第五章 彎曲內(nèi)力

基本要求1.明確平面彎曲的概念，理解將實(shí)際受彎構(gòu)件簡化為力學(xué)模型的過程。2.熟練掌握建立剪力、彎矩方程和繪制剪力圖、彎矩圖的方法。3.理解彎矩、剪力和載荷集度間的微分關(guān)系、積分關(guān)系與突變關(guān)系，并掌握用這些關(guān)系檢驗(yàn)或繪制梁的剪力圖、彎矩圖的方法。第五章彎曲內(nèi)力§5.1平面彎曲的概念§5.2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩§5.4剪力、彎矩與載荷之間的關(guān)系§5.3剪力和彎矩方程剪力和彎矩圖§5.5平面剛架和曲桿的內(nèi)力目錄§5.1平面彎曲的概念當(dāng)桿受到垂直于桿軸線的外力(通常稱為橫向外力)或外力偶(外力偶的向量垂直于桿軸)作用時(shí)，桿件將主要發(fā)生彎曲變形。凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常均稱為梁作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。也有的教材稱為對稱彎曲。梁變形后的曲線與外力在同一平面內(nèi)(縱向?qū)ΨQ面內(nèi))?？v向?qū)ΨQ面對稱軸§5.2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩梁的計(jì)算簡圖中，用梁的軸線代表實(shí)際的梁FF梁的支座按它對梁的約束情況，可簡化為三種基本形式1、固定端限制被支承的橫截面沿水平和垂直方向移動(dòng)和繞某一軸移動(dòng)。梁的支座分類2、固定鉸支座限制支承的橫截面沿水平和垂直方向移動(dòng)。3、可動(dòng)鉸支座使桿件與沿支承面方向移動(dòng)亦可繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。1、集中載荷載荷的作用范圍遠(yuǎn)小于桿件軸向尺寸。2、分布載荷沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用q表示單位長度上的載荷,稱為載荷集度.如風(fēng)力,水力,重力.3、集中力偶特例：均布載荷，線性分布載荷如水對壩的壓力集中載荷分布載荷集中力偶梁的載荷分類幾種基本形式的靜定梁靜定平衡梁的支反力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁.1、簡支梁一端為固定鉸支座一端為活動(dòng)鉸支座。2、外伸梁一端或兩端向外伸出的簡支梁。3、懸臂梁一端固定支座一端自由。如果靜定平衡梁的支反力數(shù)多于平衡方程數(shù)，則為靜不定梁.取左半部分分析得：FS稱為剪力抵抗剪切作用的內(nèi)力,是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力.得：M稱為彎矩抵抗彎曲作用的矩,是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩符號規(guī)則1、剪力FS反之為負(fù)FS

FS-外力使梁向上壓、下拉為正反之，若外力使梁向上拉、下壓為負(fù)2、彎矩MMM+MM-材力中內(nèi)力成對出現(xiàn),符號相同.FS

FS+左上右下的錯(cuò)動(dòng)依單元體有順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)記：依單元體有順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為正記：外力使梁下拉為正直接通過外力來判斷剪力彎矩的正負(fù)號－＋＋－外力F對指定截面形心順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為正，反之為負(fù)設(shè)想把欲求M的截面固定＋－＋－－＋外力使分離體下拉為正，反之為負(fù)例1

已知:F

、Me=Fl、l求：橫截面E的剪力和彎矩。解：（1）計(jì)算支反力解得：可以之計(jì)算一處反力即可（2）計(jì)算截面E的剪力和彎矩解得：直接計(jì)算E截面的剪力彎矩看右側(cè)看左側(cè)aaa33224411BACD例2

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：(1)求約束反力以AB為研究對象，由平衡方程易得(2)用直接法求約剪力和彎矩1－1截面2－2截面3－3截面4－4截面比較1、2截面的剪力可知，在集中力F作用處，其相鄰兩個(gè)截面的FS值發(fā)生突變，且突變值就等于該集中力的大小。比較3、4截面的彎矩可知，在集中力偶Me作用處，其相鄰兩個(gè)截面的M值發(fā)生突變，且突變值就等于該集中力偶矩的大小。aaaAaB22qAaaa11Baq(a)(b)例3

