第13講 破解離心率問題之第二、三定義及雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)類（解析版）

一．選擇題（共15小題）1．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)．設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)(ln|m|+ln|n|)++取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為()【解答】解：根據(jù)題意可得A(—a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x0，y0)所以令所以所以當(dāng)t=3時(shí)，f(t)最小，即=3，所以故選：A.2．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，P是橢圓上不同于A，(ln|m|+ln|n|)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為()則故t=3時(shí)，f(t)取最小值，橢圓C的離心率為故選：A.3．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是橢不重合的動(dòng)點(diǎn)，若直線PA，PB斜率之積為—，則橢圓C的離心率為()【解答】解：由題意可得A(—a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x0，y0)，則由P在橢圓上可得y=.b2，①把①代入②化簡可得=，:e====，故選：A.4．設(shè)A，B為橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1.k2=—，則該橢圓的離心率為() 【解答】解：由題意可得A(—a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x0，y0)，則由P在橢圓上可得.b2，①②把①代入②化簡可得離心率e=.故選：C.5．已知雙曲線=1(a>0,b>0)，M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2(k1.k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值為2，則雙曲線的離心率為()【解答】解：設(shè)M(p,q)，N(—p,—q)，P(m,n)，a2b2a2b2兩式相減，得=，:=，:k1k2=.==， |時(shí)取等號(hào)，又當(dāng)k1=k2時(shí)，P，N，M三點(diǎn)共線不符合條件，:當(dāng)k1=—k2時(shí)取等號(hào)，:a=b，:離心率e=·2.故選：A.6．雙曲線=1(a>0,b>0)M，N為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，且直線PM，PN斜率分別為k1，k2，若k1.k2=，則雙曲線離心率為() 【解答】解：由題意，設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(—x1，—y1):kPM.kPN=.=，，x22y22=1，a2b2a2b2:兩式相減可得+=0，即=，kPM.kPN=，故選：A.7．雙曲線=1(a>0,b>0)，M、N為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，且直線PM、PN斜率分別為k1、k2，若k1.k2=則雙曲線離心率為()【解答】解：由題意，設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(—x1，—y1)，x22y22=1，a2b2a2b2:兩式相減可得=kPM.kPN=，:2=故選：B.直線l與直線OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率的乘積等于2，則此雙曲線C的離心率為()【解答】解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)，:M(，)，把A(x1，y1)，B(x2，y2)分別代入雙曲線la2b2la2b2:直線l的斜率:OM的斜率kOM=，l與OM的斜率的乘積等于2，:此雙曲線的離心率e==.故選：D.兩點(diǎn)，若AF=5FB，則雙曲線的離心率為()2222化簡消去t，可得16a=12c，解得故選：D.10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F(c,0)，若存在過點(diǎn)F的直線l與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，與雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，且|AF|=c，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()【解答】解：設(shè)上AOF=θ,根據(jù)雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，且|AF|=c，若存在過點(diǎn)F的直線l與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，需保證上BOM<上AFO.根據(jù)雙曲線的漸近線為則tanθ=:1<e<2.故選：B.11．已知斜率為的直線l分別交雙曲線的左、右支于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，若OP（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為2，則雙曲線的離心率為()【解答】解：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，則=因?yàn)镺P（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為2，所以所以因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在雙曲線上，所以兩式相減得所以所以a2=b2，所以a2=c2-a2，所以離心率為，故選：B.12．已知橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM和直線BM的斜率之積為-，則橢圓C的離心率為()【解答】解：如圖，兩式相減得=0，即直線AM，AN斜率之積為，:a=2b.:橢圓的離心率故選：C.13．如圖，已知P(x0，y0)，Q是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x,y)為雙曲線C上異于P，Q且不與P，Q關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的任意一點(diǎn)，若直線PM，QM的斜率之積為，且雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線C的離心率為()【解答】解：設(shè)M(x,y)，P(x0，y0)，則Q(—x0，—y0)，由題意知kPM.kQM=所以故選：D.14．已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓上的不同兩點(diǎn)且關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為m，n，若mn=則該橢圓的離心率為()B(a,0)，設(shè)P(x0，y0)，則Q(x0，y0)，,所以可得故選：C.15．已知A、B分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，M、N是橢圓C上兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，若AM、BN的斜率之積為，則橢圓C的離心率是()故AM、BN的斜率之積為k1k2=，故所以橢圓C離心率是故選：B.二．填空題（共10小題）16．橢圓+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是【解答】解：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等， 1 1217．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且BF=2FD，則C的離心率為3. 2故答案為：.18．如圖，已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)則橢圓C的離心率為+c2作DD1丄y軸于點(diǎn)D1，則由得：所以，由橢圓的第二定義得22，解得， 故答案為：19．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D， +c222，解得， 故答案為：.20．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線PA與PB的斜率之積為一，則橢圓的離心率為.【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0).由題意，有①BP22y22，于是e2=:橢圓的離心率 故答案為：.21．已知雙曲線，M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2(k1.k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值為 1，則雙曲線的離心率為.【解答】解：由題意，可設(shè)點(diǎn)M(p,q)，N(—p,—q)，P(s,t).兩式相減得.再由斜率公式得：k1k2=根據(jù)|k1|+|k2|的最小值 故答案為：.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M是雙曲線上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線的切線l，若kOM.kl=則雙曲線離心率e等于.解：設(shè)M，則kOM=由于雙曲線在M點(diǎn)的切線方程為=1，即在M點(diǎn)切線的斜率，所以a2=3b2，又b2=c2a2，所以4a2=3c2，可得離心率 故答案為：23．過雙曲線右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為(1,·5).與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得雙曲線的漸近線斜率<2，e>1 :1<e<5， :雙曲線離心率的取值范圍為(1,·5). 個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為2.傾斜角為60。的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，:根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，所給直線應(yīng)與雙曲