江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)19-20學(xué)年九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷 (含答案解析)

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)19-20學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分）

1.已知a為銳角，且,mm—1()j沖，則a等于()

A.50°B,60°C.70°D,80°

2.已知|=1(a#0,bK0),下列變形錯(cuò)誤的是()

A.-=-B.2a=3bC.---D.3a=2b

b3a2

3.某路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒,黃燈亮5秒.當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇

到綠燈的概率是（）

AB.-D*

-14

4.如圖，若AABC與AaiBiG是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）

5.若將半徑為10c機(jī)的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

6.如圖，在。。中，直徑AB,弦CD,且ZB1CD于點(diǎn)E,CD=4,OE=1.5,則

o。的半徑是（）

A.2.5B.2C.2.4D.3

7.拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一部分如圖所示，那么拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（）

A.(—1,0)

8.如圖，己知ATIBC為等腰直角三角形，。為斜邊A8上任意一點(diǎn)，（不與

點(diǎn)A、8重合），連接CD作EC1DC,且EC=DC,連接AE,貝此E4C的度

數(shù)為（）

A.45°B.50°C.30°D.60°

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

9.拋物線y=2/+8x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

10.已知。。的半徑為3c",圓心。到直線/的距離是4c7”，則直線/與。。的位置關(guān)系是—.

11.小天想要計(jì)算一組數(shù)據(jù)92,90,94,86,99,85的方差器，在計(jì)算平均數(shù)的過程中，將這組數(shù)

據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都減去90,得到一組新數(shù)據(jù)2,0,4,-4,9,-5,記這組新數(shù)據(jù)的方差為統(tǒng)，

則登s式填“>”，“="或"<"）

12.已知：點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，AB=2,貝iL4C=.

13.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，8是念的中點(diǎn)，連接OC,若

乙ABC=2乙D,貝此BC。=__________度.

14.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長為4的正方形鐵絲框A8CL）變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形

（忽略鐵絲的粗細(xì)），則所得的扇形A3。的面積為.

DCC

15.已知三角形的三邊分別為6。"，8cm,10cm,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是

16.飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s=60t-1.5t2.

飛機(jī)著陸后滑行米才能停下來.

17.如圖，平面內(nèi)有16個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)小正方形的邊長為1,則圖中陰影部分的

面積為______

18.如圖，四邊形ABC。中，對(duì)角線AC和8。交于點(diǎn)O/40B=60°,

BD=AC=4,則四邊形ABCD的面積為.

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共8.0分）

19.（1）計(jì)算：（2014—遍）。+|——2s譏60。

（2）解方程：2久2-3x+l=0.

四、解答題(本大題共9小題，共72.0分)

20.已知關(guān)于x的方程式2+ax+a—2=0.

(1)若該方程的一個(gè)根是-|,求a的值及該方程的另一個(gè)根；

(2)求證：不論。取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

21.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在5天中，兩臺(tái)機(jī)床每天出次品的數(shù)量如下表,

甲10423

乙32122

請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)判斷，在這5天中，哪臺(tái)機(jī)床出次品的波動(dòng)較小？并說明理由.

22.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽.

(1)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中乙同學(xué)的概率;

(2)請(qǐng)用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

23.如圖，已知AaBC的邊BC=16,高AD=8,矩形EFGH的邊FG在△4BC的邊8c上，頂點(diǎn)E、

”分別在邊A8、AC上，且FG=6,求邊EF長.

24.某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本價(jià)為40元.經(jīng)市場調(diào)研，售價(jià)為50元/件，可銷售150件;

銷售單價(jià)每提高1元，銷售量將減少5件.如果商店將一批這種商品全部售完，盈利了1500元，

問：該商店銷售了這種商品多少件？每件售價(jià)多少元？

25.如圖一，AB為。。直徑，PB為。。切線，點(diǎn)C在。。上，弦AC〃OP.

(1)求證：PC為。。的切線.

(2)如圖二,0P交O。于，D4交BC于G,作DE14B于E,交2C于尸，若CG=3,DF=［，求AC

的長.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+2x+c與x軸交于4(一1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式；

(2)點(diǎn)。為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)、無軸上方一點(diǎn)，DElx軸于點(diǎn)E,DF〃2C交拋物線對(duì)稱軸于

點(diǎn)尸，求。E+DF的最大值；

(3)①在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)4尸，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？

若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；②點(diǎn)0在拋物線對(duì)稱軸上,

其縱坐標(biāo)為3請(qǐng)直接寫出△4CQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍.

