2025屆福建省莆田四中高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆福建省莆田四中高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．2．已知命題，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20205．設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．6．已知中，，則（）A．1 B． C． D．7．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，若為前項(xiàng)和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．18010．設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，的值為()A． B． C． D．12．定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，則_____，_____．14．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則________．15．已知函數(shù)，則的值為____16．設(shè)，則_____，（的值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，求直線的斜率范圍.18．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.19．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.20．（12分）在以ABCDEF為頂點(diǎn)的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.21．（12分）已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對(duì)任意的恒成立．22．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，其中，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．3、C【解析】

令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，若直線和有兩個(gè)交點(diǎn)，則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.4、C【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)?，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，可化為，因?yàn)?，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，8、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、A【解析】

因?yàn)椋傻?，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則恰有兩個(gè)不同的解，求出可確定是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的解，顯然是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，且這個(gè)解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時(shí)，恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.11、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.12、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象（實(shí)線）與軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程組的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．15、4【解析】

根據(jù)的正負(fù)值，代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題.16、7201【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通式可求出；令中的，得兩個(gè)式子，代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項(xiàng)式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，利用拋物線的定義得，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上有，列方程組求解，（2）設(shè)，根據(jù)，再由，求得，當(dāng)，即時(shí)，直線斜率不存在；當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)求解，【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，得，又，解得，所以拋物線方程為（2）設(shè)，由由，則當(dāng)，即時(shí)，直線斜率不存在；當(dāng)時(shí)，令，所以在上分別遞減則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線定義及方程的應(yīng)用，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，18、（1）（2）【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對(duì)值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長.【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.20、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）取中點(diǎn)，連，可得，結(jié)合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進(jìn)而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF，，求出體積，建立的方程，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連，底面ABCD為菱形，，，平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，，為中點(diǎn)，，平面，平面平面，；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長為，則，，，，，所以菱形ABCD的邊長為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，體積問題要熟練應(yīng)用等體積方法，屬于中檔題.21、（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時(shí),,代入所給的條件化簡可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時(shí),,兩式作差,可得．當(dāng)時(shí),滿足上式,則；證明：,當(dāng)時(shí),,兩式相減得：即．即．又,,即．當(dāng)時(shí),,兩式相減得：．?dāng)?shù)列從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列．又當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,得．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；證明：由,當(dāng)時(shí),,即,,,即,即,當(dāng)時(shí),即．故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),．．另外,由已知條件可得,又,,因而．令,則．故對(duì)任意的恒成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查