考研數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題集

數(shù)

考研數(shù)學(xué)經(jīng)典

習(xí)題集

數(shù)學(xué)

目錄

習(xí)?部分3

高數(shù)部分.一

第一章函敷、極限與連蝮.一

第二章一元函數(shù)微分學(xué)------

第三章微分中值定理----------------------------------------------------------------------12

第四章一元函數(shù)枳分學(xué)---------------------------------------------------------------------15

第五章向最代數(shù)和空間解析幾何（數(shù)一）--------------------------------------------------19

第六章多元函數(shù)微分學(xué)-------------------------------------------------------------------20

——■］分?3??????????????一??—????―???????????????????????????????????????—???????????—??——??一?—???????—??—??????——??—?—24

第八章多元函數(shù)積分學(xué)（數(shù)學(xué)一）---------------------------------------------------------26

第九章微分方程28

第I一章”?—?—????????”，30

線代部分-34

第一章行列式34

第二章矩陣36

第三章向*與線性方程姐------------------------------------------------------------------38

第四章特征值與特征向最

第五章二次型

假率部分48

第一章隨機(jī)交*與低率

第二章一罐隨機(jī)變量及其分布--------

第三章多■■機(jī)交信及其分布-------------------------------------------------------------53

第四章數(shù)字特征---------------------------------------------------------------------------57

第五章大定與中^Sk定59

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)------__________________________59

解析部分_62

高敷部分62

第一章函敷、極限與跡候------------------------------------------------------------------62

第二章一元函數(shù)微分學(xué)77

第三章微分中值定理-----96

第四章一元函數(shù)積分學(xué)-------------------------------------------------------------108

第五章向量代數(shù)和空間解析幾何-----------------------------------------------------131

第六章多元函數(shù)微分學(xué)------------------------------------------------------------134

第七章

第八章多元函數(shù)積分學(xué)（教學(xué)一）

第九章,分方程170

十章fll9L.180

線代部分>?????????189

第一章??????????????189

第二章.194

第三章向量與線性方程組-----203

第四章特征值與特征向量--------221

第五官二次型

第一章隨機(jī)變量與概率-----247

第二章一位IB機(jī)交■及其分布>??????????252

第三章多健I■機(jī)交汽及其分布?

第四章數(shù)字特征??????27s

第五章大致定律與中心極限定理一282

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)

習(xí)題部分

高數(shù)部分

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

1、設(shè)/(力=卜,則，(r)等于()

x+x,x>0

-x3,xS0(B)/(rd

(A)/(-x)=<

-(x2+x),x>0

?-x-xNO

x\x^Ox2-x,x<0

(C)/(-x)=<(D)/(T)=<

x2-x,x>0

2-x,xMO,x2,x<0,

2、設(shè)g(x)=,/(x)=則g[/(x)]=<

x+2,x>0,-x,x20.

2+x\x<0,2-Vx<0,

x-2,x20.2+x,xNO,

2-x\x<0,2+x\x<0.

(C)(D)

2-x,x20,2+x,x20,

3、/(x)是再是數(shù)軸上有定義且以席為周期的奇函數(shù),且

/(x)=sinx-cosx+2?0<x<y,則當(dāng)時(shí)，/(x)=

4、設(shè)函數(shù)/(x)=e而,gOOux20叱幽x)=ln刈'x,剜當(dāng)x充分大時(shí)，以下結(jié)論正確的是

()

<A)/(x)<g(x)<h(x)(B)/(x)<Mx)<g(x)

(C)/(x)>g(x)>A(x)<D)g(x)</(x)</r(x)

5、設(shè)函數(shù)/(x)有定義，則下列/(x)中為有界函數(shù)的是()

3

(A)2/(x)+/(l-x)=x2(B)/(x)=nm-^

(C)/(x)r8sx(D)|J*，/(r)df=lnx

2x-Lx>0

6、設(shè)/(x)=0,x=0,則lim/(x)為()

1+x,x<0

(A)不存在(B)-1(C)0(D)1

7、設(shè)數(shù)列x.與兒滿足lim。乂=0,剜下列斷言正確的是()

?MO

(A)若《發(fā)散，則”必發(fā)散

<B)若兀無界，則”必有界

(C)若《有界，則”必為無窮小

(D)若［為無窮小,則人必為無窮小

8、若麗信吧苧310.1Mlim出位1為()

1(X5)IX2

(A)0(B)6(C)36<D>?>

9、XT。時(shí)，(l-8sx)ki(l+x2)是比xsinx"高階的無窮小，而xsinx”是比J-1高

階的無窮小，則正整數(shù)〃等于

(A)1(B)2(C)3(D)/

10、把XTO?時(shí)的無窮小ifta=j；cosf2d/,p=，tan〃d/,y=。sin?df排列起來，使排

在后面的是前一個(gè)的高階無窮小量，則正確的排列眼序是《)

(A)a，B,y(B)a,y,。(C)ft.a.y(D)0,y,a

(ex-ljsin(x-l)arctan-

IK函數(shù)/(x)=一后二而歷1的值域是(

(A)(-1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

i

12、求lim(〃!)/

4

13、設(shè)!皿/a)=c,求!叩(x+i)-/(x-i)].