備用圖

27.如圖，在矩形紙片ABC。中，已知AB=1,BC=V5，點(diǎn)E在邊C￡＞上移動(dòng)，連接AE,將多邊

形A8CE沿AE折疊，得到多邊形AB'C'E,點(diǎn)8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B',C.

(1)如圖1,當(dāng)B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，求線段CE的長；

(2)在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，求點(diǎn)C'移動(dòng)的路徑長.

圖1備用圖

28.如圖，己知拋物線y=a/+c與％軸交于^(一夜,。)，g兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,—1).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE1久軸，連接CE,若NCED+NOCD=90。，求

點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，在y軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)「使得AECF是以BC為斜

邊的等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，若不存在說明理由.

圖1圖2

-------答案與解析---------

1.答案：C

解析：

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)a為銳角，sin(a-l()o)=/,可求出a-10。=60。，繼而可求解.

解…出60。=爭

???a-10°=60°,

即a=70°.

故選C.

2.答案：B

解析：

本題主要考查了比例的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)進(jìn)行逐一分析判斷即

可.

解：由5=*可得3a=2b,

A由等式的性質(zhì)可得此選項(xiàng)為3a=2b,故此項(xiàng)正確；

8此選項(xiàng)為2a=3b,由等式的性質(zhì)可得此項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.由等式的性質(zhì)可得此選項(xiàng)為3a=26,故此項(xiàng)正確；

。此項(xiàng)正確.

故選反

3.答案：D

解析：

本題考查概率，掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

用綠燈亮的時(shí)間除以三種燈亮的總時(shí)間即可求出遇到綠燈的概率.

解：由題意，得該路口每輪紅燈、綠燈和黃燈亮的總時(shí)間為60秒，而綠燈亮的時(shí)間為25秒，故到

達(dá)該路口遇到綠燈的概率為第=.

6U12

故選D

4.答案：D

解析：解：如圖所示：位似中心的坐標(biāo)為

故選：D.

直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心即可.

此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

5.答案：A

解析：

本題考查了圓錐的計(jì)算.用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長等于底面周長.易得圓錐的母線長為10?！?

以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以27r即為圓錐的底面半徑.

解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為27rx10+2=IOTT(cm),

二圓錐的底面半徑為10兀+2兀=5(cm),

故選A.

6.答案：A

解析：解：連接?？冢?/p>

???直徑AB1弦CD于點(diǎn)E,且CD=4,

???DE—CD=2,

2

在Rt△ODE中，

OE2+DE2=OD2,

.-■1.52+22=OD2,解得。D=2.5.

故選A.

連接。。，DE="D=2,再根據(jù)勾股定理求出半徑的值即可.

本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

7.答案：B

解析：

本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)問題，注：拋物線與x軸的交點(diǎn)問題的兩個(gè)交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相

等，根據(jù)圖象可知拋物線的對(duì)稱軸為X=-?=-1,即可求得拋物線和X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

2a

解：拋物線y=ax2+2ax+a2+2的對(duì)稱軸為尤=-|^=-1,

???該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)到x=-1的距離為2,

拋物線y=ax2+2ax+a2+2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

故選反

8.答案：A

解析:

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).注意，在證明△4CE三△BCD時(shí),

一定要找準(zhǔn)相對(duì)應(yīng)的邊與角.

由等腰直角三角形ABC的兩腰相等的性質(zhì)推知4C=CB,再根據(jù)已知條件“NACB=Z.DCE=90?！?/p>

求得NACE=90°-AACD=乙DCB,然后再加上已知條件DC=EC,可以根據(jù)全等三角形的判定定

理SAS判定ANCE三△BCD；最后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)證明結(jié)論即可.

解：???△4BC是等腰直角三角形，乙4cB=90。,

AC=CB.

???乙4cB=4DCE=90°,

???/.ACE=90°-乙ACD=乙DCB.

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

Z-ACE=乙BCD,

EC=DC

：.^ACE=^BCD(SAS).

■■NB=NR4C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).

ZB=45°,

???/-EAC=45°.

故選：A.

9.答案：(-2,-3)

解析：解：y=2久2+8久+5=2(久+2)2-3,

???該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3),

故答案為：(—2,—3).

將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解答本題.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

10.答案：相離

解析：

此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題

根據(jù)圓心。到直線/的距離大于半徑即可判定直線/與o。的位置關(guān)系為相離.

解：「圓心。到直線/的距離是4c〃z,大于。。的半徑3cm,

???直線/與。。相離.

故答案為相離.

11.答案：=

解析:

本題考查方差性質(zhì)，基礎(chǔ)題

根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變，即方差不

變，即可得出答案.

解：根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變，即方

差不變

...則S：=S^.

故答案為=.

