專題26 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型解讀與提分精練（全國）

專題26相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅涅勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數學家兼天文學家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數學家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。使用梅涅勞斯和塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理 1模型2.塞瓦（定理）模型 7 12模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。注意：梅涅勞斯（定理）特征是三點共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。1）梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。圖1圖2證明：證明：如圖2，過點A作，交的延長線于點，易證：，∴，；．2）梅涅勞斯定理的逆定理模型：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．證明：先假設F、D、E三點不共線，直線DF與AC交于P，由\t"/item/%E6%A2%85%E6%B6%85%E5%8A%B3%E6%96%AF%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"梅涅勞斯定理的定理得?！?，∴，∴

，∴。∴CP=CE；即P與E重合，∴D、E、F三點共線。例1．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習）如圖，已知，是的中線，是的中點，則．例2.（23-24八年級下·廣東潮州·期中）中，D為中點，E為中點，直線交于F，求證：．例3.如圖，在中，D為BC的中點，．求．例4.（24-25重慶九年級校考期中）如圖，等邊△ABC的邊長為2，F為AB中點，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．例5.如圖，CD、BE、AF分別為（不是等邊三角形）的三個外角平分線，分別交AB、AC、BC于D、E、F．證明：D、E、F三點共線．例6．（24-25·廣東·九年級校聯考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點，證明：．請用上述定理的證明方法或結論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點為的中點，點在上，且與交于點，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F為中點，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．模型2.塞瓦（定理）模型塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，如圖3，則。注意：塞瓦（定理）的特征是三線共點，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，如圖3，則。塞瓦（定理）證明：法1：可利用梅涅勞斯定理證明：在△中，割線∴①在△中，割線，∴②，由②÷①：即得：。法2：∵；∴①；同理：②；③；由①×②×③得：。塞瓦定理的逆定理：如果有三點分別在△的三邊上，且滿足，那么三線交于一點。塞瓦定理的逆定理證明：設、交于點，聯結并延長交于；根據塞瓦定理：?！?，∴，∴，∴與重合，即證。注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點，如證明三角形三條中線交于一點；三角形三條角平分線必交于一點；三角形三條高線交于一點等。例1.如圖，設M為△ABC內的一點，BM與AC交于點E，CM與AB交于點F，若AM通過BC的中點，求證：EF//BC。例2.如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內任一點，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例3.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例4.已知：內角平分線、、與對邊分別交于點、、。求證：三角形三條內角平分線交于一點。（用塞瓦定理的逆定理證明）例5．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應任務：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數學家塞瓦的重大發(fā)現．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數學家．定理內容：如圖1，塞瓦定理是指在內任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F，則．數學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．任務解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．1．（2024·內蒙古赤峰·二模）如圖，是的中線，點在上，交于點，若，則為（

）A． B． C． D．2．（23-24上·上海閔行·九年級校考期中）如圖，、、內分正的三邊、、均為兩部分，、、相交成的的面積是的面積的（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，中，是邊上的點，且，是邊上的點，且，分別交于，則等于（）A． B． C． D．4．（2024廣東校考一模）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，交的延長線于點F．若，，則的長為．5．（24-25·江蘇·九年級期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點，且,．連接,交于點,連接并延長交于點．則四邊形的面積為．6.（24-25·成都·九年級?？计谥校┤鐖D，中，D、E分別是BC、CA上的點，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD與BE交于F，求的值。7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．8.如圖，在△中，分別在邊上，且,設與交于點，求證：通過的中點.9.已知：銳角三邊上的高線、、與對邊分別交于點、、。求證：三角形三條高線交于一點。（用塞瓦定理的逆定理證明）10．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）請閱讀下列材料，完成任務．梅涅勞斯（Menelaus）是公元1世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現，若一條直線與三角形的三邊或其延長線相交（交點不能是三角形的頂點），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點，交線段于點，交延長線于點D，可截得六條線段，則這六條線段滿足，下面是該定理的一部分證明過程：證明：如圖2，過點作，交延長線于點，則有（依據），…(1)上述過程中的“依據”指的是；(2)請將該定理的證明過程補充完整．11．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有．任務：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在中，，，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則________．12．（2024·山西·校聯考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數學家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務二：結合①②和（2），完成該定理的證明；任務三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學自學了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學知識已經求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·?？家荒＃┤鐖D1，在中，D是邊上的一點，過點D的直線分別與、的延長線交于點M、N．問題引入：若點D是的中點，，求的值；如圖2，可以過點C作，交于點P；如圖3，也可以過點A作，交延長線于點Q．探索研究：（1）如圖4，若點D為上任意一點，求證：．

拓展應用：（2）如圖5，P是內任意一點，，則_______，____．14．（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．【初步體驗】（1）如圖1，在中，點D在上，．若，，，則，；（2）已知，如圖1，在中，且．求證：．證明：過點E作的平行線交于點F．………………請依據相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與的三邊或其延長線交于D、F、E點，那是否為定值？若是；若不是，請說明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點，，則．15．（23-24九年級上·山西運城·期中）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（）是公元1世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現，若一條直線與三角形的三邊或其延長線相交（交點不能是三角形的頂點），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點，交線段于點，交延長線于點，可截得六條線段、、、、、，則這六條線段滿足．下面是該定理的一部分證明過程：證明：如圖2，過點作，交延長線于點則有（依據），…(1)上述過程中的依據指的是________；(2)請將該定理的證明過程補充完整．(3)在圖1中，若點是的中點，，則的值為________；(4)在圖1中，若，，則的值為________．16．（24-25九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）馬超同學在學完相似三角形的性質后對截任意三角形邊的線段展開了如下探究：如圖①，中，點、分別是邊、的中點，連接、、線段、交于點，已知的面積為12．（1）__________；__________；（2）_____；如圖②，中，點為邊上的動點，過點作射線分別交邊及邊的延長線于點、，此時，馬超同學發(fā)現，線段與的三邊（或其延長線）都產生了交點，他把線段稱為的的截線段；深入探究：（3）截線段上的三個交點、、與的三個頂點、、所組成的線段（特別是交點所在邊所形成的線段如、、等）之間是否存在某種數量關系？愛思考的馬超同學立刻展開探究；根據已有的知識經驗，為了找線段之間的關系，可嘗試先