江蘇省揚(yáng)州市儀征市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源-2023年度第二學(xué)期期中調(diào)研試題高一數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分2023.04一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)，其中a，，i是虛數(shù)單位，則（）A.-5 B.-1 C.1 D.5【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a與b的值，則答案可求．【詳解】由，得，∴，即，，∴．故選：B2.在中，若，，，則=（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用正弦定理直接計(jì)算即可判斷作答.【詳解】在中，若，，，由正弦定理得：，所以.故選：B3.若函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，則整數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理可得解.【詳解】由為增函數(shù)，且，可得零點(diǎn)所在的區(qū)間為，所以.故選：C.4.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及差角余弦公式，即可求值.【詳解】.故選：C5.已知正方形的邊長(zhǎng)為（）A.3 B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】用表示出目標(biāo)向量，再利用數(shù)量積定義即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為3，，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的求解，屬基礎(chǔ)題.6.已知，且α為銳角，則cosα＝（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由α為銳角，得到α﹣的范圍，求得cos（），再由α＝（）+，運(yùn)用兩角和的余弦公式求解.【詳解】因?yàn)椋姚翞殇J角，則﹣＜＜，即cos（）＝＝，則cosα＝cos[（）+]＝cos（）cos﹣sin（）sin＝（﹣）＝.故選：C.7.平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，滿(mǎn)足，則（）A.，方向相同 B.，方向相同C.，方向相同 D.，，兩兩互不共線(xiàn)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得，兩邊利用單位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.8.中若有，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)原式化簡(jiǎn)變形可得結(jié)論【詳解】由，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以為直角三角形，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.z的虛部為 D.z的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AB【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的相關(guān)概念依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，因?yàn)閦＝1＋，所以|z|＝＝，其對(duì)應(yīng)的為在第一象限，且其虛部為1，其共軛復(fù)數(shù)為1－，所以選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：AB.10.如圖，每一個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，在的方格紙中有一個(gè)向量（以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)，格點(diǎn)為終點(diǎn)），則（）A.分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與是相反向量的共有11個(gè)B.滿(mǎn)足的格點(diǎn)共有3個(gè)C.存在格點(diǎn)滿(mǎn)足D.存在格點(diǎn)，使得【答案】BCD【解析】【分析】將向量平移的過(guò)程中易知與是相反向量的共有18個(gè)，建立以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示可解得有3個(gè)格點(diǎn)滿(mǎn)足，有4個(gè)格點(diǎn)滿(mǎn)足，且存在，使得.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，利用向量平移以及相反向量的概念可知，將向量分別向左、右、下各方向平移的過(guò)程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在圖中的格點(diǎn)處的向量都與向量相等，取相反方向即可得出與是相反向量的共有18個(gè)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，可設(shè)，且，易知，則，所以，解得，共3個(gè)，即格點(diǎn)共有3個(gè)，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，即滿(mǎn)足，可得共4個(gè)，即存在格點(diǎn)滿(mǎn)足，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，所以D正確.故選：BCD11.下列四個(gè)等式其中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)利用兩角和與差的正切、正弦、二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換一一計(jì)算可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，所以正確；B選項(xiàng)，，，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，所以錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以正確故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，兩角和與差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟練記憶是解本題的關(guān)鍵.12.已知滿(mǎn)足，且的面積，則下列命題正確的是（）A.周長(zhǎng)為B三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線(xiàn)的長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，利用余弦定理求得，得到，進(jìn)而逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)闈M(mǎn)足，由正弦定理得，可設(shè)，其中，又由余弦定理得，因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以B正確；又因?yàn)榈拿娣e，可得，解得，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以A正確；設(shè)的外接圓的半徑為，可得，即，所以C錯(cuò)誤；在中，可得，所以，所以，即中線(xiàn)的長(zhǎng)為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則_______．【答案】3【解析】【分析】利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．【詳解】1－i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，可知1＋i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．故答案為：3．14.設(shè)向量，且，則＝________.【答案】【解析】【詳解】根據(jù)兩向量垂直，可得，解得.故答案為：.15.已知，且，求的值為_(kāi)____．【答案】##【解析】【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.【詳解】，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：，而，于是.故答案為：.16.斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀(jì)的英國(guó)數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線(xiàn)段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，點(diǎn)在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，點(diǎn)在上，且的面積與的面積之比為，則______．【答案】##【解析】【分析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦爾特定理可求得的長(zhǎng).【詳解】由及正弦定理可得，，則，所以，，則，，故，，，由余弦定理可得，，則，故，由斯特瓦爾特定理可得，因此，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知平面向量，滿(mǎn)足，，，的夾角為.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）26.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接求出答案；（2）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律直接運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，，的夾角為，根據(jù)數(shù)量積的定義，；（2）.18.已知復(fù)數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）在①；②z為純虛數(shù)；③z的實(shí)部與虛部相等．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．（1）若______，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為5，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）選①,;選②,;選③,;（2）或.【解析】【分析】（1）選①根據(jù)題意知復(fù)數(shù)為正實(shí)數(shù)，由實(shí)部大于0，虛部等于0列出式子求解，選②根據(jù)純虛數(shù)知實(shí)部為0，虛部不為0求解，選③由實(shí)部虛部相等列方程求解；（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模列出方程求解.【小問(wèn)1詳解】若選①，因?yàn)?，則，解得；若選②，因?yàn)閦為純虛數(shù)，則，解得；若選③，因?yàn)閦的實(shí)部與虛部相等，則，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，解得?9.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：(1)要求的值，根據(jù)兩角和的正弦公式，可知還要求得，由于已知，所以，利用同角關(guān)系可得；（2）要求，由兩角差的余弦公式我們知要先求得，而這由二倍角公式結(jié)合（1）可很容易得到.本題應(yīng)該是三角函數(shù)最基本的題型，只要應(yīng)用公式，不需要作三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的“角”的變換，“函數(shù)名稱(chēng)”的變換等技巧，可以算得上是容易題，當(dāng)然要正確地解題，也必須牢記公式，及計(jì)算正確.試題解析：（1）由題意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角和與差的正弦、余弦公式．20.已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．【答案】（1）（2）時(shí)，取到最大值3；時(shí)，取到最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的充要條件建立等式，即可求x的值．（2）根據(jù)求解求函數(shù)y＝f（x）解析式，化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．【詳解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時(shí)，即x＝0時(shí)f（x）max＝3；當(dāng)，即時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)用以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．21.為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚(yú)塘養(yǎng)魚(yú)供休閑垂釣.為安全起見(jiàn)，在魚(yú)塘△MNC周?chē)鹱o(hù)欄.已知，，，.（1）若時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（△MNC的周長(zhǎng)）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，魚(yú)塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？【答案】（1）；（2），最小值為.【解析】【分析】（1）由已知可得則有，在△ACM中應(yīng)用余弦定理求得，再分別求出，即可求護(hù)欄的長(zhǎng)度.（2）設(shè)，應(yīng)用正弦定理及三角形面積公式可得，再應(yīng)用和角正弦公式、二倍角正余弦及輔助角公式化簡(jiǎn)分母，最后由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值.【小問(wèn)1詳解】由，，，則，所以，，則，在△ACM中，由余弦定理得，則，所以，即，又，所以，則，綜上，護(hù)欄的長(zhǎng)度（△MNC的周長(zhǎng)）為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，在△BCN中，由，得，在△ACM中，由，得，所以，而，所以，僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值為，此時(shí)△CMN的面積取最小值為.22.法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這個(gè)三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.（1）求；（2）若，的面