14、計(jì)算''dx,

0f?oJR

ln(e*+xw)

15、設(shè)/(x)=lim--------------^(x>0),求/(x).

?"MBfl

x，+l

V+3

XXX

17、limcos-cos-----cos一

-24T

18、limlnJ(l+-)2(l+-)2-(l+-)2等于<

*-**Xnn

(A)j*ln2xdx<B)2^\nxdx(C)2,ln(l+x城(D)12ln2(l+x)A

求極限lim(尸-l)1.

..Jcosx-/

20、hm--------------

iarcsinV

-ln(l+x))(arctanx+cosx)

..Jl+tanx-Jl+sinx

22、lim

*7xlnQ+x)-，

-cosx)[x-lD(l+tanx)]

23、hm—

sin、

W+l-J1+x，

24、2

(8sx-e，jsinx2

2

25、^ln(l+3x)-3?

..Jx2+3x

26、hm/=

1勿-2?

27、設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，且/(0)/0,求極限Hm弋----------

7W(x-M

5

28、設(shè)函數(shù)/(x)=x+aln(l+x)+fcrsinx,g(x)=i?,若/(x)與g(x)當(dāng)x-0時(shí)為等

價(jià)無窮小，求的值.

29、設(shè)玉>0,j=l-e-',〃=L2^??

(1)證明數(shù)列｛0｝收斂,并求其極限：

XX

(2)求極限lim"-1

30、設(shè)數(shù)列｛xj由下式給出

玉=5，Xz=x+。，5=12??)?

4

試求limI'一」+—?—+???+———

1(玉+1/+10+1

31、曲線y=g+ln(l+e‘)的漸近線的條數(shù)為(

(A)0(B)1(C)2(D)3

32、曲線arctan上上L的漸近線有《)

(x-IXx+2)

(A)1條(B)2條9)3條(D)4條

33、下列結(jié)論中正確的是()

(A)若|/(幻|在工=。點(diǎn)處連續(xù)，則/(X)在x=a點(diǎn)處也必連續(xù)：

(B)若/lx)在x=。點(diǎn)處連續(xù)，則/(外在x=a點(diǎn)處也必連續(xù),

(C)若:二在工=。點(diǎn)處連續(xù)，JN/(x)在x=a點(diǎn)處也必連續(xù)：

/(x)

(D)若/(x)在x=a點(diǎn)處連續(xù).則」一在x=。點(diǎn)處也必連續(xù).

/(x)

34、函數(shù)/(幻=:上的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，()

sin^x

(A)1<B)2(C)3(D)無窮多個(gè)

35.Stt/(x)=的無窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為《

6

(A)0(B)1(C)2(D)3

36、設(shè)/(x)在(YO,+8)內(nèi)有定義，且￥巴/(幻=。，g(x)=?/(J'則()

0,x=0

(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn)

<B)玄=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)

(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn)

(D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與。的取值有關(guān)

37、問。力為何值時(shí)，函數(shù)

"COSflX

,x<0

ln(l+sin22x)

/(x)=d,x=0

btanx+fsin(x-/)dr

----------%--------------?x>0

x

在點(diǎn)x=0處是連續(xù)的.

38、補(bǔ)充定義/(0)使得函數(shù)/(x)=(1+mx)*風(fēng)〃>0)在x=0處連續(xù).

以m焉一三?“朋?試補(bǔ)充定義曲使巾)在團(tuán)上連續(xù)?

xarctan-----

40、討論函數(shù)/(x)=---------七』的連續(xù)性并指出間斷點(diǎn)類型.

X

sin-x

2

?