12.答案：V5—1或3—V5

解析：

本題考查的是黃金分割的概念，掌握黃金比值是生、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

2

分2C>BC、AC<BC兩種情況，根據(jù)黃金比值計(jì)算即可.

解：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

當(dāng)AC>BC時(shí)，AC=—=V5-1>

2

當(dāng)AC<BC時(shí)，AC=AB--XS=3—近，

2

故答案為：曲―1或3—

13.答案：60

解析：

本題主要考查了圓周角定理，園內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題.先

根據(jù)條件求出4。的值，由圓心角和圓周角所對(duì)的弧相等，得到乙4OC,又因?yàn)椤?=。。，8是命的

中點(diǎn)，所以2B=BC,乙BCO=LBAO,從而得到答案.

解：因?yàn)樗倪呅蜛BC。是。。的內(nèi)接四邊形，

所以乙48c+ND=180°,

因?yàn)镹ABC=2ND,

所以2ND+ND=180°,

解得ND=60°,

所以乙4。。=2ND=120°,

在四邊形ABC。中，N04B+NOCB=360°-AAOC-^ABC=120°,

又因?yàn)椤?=OC,8是藍(lán)的中點(diǎn)，

所以AB=BC,

所以NBC。=ABAO=60°,

故答案為60.

14.答案：16

解析：

本題考查扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是記住扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是爐，圓的半徑為R的

扇形面積為S,則S扇形=需或S扇龐=?R（其中/為扇形的弧長），求出命的弧長/=CD+BC=8是

解題的關(guān)鍵.先求出劭的弧長l=CD+BC,再根據(jù)扇形面積公式：S=“R（其中/為扇形的弧長,

R是扇形的半徑）計(jì)算即可.

解：由題意曲的弧長1=CD+BC=4+4=8,

S嫁影的="SB=[X8X4=16,

故答案為16.

15.答案:2cm

解析：解：連接小、IB、IC,/卜

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為廣，

vAC2+BC2=36+64=100,AB2=100,\\

AC2+BC2=AB2,

.?.△HBC為直角三角形，C區(qū)＞2^5

貝壯xACxBC=工xACxr+工xBCxr+工x28xr,

2222

即3x6x8=3xrx（6+8+10）,

解得，r=2,

故答案為：2cm.

連接￡4、IB、IC,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形,

根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握三角形的面積公式，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.答案：600

解析:

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

根據(jù)題意可以將s=60t-1.5t2化為頂點(diǎn)式，飛機(jī)滑行的最遠(yuǎn)距離也就是S取得的最大值，本題得以

解決.

22

解：s=60t-1,5t=-1.5(t-40t)=-20)2+600)

.,.當(dāng)t=20時(shí)，s取得最大值，此時(shí)s=600,

即飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來.

故答案為：600.

17.答案:||

解析：

可運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出GF、MN,從而求出OROM,進(jìn)而可求出陰影部分的面積.

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式，求得△OFM的面積是解決本題的關(guān)

鍵.

解：如圖，

GF//HC,

*'?△AGF5△AHC，

GF_AG_1

HC~AH~29

13

???GF=-HC=

22

31

：.0F=0G-GF=2--=-.

22

21

同理MN=I，則有。M=j.

c1111

5An/7A4=-X—X—=—,

22312

c.111

???s陰影=\一逐=F.

故答案為：號(hào).

18.答案：4V3

解析:

此題主要考查了三角形的面積.四邊形ABCD可分為三角形A3。和三角形C2。之和，過點(diǎn)A作

AE工BD交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF1BD交8。于點(diǎn)F,再根據(jù)n40B=60。，BD=AC=4,求得

AE,C尸的長，即可求出三角形A3。和三角形C8。的面積，也就求得四邊形A8C。的面積.

解：過點(diǎn)A作4E1BD交8。于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF1BD交8。于點(diǎn)R

???乙AOB=60°,

???AE=/。4CF=yOC,XC=OA+OC,

???S-BD=坪。?AE=之X4X亨。A=曲OA,SACBD=-CF=|X4x^OC=百。C,

???四邊形ABCD的面積=SMBD+SACBD=V3OX+V30C=何IC=遮x4=4A/3.

故答案為4W.

19.答案：解：(1)(2014-V6)°+|-V12|-2sin60°

=1+2遮一2x?

=1+2V3-V3

=1+V3；

(2)2/-3%+1=0

(2久-1)(%-1)=0

???2x—1—0或%—1=0,

解得，久1=0.5,%2=1.

解析：本題考查解一元二次方程、零指數(shù)幕、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明

確它們各自的計(jì)算方法.

