專題09 三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型解讀與提分精練（全國）

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.垂美四邊形模型 2模型2.378和578模型 33 42模型1.垂美四邊形模型垂美四邊形的定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。圖1圖2圖3圖4條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半，即S四邊形ABCD=AC?BD。證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC?BO，S△ADC=AC?DO∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC?BO+AC?DO=AC?BD。條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，由勾股定理得，，，∴，∴。條件：如圖3（或圖4），在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部（外部）任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2證明：過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形和為矩形，，由勾股定理得：則，，，．（圖4的證明和圖3證明相同）用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（23-24八年級上·河北保定·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點(diǎn)．若，，則等于（

）

A． B． C． D．例2．（23-24九年級上·天津·期末）如圖，四邊形兩條對角線互相垂直，且．設(shè)，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的長；例3．（2023·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形的對角線和互相垂直，，則四邊形面積最大值為．

例4．（2024·陜西·一模）已知矩形ABCD中有一點(diǎn)P，滿足PA＝1，PB＝2，PC＝3，則PD＝．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形．了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形中，．垂足為，則有：；性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1，四邊形是垂美四邊形，若，，，則；性質(zhì)變式：（2）如圖2，圖3，P是矩形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：．請以圖3為例將重要結(jié)論證明出來．應(yīng)用變式：（3）①如圖4，在矩形中，O為對角線交點(diǎn)，P為中點(diǎn)，則；（寫出證明過程）；②如圖5，在中，，，D是內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的最小值是．例6．（23-24八年級下·江西贛州·期末）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB2，CD2和AD2，BC2有一定的數(shù)量關(guān)系，請你猜想有何種數(shù)量關(guān)系？并證明．（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．例7．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設(shè)．(1)①如圖1，當(dāng)，時(shí)，______．______．②如圖2，當(dāng)時(shí)，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線、的交點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)，求的值．模型2.378和578模型378和578模型：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形（如圖1）。當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時(shí)候，通常不會對它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗τ谶@兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長為8的等邊三角形。圖1圖2圖3圖4條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)；結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為、；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個(gè)三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長為8的等邊三角形。證明：如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)BM=x則AM=3+x，∴∠CMB=90°，在Rt?ACM中：CM2=AC2-AM2，在Rt?BCM中：CM2=BC2-BM2，∴AC2-AM2=BC2-BM2，即82-（3+x）2=72-x2，解得x=1，∴CM=4，∴CM=，∴S?ABC=AB?CM=12?3?=，∵CM=4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。如圖3，過點(diǎn)F作FN⊥DE于點(diǎn)N，設(shè)DN=x則NE=5-x，∴∠FND=90°，在Rt?DNF中：NF2=DF2-DN2，在Rt?ENF中：NF2=EF2-NE2，∴DF2-DN2=EF2-NE2，即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，NE=4，∴NF=，∴S?DEF=?DE?NF=?5?=，∵NE=4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。∴CM=NF=，∠CMB=∠FND=90°，∵CB=DF=7，∴Rt?BCM≌Rt?DNF，∴∠CBM=∠FDN，∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC=EF=8?！鄬蓚€(gè)三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長為8的等邊三角形（如圖4）。例1．（2023·浙江溫州·九年級?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°例2．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．例4．（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）已知在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．例5．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，，，，則的長為．1．（2023·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個(gè)解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．322．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，，則的值為（

）A．3 B．5 C． D．3．（2024·天津和平·二模）如圖，四邊形的兩條對角線，BD相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若．有下列結(jié)論：①的取值范圍是；②的長有兩個(gè)不同的值滿足四邊形的面積為12；③四邊形面積最大值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．（2023·山東八年級課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°5．（2024·四川廣元·二模）如圖，在四邊形中，，對角線AC，BD互相垂直，，，則的值是6．（2022·山東棗莊·模擬預(yù)測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=3，BC=5，則．7．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）四邊形的對角線互相垂直且長分別為8和12，則面積為．8．（23-24八年級·浙江·期末）當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是．9．（23-24八年級下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．10．（23-24八年級下·廣東廣州·期末）已知三角形一邊上的中線，與三角形三邊有如下數(shù)量關(guān)系：三角形兩邊的平方和等于第三邊一半的平方與第三邊中線平方之和的2倍．即：如圖，在中，是邊上的中線，則有．請運(yùn)用上述結(jié)論，解答下面問題．如圖，點(diǎn)為矩形外部一點(diǎn)，已知，若，則的取值范圍為．11．（2022·湖北·一模）如圖，P是矩形ABCD外一點(diǎn)，有以下結(jié)論：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，則P、A、B、C、D在同一個(gè)圓上其中正確的序號是12．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，且，則四邊形面積的最大值為．13．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若一個(gè)四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形中，若，，則稱四邊形為奇妙四邊形．根據(jù)奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答：(1)矩形________奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，已知的內(nèi)接四邊形是奇妙四邊形，若的半徑為8，．求奇妙四邊形的面積；(3)如圖3，已知的內(nèi)接四邊形是奇妙四邊形．請猜測和的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”

(1)試猜想箏形的對角線有什么位置關(guān)系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；(2)已知箏形的對角線的長度為整數(shù)值，且滿足．設(shè)的長為x，四邊形的面積為S，試求x為多少時(shí)，S有最大值，最大值是多少？15．（2024·山西晉城·三模）請閱讀列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：三角形中線定理三角形中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線長度關(guān)系．阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘亞歷山大前期的三大數(shù)學(xué)家．中線定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)“阿波羅尼奧斯”，可得．下面是該定理的證明過程（部分）：證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，如圖2，在中，，同理可得：，，證明的方便，不妨設(shè)，，…任務(wù)：(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(2)如圖3，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則AD的長為______；(3)如圖4，已知平行四邊形中，和BD相交于點(diǎn)，設(shè)，，請直接用含，的代數(shù)式表示的值；(4)如圖5，已知平行四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若，，，，請直接寫出的長．16．（24-25九年級上·廣東深圳·月考）垂美四邊形定義如下：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，四邊形是“垂美四邊形”，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系：______，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，若，求的長．(3)如圖3，在中，，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，連接，，已知，若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為垂美四邊形，請直接寫出的長．17．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設(shè)，，．

(1)①如圖1，當(dāng)，時(shí)，____________．②如圖2，當(dāng)，時(shí)，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線，的交點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)，，分別交于點(diǎn)，求的值．18．（2023·山東青島·二模）如果一個(gè)三角形有兩條互相垂直的中線，我們就把這樣的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為P