第3講 圓錐曲線第三定義（解析版）

一．選擇題（共7小題）1．橢圓C:=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA1的斜率的取值范圍是[2，1]，那么直線PA2斜率的取值范圍是()解：設(shè)P，由A1:—2≤≤1，則≤kPA2≤,:直線PA2斜率的取值范圍[，]，故選：B.2．橢圓C:=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[3，1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是()設(shè)，則得:直線PA1斜率的取值范圍是故選：A.3．橢圓C:=1的左、右頂點(diǎn)分別為M、N，點(diǎn)P在C上，且直線PN的斜率為一，則直線PM斜率為()【解答】解：橢圓=1的左、右頂點(diǎn)分別為M、N，:M點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，:直線PN的方程為：y=一故選：B.軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C為橢圓上不同于A、B的任一點(diǎn)，若將ΔABC的三個(gè)內(nèi)角記作A、 圓的離心率為()3cos(A+B)cosAcosB=0而cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，所以可得2cosAcosB=3sinAsinB，即tanA●tanB=由題意可得A(-a,0)，B(a,0)，設(shè)C(x0，y0)，可得由雙曲線的對(duì)稱性設(shè)C在第一象限，如圖所示：2所以可得所以離心率故選：A.直線PA，PB的斜率記為m，n，則m2+的最小值為()【解答】解：」?jié)M足PA+PB=2PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn):設(shè)，則=x02-1，=x12-1，直線PA，PB的斜率記為m，n，滿足mn=2故選：B.6．已知A，B，P是雙曲線一上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為():兩式相減可得::=，a23故選：D.7．已知A，B，P是雙曲線C:k1，直線PB的斜率為k2，且k1，k2是關(guān)于x的方程4x2+mx+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若—————→OA+OB=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C—————→ 【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，——一一又因?yàn)椋?a2)， 故選：B.二．填空題（共4小題）直線PA、PB的斜率記為m，n，則m2+的最小值為【解答】解：由PA+PB=2PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)得O為AB的中點(diǎn)，又由A、B、P為雙曲線上的點(diǎn)，:x12一22可得當(dāng)且僅當(dāng)m2=時(shí)上式“=”成立.:m2+的最小值為.故答案為：.的動(dòng)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(P，M都異于A，B)，且PA+PB=λ(MA+MB)，其中設(shè)直線AP，BP，AM，BM的斜率分別為k1，k2，k3，k4，若k1+k2=，則k3+k4=3.【解答】解：根據(jù)題意可得A(一a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x1，y1)，M(x2，y2)，λ∈R，，y2)]所以x1y2=x2y1，因?yàn)镻，M都異于A，B，y1y2由①②得又因?yàn)楣蚀鸢笧椋?為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且滿足PA+PB=λ(QA+QB)(λ∈R,P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，—————————→—————————→設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，bb」OP=λOQ，:x1=λx2，y1=λyy1y2故答案為：0.11．已知A、B、P是雙曲線一=1上不同的三點(diǎn)， 若直線PA，PB的斜率乘積kPA.kPB=，則該雙曲線的離心率e=.:兩式相減可得一=故答案為：三．解答題（共4小題）12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；【解答】解1）由題設(shè)知，a=2故所以線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)原點(diǎn)，所以（2）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得解得設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2=(,0)，若橢圓上存在一點(diǎn)D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF1相切于線段DF1的中點(diǎn)F.圓G于H，K兩點(diǎn)，設(shè)線段HK的中點(diǎn)為N，連接MN，試問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí)，直線MN過(guò)橢圓G的頂點(diǎn)？(Ⅲ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓=1于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長(zhǎng)交橢圓W于B，求證：PA丄PB.，F(xiàn)O(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為F2(·5,0)因?yàn)镕O是△DF1F2的中位線，且DF1丄FO，22=5，又b22設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)并代入設(shè)H(x1，y1)，K(x2，y2)，N(x0，y0)則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得①當(dāng)k=0時(shí)，有N(0,0)，直線MN顯然過(guò)橢圓G的兩個(gè)頂點(diǎn)(0,一2)，(0,2).…（7分）②當(dāng)k≠0時(shí)，則x0≠0，直線MN的方程為此時(shí)直線MN顯然不能過(guò)橢圓G的兩個(gè)頂點(diǎn)(0,一2)，(0,2)；即①、②兩直線的交點(diǎn)B在橢圓W上，所以PA丄PB.…（14分）:kPA=，kAC=314．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，設(shè)直線PA的斜率為k.（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；（2）求ΔPMN，面積S的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）對(duì)任意的k>0，過(guò)點(diǎn)P作PA的垂線交橢圓于B，求證：A，C，B三點(diǎn)共線.:線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)原點(diǎn)，設(shè)與MN平行的直線方程為2x+m，22由題意可知，當(dāng)m=2時(shí)，直線2與直線MN的距離最大，最大值即ΔPMN面積S有最大值，等于|MN|d= :P點(diǎn)坐標(biāo)為(·2,1)；（3）證明：設(shè)P(x1，y