(1)根據(jù)零指數(shù)事、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題；

(2)根據(jù)因式分解法可以解答此方程.

20.答案：解：(1)?.?將汽=一|代入方程，

―~ci+ci—2=0,

1

???a=-,

2

設(shè)另外一個(gè)根為X,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知：一|+"=-a，

X-1,即另一個(gè)根為1；

(2)由題意可知：/=—4(a—2)=(a—2)2+4>0,

???不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解析：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式，

屬于基礎(chǔ)題.

(1)將％=-|代入方程，可求出。的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出另外一根；

(2)根據(jù)判別式即可求出答案.

21.答案：解：乙機(jī)床出次品的波動(dòng)較小，

--1+0+4+2+3c--3+2+1+2+2o

?X甲-5一乙、/乙一5一乙,

|x[(1-2)2+(0-2)2+(4—2)2+(2—2)2+(3—2)2]=

=|X[(3-2)2+3x(2-2)2+(1-2月=

由端〉S/口，乙機(jī)床出次品的波動(dòng)較小.

解析：根據(jù)方差的意義：反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.

本題考查了平均數(shù)和方差，一般地設(shè)〃個(gè)數(shù)據(jù)，久「久2,…%的平均數(shù)為元，則方差S2=；[(/—君2+

22

(x2-x)+-+(xn-x)],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.

22.答案：解：(1)、?共有乙、丙、丁三位同學(xué)，恰好選中乙同學(xué)的只有一種情況，

???P(恰好選中乙同學(xué))=：；

(2)畫樹狀圖得：

開始

A\A\/K

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

???所有出現(xiàn)的等可能性結(jié)果共有12種，其中滿足條件的結(jié)果有2種.

???P(恰好選中甲、乙兩位同學(xué))=士

O

解析：此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概

率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

(1)由題意可得共有乙、丙、丁三位同學(xué)，恰好選中乙同學(xué)的只有一種情況，則可利用概率公式求解

即可求得答案；

(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的情

況，再利用概率公式求解即可求得答案.

23.答案：解：設(shè)AD與EH相交于點(diǎn)P,

???四邊形跖G/1是矩形，

EH//FGS.EH=FG=6,

???△AEH^AABC,

AD1BC,

AP1EH,

AP_EF

AD~BC9

設(shè)EF=%,貝（Jp。=EF=x,

vAD=8,AP=8—x,BC=16,

.8-x_6

,,一，

816

x-5,

??.EF=5.

解析：根據(jù)矩形性質(zhì)得出EH〃FG,EF=PD,EH=FG=6,得出根據(jù)相似三角

形高之比等于相似比，得出關(guān)系式，代入求出即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，注意：矩形的對(duì)邊平行且相等，相似三角形的

對(duì)應(yīng)高之比對(duì)應(yīng)相似比.

24.答案：解：設(shè)每件售價(jià)為尤元，則可售出這種商品［150-5。-50)］件，

根據(jù)題意得：(x-40)［150-5(%-50)］=1500,

整理得：x2-120x+3500=0,

解得：久1=50,x2—70,

當(dāng)x=50時(shí)，150-5(久一50)=150；

當(dāng)x=70時(shí)，150-5(x-50)=50.

答：每件售價(jià)為50元時(shí)，銷售這種商品150件；每件售價(jià)為70元時(shí)，銷售這種商品50件.

解析：設(shè)每件售價(jià)為x元，則可售出這種商品［150-5。-50)］件，根據(jù)總利潤=每件的利潤又銷售

數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

25.答案：(1)證明：連OC,如圖，

???AC//OP,

???Z-BOP=Z-OAC,Z.POC=Z.OCA,

vOA=OC,即4。。4=乙。4。，

???(BOP=乙POC,

在APOB與中，

OB=0C

乙BOP=(POC,

OP=0P

???△尸。8三△POC(SZS),

???乙PBO=乙PCO,

而尸3為。。的切線，

??.Z.OBP=90°,

???乙PCO=90°,

??.PC為。。的切線；

(2)解:連3D,

???28為。。的直徑，

???乙ADB=90°,

而。E1AB,

Z.BDE=Z-BAD,

由(1)得尸=乙COP,

???乙BAD=乙DBF,

???乙DBG=乙BDF,

???乙DBG+乙DGF=90°,乙BDF+乙GDF=90°,

???Z.FGD=Z.FDG,

???BF=DF=FG=

2

???AADE+ADAE=AAGF+^CAG=Z.CAG+乙DGF=90°,

Z.ADE=Z-DGF,

??.DF=GF,

BC=-+-+3=8,

22

???OC=OB,PC=PB,

???OP垂直平分線段BC,

i

???BH=-BC=4,

2

在Rt△BOH與Rt△DOE中，

(/.DOB=乙DOB

<OB=OD,

l乙BHO=乙DEO

???Rt△BOH=Rt△DOE(ASA),

.?.DE=BH=4.

