專題03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型解讀與提分精練（全國）

專題03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“8”字模型 1模型2.“A”字模型 4模型3.三角板拼接模型 5 8模型1.“8”字模型“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。?圖1圖21）8字模型（基礎型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結論：①；②。證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。2）8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結論：2∠P=∠B+∠D證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，則，即2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級期中）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D例2．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，求的度數(shù)．

例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關系．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．例5．（2023春·廣東深圳·七年級部?？计谥校┨骄款}(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個角的數(shù)量關系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點，則與，的數(shù)量關系為______；(3)如圖3，，分別平分，，當時，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結論）；(4)如圖4，如果，，當時，則的度數(shù)為______．模型2.“A”字模型如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；結論：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E證明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。例1．（2023·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，在中，，若剪去得到四邊形，則．例3．（23-24七年級下·河北石家莊·期末）如圖1，直線與的邊，分別相交于點，（都不與點重合）.

(1)若，①求的度數(shù)；②如圖2，直線與邊，相交得到和，直接寫出的度數(shù).(2)如圖3，，分別平分和，寫出和的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖4，在四邊形中，點，分別是線段、線段上的點，，分別平分和，直接寫出與，的關系.模型3.三角板拼接模型由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，當題中含三角板時，先根據度數(shù)或隱含條件判斷三角形的形狀，標注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根據題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15°的整數(shù)倍。常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：例1．（2023春·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

例2．（23-24七年級下·四川成都·期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在邊上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點E放在上，移動三角板，當點E從點A沿向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結論：①當時，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有．（填序號）

例4．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）如圖1，將一副三角板放在直線上，兩個直角頂點重合在一起，交直線于點C，其中，．(1)如圖2，將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中，與的數(shù)量關系是___________；(2)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉至圖3所示的位置，此時在的內部，與相交于點P，當時，求的度數(shù)；(3)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉，當時，的度數(shù)為___________．（直接寫出結果即可）1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．2．（2024·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°5．（2023·廣東清遠·八年級?？茧A段練習）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無法確定6．（2024·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則．

7．（2023·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．8．（2023·上海七年級課時練習）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，當，且點E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若，則三角板有一條邊與斜邊平行．9．（2023·廣東·八年級假期作業(yè)）如圖，若，則．10．（2023·廣東揭陽·八年級?？计谀┨剿鳉w納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是．11．（2024·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上一點，連接，將沿翻折，使點落在邊上的點處，則的度數(shù)為度．12．（2024·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

13．（2023·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點在內），三角板的兩條直角邊、恰好分別經過點和點．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關系．(1)特殊探究：若，則_____度，_____度，_____度；(2)類比探索：請?zhí)骄颗c的關系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經過點和點，（2）中的結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結論，并說明理由．14．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點．(1)若，，求的度數(shù)；(2)直接寫出，，的數(shù)量關系；(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．

15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉，記旋轉角．

(1)在旋轉過程中，當為度時，；當為度時，．(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．16．（2023·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）將三角尺（，）放置在上（點在內），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經過點和點，我們來研究與是否存在某種數(shù)量關系．(1)特例探究：若，則________度，________度．(2)類比探究：、、的關系是___________________．(3)變式探究：如圖②所示，改變三角尺的位置，使點在外，三角尺的兩邊、仍恰好經過點和點，探究、、的關系(只要求直接寫出結論)：____________________．17．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）我們將內角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖中，△AOB的內角與的內角互為對頂角，則與為“對頂三角形”，根據三角形內角和定理知“對頂三角形”有如下性質：．

(1)如圖1，在“對頂三角形”與中，若，則；(2)如圖2，在中，、分別平分和，若，比大，求的度數(shù)．(3)如圖3，、是的角平分線，且和的平分線和相交于點，設，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．18．（23-24七年級下·河南南陽·期末）在學習完三角形的內角、外角相關知識后，利用三角形的內角和同學們很容易證明三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角的關系．于是，愛思考的小紅在想，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？①嘗試探究：如圖1，與分別為的兩個外角，試探究與之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？解：數(shù)量關系：．理由：∵與分別為的兩個外角，∴．∴．∵三角形的內角和為，∴．∴．小紅順利地完成了探究過程，并想考一考同學們，請同學們利用上述結論完成下面的問題．②初步應用：（1）如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形，，則；（2）如圖3，在中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關系？；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如圖4，在四邊形中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由）。19．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請根據題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關系．(1)如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．20．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應用】（2