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：兩個(gè)圖形的載荷形式完全一樣，比較剪力彎矩的不同注意：有分布荷載的不能在取截面之前就把它轉(zhuǎn)化為集中力。ABaa332211BACDq例4

求圖示指定截面的剪力和彎矩。解：(1)求約束反力先以CD為研究對象，然后在以AC為研究對象，由平衡方程易得(2)用直接法求剪力和彎矩1－1截面2－2截面3－3截面§5.3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖由前面的例題可以看出，在一般情況下，梁橫截面的剪力彎矩是隨著橫截面的位置而變化的。若沿梁軸方向選取x坐標(biāo)表示截面位置，則梁的各個(gè)截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數(shù)，即這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，分別為梁的剪力和彎矩方程。為了能一目了然的看出梁的各個(gè)截面上剪力和彎矩隨著截面位置而變化的情況，可以仿照軸力、扭矩圖的作法，會(huì)出剪力和彎矩圖。繪圖時(shí)x為橫坐標(biāo)，表示各個(gè)截面的位置，F(xiàn)S或M為縱坐標(biāo)，表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩值。其中M圖向下為正。例5

已知:F

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：FS(x)為一常量由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：很容易求出支反力：例6

已知:q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖練習(xí)

已知:q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：例7

已知:F

、l、a、b求：梁的剪力圖和彎矩圖。很容易求出支反力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：例7

已知:Me

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：很容易求出支反力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：集中力集中力偶C小結(jié)(1)F作用處FS圖有突變，突變值為F(2)Me作用處FS圖無變化(3)FS等于零處，M圖有極值M圖有尖角M圖有突變，突變值等于Me|Mmax|所在截面可能是FS＝0；Me作用；處F作用處(4)結(jié)構(gòu)對稱載荷對稱FS圖反對稱FS圖對稱載荷反對稱M圖對稱M圖反對稱§5.4載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系略去高階微量，得:利用（a）和（b），得:BABA例8

作圖示梁的剪力彎矩圖。FFlMeq＝0的情形：BABA例9

作圖示梁的剪力彎矩圖。q＝const的情形：qqqlqlCAqB例10

作圖示梁的內(nèi)力圖。A點(diǎn)：C點(diǎn)：B點(diǎn)：BACaa2FFFa2Fa例11

作圖示梁的剪力彎矩圖。解：由整體法求出支反力FAFB例12

作圖示梁的剪力彎矩圖。解：由整體法求出支反力BACaaqFAFBlBACDE2m3m1mFAFB例13

作圖示梁的剪力彎矩圖。l102055解：由整體法求出支反力a201.2520解：容易求出支反力：求：梁的剪力圖和彎矩圖。例143.6m練習(xí)試?yán)煤奢d集度，剪力和彎矩之間的微分關(guān)系做下列各梁的剪力圖和彎矩圖。（a）15kN1m2m10kN.mABC(b)a3a2MeMeACB15kN1025kN.mMe/3aMe/34Me/32Me（c）（d）5F/165F/1611F/1611F/165Fa/165Fa/163Fa/8540545540kN.mkN2802602602803mAaaaFF11F/8BCDEaABCD2m2m10kN/m250kN250kN2m（e）qa2qa11qa/67qa/6a3aqaqBAC練習(xí)已知簡支梁的剪力圖如圖所示。試作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有集中力偶作用。20kN2kN/m18kN14kN18214kN23m3m6mkN.m4854練習(xí)試根據(jù)圖示簡支梁的彎矩圖作出梁的剪力圖和荷載圖。其中兩條斜直線是相互平行的。20kN.m10kN.m10kN10kNkN10101010kN.m1m1m1mBDCA60kN80kN0.5m1m2.5mkN113.12533.12516.87576.875kNkN.m56.5683.9976.875練習(xí)試?yán)煤奢d集度，剪力和彎矩之間的微分關(guān)系做下列各梁的剪力圖和彎矩圖?！?.5平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架1.平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：FS、M、FN。2.內(nèi)力圖規(guī)定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號。剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)，但須注明正、負(fù)號。例14試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2alABC–FN

圖F2+FS圖F1+F1F1aM圖F1aF1a+F2l二、曲