41、求極限lin(吧記此極限為/(x),求函數(shù)/(幻的間斷點(diǎn)并指出類型.

f(sinxj

42、設(shè)A>0,/(x)=lnx-：+A在(0,2)內(nèi)考點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

(A)3(B)2(C)I(D)0

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

1、設(shè)/(切=3/+/兇，則使/”0)存在的最高階數(shù)〃為()

7

(A)0(B)1(C)2(D)3

l-cosx八

----T*—，X>0

Vx,其中g(shù)(x)是有界的數(shù)，則/(x)在x=0處K)

(Jg(x),x40

(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D>可導(dǎo)

3、若函數(shù)y=/(x)有r(xo)=1,則當(dāng)位一?0時(shí),該函數(shù)在刀=。處的微分小是()

&

(A)與Ar等價(jià)的無窮小(B)與Ar同階的無窮小

(C)比Ax低階的無窮小(D)比Ax高階的無窮小

4、設(shè)/(外在x=0的領(lǐng)域內(nèi)有定義./(0)=1,且lim小衛(wèi)/3=0,則/(x)在

i°x

x=0ft()|

(A)可導(dǎo)，且/<(0)=0(B)可導(dǎo)，且/'(0)=-1；

(C)可導(dǎo)，且/'(0)=2(D>不可導(dǎo)

5、設(shè)/(0)=0,則/(x)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為()|

(A)lim1T/(”8sh)存在(B)lira；；/。-/)存在

***0nAHh

(C)limJ/S-sinh)存在(D)1層[/(2%)一/(切存在

*-0h,ah

6、設(shè)/(x)在XH。處連續(xù)，F(xiàn)(x)=/(x)|x-a|?M/(。)=0是F(x)在x=o處可導(dǎo)的

<A)充要條件(B)充分非必要條件

(C)必要非充分條件(D)都不是

7、已知/(3)=2.則lim絲必)二型=______一

J?2h

8、設(shè)/(x)=lim板訐,則/(x)在(YO,XO)內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

9、設(shè)/(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且/(0)=0,1%g]=2.求

⑴/(0);

8

(2)

ix2

10、設(shè)/a)=lim—--—,求/(x)并討論/(外的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

…，、x2arctan-,"0々、一々，八

11、設(shè)P(x)=x',/(x)處處可導(dǎo).求/?(x))的導(dǎo)數(shù).

0,x=0

12、設(shè)/(x)=x(x+l)(x+2〉?.(x+〃).則/'(0)=__

13、設(shè)/(0)=1,/(0)=0,求證：在x=0處，有與/(/)=2.

14.設(shè)函數(shù)=受之，=/(/(幻)，求孚|-_____.

】5、設(shè)是由方程必"確定的除函數(shù)，則%=—

dx

限設(shè)函數(shù)/(x)=J：J17小，則＞=/(幻的反函數(shù)x=廣,U)在》=0處的導(dǎo)數(shù)

不Iz"------?

17、設(shè)函數(shù)=由，其中/(工)是連續(xù)函數(shù)，且/(0)=2,求/(x).

18、設(shè)/(“)在(70,48)內(nèi)連續(xù)且大于0,

x#0

g(x)=￡7(/)d/

0.x=0

⑴求gg

(2)證明：g'(x)在(Yo,y)內(nèi)連續(xù).

19、設(shè)/(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)致,且/(。)=0?財(cái)函數(shù)

/(幻…

g(x)=^sin(x-a)在”=。處()

79),x=。

9

(A)不連續(xù)

(B)連續(xù)，但g'(a)不存在

(C)g'(a)存在，但g'(x)在x=。處不連續(xù)

(D)g'(x)在x=。處連續(xù)

A"則察

20、設(shè)

y=cosf,ax

21、已知函數(shù)/(外具有任意階導(dǎo)數(shù)，且/Xx)=[/(x)F，則當(dāng)〃為大于2的正整數(shù)時(shí).

/(外的〃階導(dǎo)數(shù)是《)

(A)〃![/(切7(B)n(/(x)r'(C)[/(x)/(D)〃![/(幻產(chǎn)

I

22、/(x)=sinxsin3xsin5x,H/<4)(0)=.

，小

23、設(shè)/(切=介,求〃)(0)(〃>1).?

24、設(shè)丁usin'x+cos’x.求

25、設(shè)/(x)=x'sinxcosx,求/<20O7)(0).

26、設(shè)y=arctanx,求y'")(0).

27、tt/(x)=(x-l)se\求

irfr

28、曲線L的極坐標(biāo)方程是〃=6,則L在點(diǎn)",。)=(不，7)處的切線的直角坐標(biāo)方程是

x=arctan,

29、曲線，上對應(yīng)于，=1的點(diǎn)處的法線方程為

y=lnJl."

