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河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.正方形的邊長(zhǎng)為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知集合,則()A. B. C. D.3.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形4.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.6.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元9.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.10.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長(zhǎng)為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定12.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.14.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.15.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到一個(gè)偶函數(shù)圖象,則________.16.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng);(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.20.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.(10分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡(jiǎn)求解.【詳解】解:建立以為原點(diǎn),以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫(xiě)出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡(jiǎn)可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.6、C【解析】
利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時(shí)雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.10、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.11、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問(wèn)題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
用樹(shù)狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱,進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱即:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸求解參數(shù)值的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移后的對(duì)稱軸得到原函數(shù)的對(duì)稱軸,進(jìn)而利用特殊值的方式來(lái)進(jìn)行求解.16、2【解析】
根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:,即證明:,由,也即證明:.因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式,分析法證明不等式,審清題意,仔細(xì)計(jì)算,屬中檔題.18、(Ⅰ)當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第(Ⅰ)問(wèn),對(duì)求導(dǎo),再對(duì)a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問(wèn),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問(wèn),構(gòu)造函數(shù)=(),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增.(Ⅱ)令=,則=.當(dāng)時(shí),>0,所以,從而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),當(dāng)時(shí),>0.當(dāng),時(shí),=.故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí),必有.當(dāng)時(shí),>1.由(Ⅰ)有,而,所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí),令=().當(dāng)時(shí),=.因此,在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)?0,所以當(dāng)時(shí),=>0,即>恒成立.綜上,.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求,解方程,再通過(guò)的正負(fù)確定的單調(diào)性;要證明不等式,一般證明的最小值大于0,為此要研究函數(shù)的單調(diào)性.本題中注意由于函數(shù)的極小值沒(méi)法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎,學(xué)生不易想到,有一定的難度.19、(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長(zhǎng);(2)將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標(biāo)方程為,即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為,半徑為1,則由點(diǎn)到直線距離公式可知,所以.(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,解得,所以兩點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,由兩點(diǎn)間距離公式可得.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2
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