第五章 彎曲內(nèi)力

基本要求1.明確平面彎曲的概念，理解將實(shí)際受彎構(gòu)件簡(jiǎn)化為力學(xué)模型的過(guò)程。2.熟練掌握建立剪力、彎矩方程和繪制剪力圖、彎矩圖的方法。3.理解彎矩、剪力和載荷集度間的微分關(guān)系、積分關(guān)系與突變關(guān)系，并掌握用這些關(guān)系檢驗(yàn)或繪制梁的剪力圖、彎矩圖的方法。第五章彎曲內(nèi)力§5.1平面彎曲的概念§5.2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩§5.4剪力、彎矩與載荷之間的關(guān)系§5.3剪力和彎矩方程剪力和彎矩圖§5.5平面剛架和曲桿的內(nèi)力目錄§5.1平面彎曲的概念當(dāng)桿受到垂直于桿軸線(xiàn)的外力(通常稱(chēng)為橫向外力)或外力偶(外力偶的向量垂直于桿軸)作用時(shí)，桿件將主要發(fā)生彎曲變形。凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常均稱(chēng)為梁作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁的軸線(xiàn)由直線(xiàn)彎成一條位于縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的曲線(xiàn)，這種彎曲稱(chēng)為平面彎曲。也有的教材稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲。梁變形后的曲線(xiàn)與外力在同一平面內(nèi)(縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi))?？v向?qū)ΨQ(chēng)面對(duì)稱(chēng)軸§5.2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中，用梁的軸線(xiàn)代表實(shí)際的梁FF梁的支座按它對(duì)梁的約束情況，可簡(jiǎn)化為三種基本形式1、固定端限制被支承的橫截面沿水平和垂直方向移動(dòng)和繞某一軸移動(dòng)。梁的支座分類(lèi)2、固定鉸支座限制支承的橫截面沿水平和垂直方向移動(dòng)。3、可動(dòng)鉸支座使桿件與沿支承面方向移動(dòng)亦可繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。1、集中載荷載荷的作用范圍遠(yuǎn)小于桿件軸向尺寸。2、分布載荷沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用q表示單位長(zhǎng)度上的載荷,稱(chēng)為載荷集度.如風(fēng)力,水力,重力.3、集中力偶特例：均布載荷，線(xiàn)性分布載荷如水對(duì)壩的壓力集中載荷分布載荷集中力偶梁的載荷分類(lèi)幾種基本形式的靜定梁靜定平衡梁的支反力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁.1、簡(jiǎn)支梁一端為固定鉸支座一端為活動(dòng)鉸支座。2、外伸梁一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁。3、懸臂梁一端固定支座一端自由。如果靜定平衡梁的支反力數(shù)多于平衡方程數(shù)，則為靜不定梁.取左半部分分析得：FS稱(chēng)為剪力抵抗剪切作用的內(nèi)力,是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力.得：M稱(chēng)為彎矩抵抗彎曲作用的矩,是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩符號(hào)規(guī)則1、剪力FS反之為負(fù)FS

FS-外力使梁向上壓、下拉為正反之，若外力使梁向上拉、下壓為負(fù)2、彎矩MMM+MM-材力中內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn),符號(hào)相同.FS

FS+左上右下的錯(cuò)動(dòng)依單元體有順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)記：依單元體有順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為正記：外力使梁下拉為正直接通過(guò)外力來(lái)判斷剪力彎矩的正負(fù)號(hào)－＋＋－外力F對(duì)指定截面形心順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為正，反之為負(fù)設(shè)想把欲求M的截面固定＋－＋－－＋外力使分離體下拉為正，反之為負(fù)例1

已知:F

、Me=Fl、l求：橫截面E的剪力和彎矩。解：（1）計(jì)算支反力解得：可以之計(jì)算一處反力即可（2）計(jì)算截面E的剪力和彎矩解得：直接計(jì)算E截面的剪力彎矩看右側(cè)看左側(cè)aaa33224411BACD例2

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：(1)求約束反力以AB為研究對(duì)象，由平衡方程易得(2)用直接法求約剪力和彎矩1－1截面2－2截面3－3截面4－4截面比較1、2截面的剪力可知，在集中力F作用處，其相鄰兩個(gè)截面的FS值發(fā)生突變，且突變值就等于該集中力的大小。比較3、4截面的彎矩可知，在集中力偶Me作用處，其相鄰兩個(gè)截面的M值發(fā)生突變，且突變值就等于該集中力偶矩的大小。aaaAaB22qAaaa11Baq(a)(b)例3

