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福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二階段數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題(本大題共8小題)1.直線的傾斜角為(
)A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足,則()A.2 B. C. D.20243.如圖,在四面體中,為棱的中點,點,分別滿足,,則()A. B.C. D.4.已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點,為橢圓上一點,且,若,則橢圓離心率為(
)A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前和為,,則()A. B. C.3 D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,點為圓上一動點,點到直線的距離記為,當(dāng)變化時,則的最大值為(
)A. B. C. D.7.已知雙曲線的右焦點為,圓的方程為.若直線與圓切于點,與雙曲線交于兩點,點恰好為的中點,則雙曲線的方程為()A.B.C.D.8.經(jīng)過拋物線的焦點F的直線交C于A,B兩點,與拋物線C的準(zhǔn)線交于點P,若成等差數(shù)列,則(
)A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.下列說法中,正確的有()A.直線在y軸上的截距是B.直線經(jīng)過第一、二、三象限C.過點且在x軸,y軸上的截距相等的直線方程為D.過點,且傾斜角為90°的直線方程為10.給出下列命題,其中是真命題的是(
)A.在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)是B.已知是空間的一個單位正交基底,向量,是空間的另一個基底,用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量為D.已知正方體棱長為2,點在線段上運動,則的最小值為11.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué),它的研究對象普遍存在于自然界中,因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律,可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第n行白圈的個數(shù)為,其前n項和為;黑圈的個數(shù)為,其前n項和為,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.三、填空題(本大題共3小題)12.已知是橢圓上的一點,且在軸上方,分別是橢圓的左、右焦點,直線的斜率為,則的面積為.13.已知過拋物線的焦點的直線與交于,兩點,線段的中點為,且.若點在拋物線上,動點在直線上,則的最小值為.14.如圖,在多面體中,平面,四邊形是正方形,且,分別是線段的中點,是線段上的一個動點(不含端點),給出下列結(jié)論:①存在點,使得;②不存在點,使得異面直線與所成的角為;③點到平面的距離有最小值無最大值;④當(dāng)點自向處運動時,直線與平面所成的角逐漸增大.其中正確結(jié)論的序號是.
四、解答題(本大題共5小題)15.已知圓的圓心在直線上,并且經(jīng)過點,與直線相切.(1)求圓的方程;(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于A,B兩點,若,求直線的方程.16.已知拋物線,其焦點為,點在拋物線C上,且.(1)求拋物線的方程;(2)為坐標(biāo)原點,為拋物線上不同的兩點,且,求證:直線AB過定點;17.在四棱錐中,側(cè)面底面,側(cè)面為正三角形,底面為矩形,是的中點,且與平面所成角的正弦值為.(1)求證:平面;(2)求直線與直線所成角的余弦值;(3)求平面與平面所成夾角的正弦值.18.已知雙曲線的中心在原點,過點,且與雙曲線有相同的漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,是雙曲線上的兩點,且線段AB的中點為,求直線AB的方程;(3)設(shè)雙曲線C:的半焦距為,直線過兩點,已知原點到直線的距離為,求雙曲線的離心率.19.已知數(shù)列中,,數(shù)列滿足:.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求的值;(3)求數(shù)列中的最大項和最小項,并說明理由.
答案1.【正確答案】D【詳解】直線,直線斜率為0,所以直線傾斜角為.故選:D.2.【正確答案】B【詳解】由,可得,同理可得,所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列,則.故選:B.3.【正確答案】D【詳解】由已知.故選:D.4.【正確答案】D【詳解】設(shè),則,因,由余弦定理:,則,,則.故選:D5.【正確答案】A【詳解】在中取得,故,所以.故選:A.6.【正確答案】B【詳解】易知的圓心為,半徑為;且直線過定點0,2,當(dāng)圓心與定點的連線與直線垂直時,圓心到直線距離最大為,因此可知圓上的點到直線距離的最大值為.故選:B7.【正確答案】B設(shè)直線的斜率為k,則,所以,因為點在圓上,,即,設(shè)點則.兩式相減,得則即,所以雙曲線的方程為.故選:B8.【正確答案】D【詳解】由題意得,,拋物線的準(zhǔn)線方程為,因為過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點,且與拋物線的準(zhǔn)線相交,所以直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線方程為,與聯(lián)立得,設(shè),顯然,則,,故,設(shè)直線傾斜角為,則,所以,故,解得,故,又,故,解得,故.故選:D9.【正確答案】ABD【詳解】對于A,令x=0,求得,則直線在y軸上的截距為,故A正確;對于B,直線的斜率為,在y軸上的截距為,易知直線經(jīng)過第一、二、三象限,B正確;對于C,當(dāng)直線經(jīng)過原點時,設(shè),代入點,求得,此時直線方程為y=2x;當(dāng)直線截距不為0時,設(shè)方程為,代入點,求得,此時直線方程為,故C錯誤;對于D,傾斜角為90°的直線斜率不存在,則過點并且傾斜角為90°的直線方程為,故D正確.故選:ABD.10.【正確答案】BC【詳解】點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)是,故選項A為假命題;顯然不共面,,所以選項B為真命題;向量在向量上的投影向量為,所以選項C為真命題;