3

??.EF=DE-DF=

2

在RtABE產(chǎn)中，BE=VBF2-EF2=2，

設(shè)。。半徑為r,在中，r2=42+(r-2)2.

???r=5.

AB=10,

???XC=yjAB2-BC2=6.

解析：(1)連OC,由2C//0P,得至！UBOP=^OAC,乙POC=^OCA,貝(JNBOP=乙POC,可得

APOB=APOC,得至IJ/PB。=NPC。，而PB為G)。的切線，得NO8P=90。，所以NPC。=90°,根

據(jù)切線的判定即可得到PC為。。的切線；

(2)連3D,由AB為G)。的直徑，得4ADB=90。,而。E148,則NBDE=NB4D,所以NBDE=ABAD,

從而易得到ND8G=ABDF,有BF=DF=FG=~,BC=8,得到BH=|fiC=8.易證RtA

BOH王Rt4DOE,得DE=BH=8,貝！JEF=DE-DF=8—5=3,在RtABEF中，利用勾股定理

可求得BE=4,在DOE中，利用勾股定理即可得到O。的半徑于是得到直徑，根據(jù)勾股定理得

到AC,于是得到結(jié)論.

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理,正確的作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

26.答案：解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(光—3),即

y=ax2—2ax—3a,

-2a=2,解得a=-1,

;拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)當(dāng)尤=0時(shí),y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),

設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,把4(一1,0),C(0,3)代入得

”。,解得口，圖1

???直線AC的解析式為y=3x+3,

如圖1,過。作。G垂直拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G,設(shè)。(x,—/+2x+3),

???DF//AC,

：.Z.DFG=^ACO,易知拋物線對(duì)稱軸為x=1,

DG^x-1,DF=V10(x-l),

DE+DF——x2+2久+3+V10(x-1)=—x2+(2+V10)x+3—

同=_Q_竽)2+葭，

???-1<0,

.??當(dāng)％=小生，DE+D尸有最大值為受；

22

(3)①存在；

如圖2,過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于點(diǎn)心，?直線AC的解析式為y=3x+3,

?,?直線P1C的解析式可設(shè)為y=-1%+優(yōu)，把C（0,3）代入得租=3,

2

1（V=—%+2%+3（y=（\（X7

?,.直線PiC的解析式為y=-：％+3,解方程組［=_工］+3，解得｛；二；或J3

20

9

則此時(shí)七點(diǎn)坐標(biāo)為q,§）；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為《，拳）或（￡,-￡）；

②如圖3,拋物線、=一/+2刀+3對(duì)稱軸為直線久=1,過點(diǎn)C作CQi14C交對(duì)稱軸于Qi，過點(diǎn)A

作力Q2交對(duì)稱軸于<?2，

???X（-1,O）,C（0,3）,

?,?直線AC解析式為y=3%+3,

???“11AC

直線CQi解析式為y=-［久+3,令x=l,得丫=一［義1+3=：

??.Q1（1卷）；

AQ21AC

二直線4<?2解析式為y回一gx-1，令x=1，得丫=一］*1一］=一|

???^AQC=90°時(shí)，AQ2+CQ2=AC2

2222

（-1-1）2+1+（1-o）+（t-3）=（VT0）,解得：ti=1,t2=2,

.??當(dāng)1<t<2時(shí)，AAQC>90°,

???△4CQ為銳角三角形，點(diǎn)Q（l,t）必須在線段Q&2上（不含端點(diǎn)Qi、Q2），

2....8

*,*—<t<1或2<t<一.

33

解析：本題是一道有關(guān)二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)最值應(yīng)

用、直角三角形判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等，是比較經(jīng)典的中考數(shù)學(xué)壓軸題，解題關(guān)

鍵應(yīng)用兩直線垂直時(shí)，其解析式中一次項(xiàng)系數(shù)乘積等于-L

(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),即y=a/-2ax-3a,由-2a=2,求得a,即可得到

拋物線解析式；

(2)待定系數(shù)法求直線AC的解析式，過。作。G垂直拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G,設(shè)DQ,-/+2x+3),

可得DE+DF-x2+2x+3+V10(x-1)=-x2+(2+V10)x+3-V10=-(x-+蔡，

即可求得DE+。尸有最大值；

(3)①根據(jù)“以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形”，可得4c1CP于C或

AC14P于A,再由待定系數(shù)法求得直線CP和直線