30,設(shè)函數(shù)/(外在［0,上連續(xù)，在(0,。)內(nèi)二階可導(dǎo).且/(0)=0,/"(幻<0?則號

在(0,。［上<)

(A)單調(diào)增加(B)單調(diào)ME少

(C)恒等于零(D)非單調(diào)函數(shù)；

3】、設(shè)/(x)在［a向上可導(dǎo),/'(x)+［/(X)］2-1=0,且J：/⑺4=0,則1f(t)dt

10

在（Q,b）內(nèi)必定（）

（A）恒為正（B）恒為負(fù)（C）恒為零（D）變號

32、設(shè)/（x）有二階連續(xù)導(dǎo)致，/（0）=0,［加4^=1,K（）.

—M

（A）/（0）是/（x）的極大值.

（B）/（O）是/（“）的極小值.

（C）（0,/（。））是曲線y=/（x）的拐點(diǎn).

（D）/（O）不是/（X）的極值.（O,/（O））也不是曲線y=/（x）的拐點(diǎn).

33、設(shè)函數(shù)/（外在（YO,XO）內(nèi)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù)/?（x）的圖形如右圖所示，則曲線

y=/（x）的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

（A）0（B）1

（C）2（D）3

乂、《數(shù)一、敷二）設(shè)函數(shù)WQW=L2）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且＜（勺）＜0（/=1,2）,若兩

條曲線y=/（幻。=1,2）在點(diǎn)（/,”）處具有公切線y=g（x）,且在該點(diǎn)處曲線y=/；（x）

的曲率大于曲線丁=右（幻的曲率,則在％的某個(gè)鄰域內(nèi)，有（）

（A）工（皿（幻4（無）（B），（的（幻卬幻

（C）工（3（板。）＜D）〃幻q（x）?a）

35、（數(shù)一、數(shù)二）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線＞=P上運(yùn)動，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P之間的距離為/,

若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)對時(shí)間的變化率為常數(shù)%,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（1,1）時(shí)，/對時(shí)間的變化率

36、設(shè)函數(shù)/（外在［0J上二階可導(dǎo)，且，/（幻蛋=0,則（）

Z1\

H-|<o

(A)當(dāng)/(x)<0時(shí),K27（B）當(dāng)，（x）＜0時(shí).

/1X

H--<O

(C)當(dāng)/'(x)>0時(shí),X27（D）當(dāng)/。）＞0時(shí),

11

37、y=/(x)在(0,+oo)上可導(dǎo).且/'(x)>0,令尸(x)=￡尊dr,求

尸(X)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間.

38、已知函數(shù)/(x)=［jnAdr+J：JT77d，，求/(幻零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

39、曲線￥的切線與無軸和y軸囹成一個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。.試求切線方程

和這個(gè)圖形的面枳.當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，讀面枳的變化趨勢如何？

40、設(shè)04x<色，證明不等式2sinx+tanxN3x.

2

J

41、己知方程L!——在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實(shí)根，確定常數(shù)A的取值范圍.

ln(l+x)x

42外”4112

、?0<x<-證明：-y<-y--------j-<T.

2tx2tan2x3

43

、(數(shù)一、數(shù)二)溶液自深為18cm、上端圓的■徑為12cm的正版錐形漏斗中，漏入一

直徑為10cm的［3柱形筒中,開始時(shí)漏斗中盛滿了溶液，已知當(dāng)溶液在漏斗中深為12cm

時(shí)，其液面下降的速率為Icm/min.向此時(shí)圈柱形筒中的液面上升速率是多少？

44、(數(shù)三)設(shè)生產(chǎn)某商品的固定成本為60000元，可受成本為20元/件,價(jià)格函數(shù)為

「二60-照《P是單價(jià)，單位?元，。是輛俄?單位：件)，已知產(chǎn)銅平衡，求：

IUIAJ

(I)該商品的邊際利洞；

(2)當(dāng)，=50時(shí)的邊際利潤，并解對其經(jīng)濟(jì)意義?

<3)使利潤*大的定價(jià)P.

第三章微分中值定理

1、函數(shù)〃外在［1,2］上有二階導(dǎo)此/(2)=0,F(X)=(X-1)2/W,則尸?(勸在(1,2)上

(A)沒有零點(diǎn)(B)至少有一個(gè)零點(diǎn)

12

(C)有兩個(gè)零點(diǎn)(D)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

2、設(shè)函數(shù)7=/(x)在(0,e)內(nèi)有界且可導(dǎo).M()

(A)當(dāng)lim/(x)=O時(shí)，必有l(wèi)im/(x)=O

<B)當(dāng)lim/(x)存在時(shí)，0有l(wèi)im/(x)=0

?,???