由題可得示意圖圖一,將放在同一個平面上得圖二,當(dāng)三點共線的時候有最小值為,由題可知,由余弦定理可知,所以選項D為假命題;故選:BC11.【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意得,再利用裂項相消法可求出,,然后逐個分析判斷.【詳解】由于每一個白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個圈,一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈,第n行白圈的個數(shù)為,黑圈的個數(shù)為,所以,B錯誤,由,得,,,A正確,因為,所以,所以,因為,所以,所以,所以,即,D正確;因為,所以,因為,,所以,所以,C錯誤.故選AD.【思路導(dǎo)引】若通項公式是分式型,分子是常數(shù),分母是相鄰兩項的積,則可以考慮用裂項相消法求和.12.【正確答案】【詳解】設(shè),且,由可得故,故,,則,平方可得,化簡可得,求得,故,故13.【正確答案】/【詳解】由題知,設(shè)Ax則,,又,所以,拋物線方程為,聯(lián)立,得,無解,則直線與拋物線沒有公共點,設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為,則聯(lián)立,得,則,解得,則的最小值為.故14.【正確答案】②④【詳解】
以為原點,以所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,可得,對于①,假設(shè)存在點,使得,則,所以,解得,不符合題意,所以①錯誤;對于②,假設(shè)存在點,使得異面直線與所成的角為,因為,所以,此時方程無解,所以不存在點使得異面直線與所成的角為,所以②正確;
對于③,如圖所示,連接,設(shè),因為,所以,無最小值也無最大值,又因為平面,且是線段的中點,可得點到平面的距離為,所以三棱錐的體積,無最大值也無最小值,又的面積為定值,則三棱錐的高也即點到平面的距離,也無最大值和最小值,所以③錯誤;對于④,由,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,所以,因為,設(shè)直線與平面所成的角為,可得,所以,當(dāng)點自向處運動時,的值由到變大,單調(diào)遞增,因為在為增函數(shù),所以也逐漸增大,所以④正確.故②④.1、解答方法:一般時根據(jù)線面平行,線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡,有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程;2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題,首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下,利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋找假設(shè)滿足的條件,若滿足則肯定假設(shè),若得出矛盾的結(jié)論,則否定假設(shè);3、對于探索性問題用向量法比較容易入手,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無解則不存在,同時,用已知向量來表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.15.【正確答案】(1)(2)或【詳解】(1)設(shè)圓的方程為,
由已知得,
解得,,,
所以圓的方程為,即;(2)①若直線有斜率,可設(shè)的方程為,即,
由已知,則圓心到直線的距離
解得,
此時,直線的方程為,即;
②若直線沒有斜率,則的方程為,
將其代入,可得或,即得,,滿足條件,
綜上所述,直線的方程為或.16.【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】(1)拋物線,,其焦點為,準(zhǔn)線方程為,可得,且,解得,或(舍去),,則拋物線的方程為;(2)如圖,設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,可得,則,又,所以,由,可得即,解得,或(舍去),所以直線恒過定點.17.【正確答案】(1)證明見解析.(2);(3).【詳解】(1)底面為矩形,則,又因為側(cè)面底面,側(cè)面底面,平面,所以平面,而平面,所以,又側(cè)面為正三角形,是的中點,所以,又,平面,所以平面;(2)取中點,連接,則,又因為側(cè)面底面,側(cè)面底面,平面,所以平面,以為原點,過平行于的直線為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,則,,,,則,,平面的一個法向量是,因為與平面所成角的正弦值為.,所以,解得(負(fù)值舍去),,,所以直線與直線所成角的余弦值為;(3)由(2)知,設(shè)平面的一個法向量是,則,取,則,,所以為平面的一個法向量,,,,設(shè)平面的一個法向量是,則,取,則,,所以為平面的一個法向量,,設(shè)平面與平面所成夾角為,則,從而.所以平面與平面所成夾角的正弦值為.18.【正確答案】(1)(2)(3)離心率為或【詳解】(1)因為雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,不妨設(shè)雙曲線的方程為,因為雙曲線經(jīng)過點,解得,則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)不妨設(shè),,,,因為線段的中點為,所以,,因為,兩點都在雙曲線上,所
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