)方形面積為，將和的值代入即可求解．【詳解】（1）解：由圖得：邊長(zhǎng)為的正方形面積邊長(zhǎng)為的正方形面積邊長(zhǎng)為的正方形面積長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即．（2）解：由（1）得：，，又，，．（3）解：設(shè)，，即為，則長(zhǎng)方形面積為，，長(zhǎng)方形面積為．8．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，，求的值．解：∵，∴，即，又∵，∴．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(1)若，，則______；(2)若，，