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：兩個(gè)圖形的載荷形式完全一樣，比較剪力彎矩的不同注意：有分布荷載的不能在取截面之前就把它轉(zhuǎn)化為集中力。ABaa332211BACDq例4

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：(1)求約束反力先以CD為研究對(duì)象，然后在以AC為研究對(duì)象，由平衡方程易得(2)用直接法求剪力和彎矩1－1截面2－2截面3－3截面§5.3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖由前面的例題可以看出，在一般情況下，梁橫截面的剪力彎矩是隨著橫截面的位置而變化的。若沿梁軸方向選取x坐標(biāo)表示截面位置，則梁的各個(gè)截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數(shù)，即這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，分別為梁的剪力和彎矩方程。為了能一目了然的看出梁的各個(gè)截面上剪力和彎矩隨著截面位置而變化的情況，可以仿照軸力、扭矩圖的作法，會(huì)出剪力和彎矩圖。繪圖時(shí)x為橫坐標(biāo)，表示各個(gè)截面的位置，F(xiàn)S或M為縱坐標(biāo)，表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩值。其中M圖向下為正。例5

已知:F

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：FS(x)為一常量由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：很容易求出支反力：例6

已知:q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖練習(xí)

已知:q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：例7

已知:F

、l、a、b求：梁的剪力圖和彎矩圖。很容易求出支反力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：例7

已知:Me

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：很容易求出支反力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：集中力集中力偶C小結(jié)(1)F作用處FS圖有突變，突變值為F(2)Me作用處FS圖無(wú)變化(3)FS等于零處，M圖有極值M圖有尖角M圖有突變，突變值等于Me|Mmax|所在截面可能是FS＝0；Me作用；處F作用處(4)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)載荷對(duì)稱(chēng)FS圖反對(duì)稱(chēng)FS圖對(duì)稱(chēng)載荷反對(duì)稱(chēng)M圖對(duì)稱(chēng)M圖反對(duì)稱(chēng)§5.4載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系略去高階微量，得:利用（a）和（b），得:BABA例8

作圖示梁的剪力彎矩圖。FFlMeq＝0的情形：BABA例9

作圖示梁的剪力彎矩圖。q＝const的情形：qqqlqlCAqB例10

作圖示梁的內(nèi)力圖。A點(diǎn)：C點(diǎn)：B點(diǎn)：BACaa2FFFa2Fa例11

作圖示梁的剪力彎矩圖。解：由整體法求出支反力FAFB例12

作圖示梁的剪力彎矩圖。解：由整體法求出支反力BACaaqFAFBlBACDE2m3m1mFAFB例13

作圖示梁的剪力彎矩圖。l102055解：由整體法求出支反力a201.2520解：容易求出支反力：求：梁的剪力圖和彎矩圖。例143.6m練習(xí)試?yán)煤奢d集度，剪力和彎矩之間的微分關(guān)系做下列各梁的剪力圖和彎矩圖。（a）15kN1m2m10kN.mABC(b)a3a2MeMeACB15kN1025kN.mMe/3aMe/34Me/32Me（c）（d）5F/165F/1611F/1611F/165Fa/165Fa/163Fa/8540545540kN.mkN2802602602803mAaaaFF11F/8BCDEaABCD2m2m10kN/m250kN250kN2m（e）qa2qa11qa/67qa/6a3aqaqBAC練習(xí)已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖如圖所示。試作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒(méi)有集中力偶作用。20kN2kN/m18kN14kN18214kN23m3m6mkN.m4854練習(xí)試根據(jù)圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖作出梁的剪力圖和荷載圖。其中兩條斜直線(xiàn)是相互平行的。20kN.m10kN.m10kN10kNkN10101010kN.m1m1m1mBDCA60kN80kN0.5m1m2.5mkN113.12533.12516.87576.875kNkN.m56.5683.9976.875練習(xí)試?yán)煤奢d集度，剪力和彎矩之間的微分關(guān)系做下列各梁的剪力圖和彎矩圖?！?.5平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架1.平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：FS、M、FN。2.內(nèi)力圖規(guī)定：彎矩圖：畫(huà)在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。剪力圖及軸力圖：可畫(huà)在剛架軸線(xiàn)的任一側(cè)，但須注明正、負(fù)號(hào)。例14試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2alABC–FN

圖F2+FS圖F1+F1F1aM圖F1aF1a+F2l二、曲