(C)當(dāng)lim/(x)=O時(shí)，必有l(wèi)im/(x)=O

▲TQ.*T<>?

(D)當(dāng)lim/(x)存在時(shí)，必有l(wèi)im/(x)=O

>-?0*jr-fO,

3、設(shè)/(x)在S，與上連續(xù)，/(x)在(a,6)內(nèi)二階可導(dǎo),/(a)=/(b)=0J：/(x)dr=0,

求證，(1)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)《，使得/'(⑤=/(§,

(2)在(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)〃，使得/(力=/(〃).

4、設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且/(I)〉。,［映華<0,證明?

(1)方程/(幻=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根,

(2)方程/(幻/(幻+(/。)>=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根.

5、設(shè)/(x)在區(qū)間［°，1］上連埃，在(°，】)內(nèi)可導(dǎo)，且Jj/marctanxdr=；，/⑴=0,證

孫至少存在一點(diǎn)w(0,D,使

(l+^)(arctang)/C)=T.

6、設(shè)/(外在［。，句上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且有/(。)=4，/(幻&=；(/-/).

求證，在(。，與內(nèi)至少有一點(diǎn)4,使得

/(G=/(GY+1?

7、設(shè)/(幻,g(x)在9,6］連嫉，在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，且g(a)=g(b)=l,/(x)w。.證明存在

或97?g,b)，使

器"小用+—初

8、設(shè)函數(shù)/。)在［0,2］上二階可導(dǎo)，且|/a)|Q,|/“(x)|(l,xw［0,_2］,證明：對一切

13

X€［0,2］.有

9、設(shè)/(幻在［。,與(。>0)上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可易，且/(a)=/(b)=1,證明：存在

々〃w(a,b)使

圖工/⑹+/力

I

10、設(shè)/00在［0,1］上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，/(0)=0,/(1)=1,試證，對任意正數(shù)。,6,

在(0/)內(nèi)一定存在互不相同的或〃，使得

——十-^—=c+b?

/(?/⑺

11、設(shè)函數(shù)/(X)在［一Z2］上二階可導(dǎo)，且|/(小1,又八OHl/C。)］2**

試證I在(-Z2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)《，使相

/(>/"=0.'

12、設(shè)/(幻在(-1,1)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且廣。)二0,江明，

(I)對任意的x€(-l,l),x=0,存在惟一的6(X)W(0,1),使得

/(月=/(0)+^軟次)

成立：

(2)lim/x)=一.

…2

I?1

13、設(shè)"1'〃為正整數(shù)，證明，門

(〃+1尸Inan2

14、證明：xln-J-^+cosx^l+^(—!<x<l).

1-x2

15、已知"幻二階可導(dǎo)，且/(x)>0,/(x)/7x)-［/(x)了X)(xwR).

(1)證明/6)/(2)專q(Xp』wRL

(2)若八°)「證明/(加/MQWR).

16、設(shè)￡(X)nl-(l-COSX)*求證:

<1)對任意自然數(shù)%工。)=；在(0,/J中僅有一根：

(2)設(shè)有滿足《(幻=:，則limx.=1.

\2J2?-??2

17、設(shè)/(x)在(-8,+8)上有界，且存在二階導(dǎo)數(shù)，試證明：至少存在一點(diǎn)4w(e,xo)便

人>0,

18、設(shè)/(X)在［0,，］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且((0)=0,證明，存在媒宿0W(O,/).

使得八2=、〃sin“八⑼

19、設(shè)/(x)在【。刀上三階可導(dǎo)，/(0)=0,/。)="'(；)=0，

求正話w(()/)?使|/?(打224

20、設(shè)/(Q在［。,川上存在一階導(dǎo)敷，且Lfa)|4A/,f/(x)dr-0,證明：當(dāng)xw［明句

時(shí).

第四章一元函數(shù)積分學(xué)

I、已知函數(shù)/(x)={m：：?；<i剜/(X)的一個(gè)原函數(shù)是().

X-1)，，X<1

(A)F(X)=B

[x(lnx-l),x^1

、~\f(x-l)2,x<l

(B)F(x)=f1

x(lnx+l)-l,x^l

(C)尸

x(lnx+l)+l,xN1

15

(X-1)2,X<1

(D)F(x)=

x(lnx-l)+l,x>l

2、計(jì)算不定積分/瑞土

3、計(jì)算不定積分Je'arctan1idr.

4、計(jì)算不定枳分Jln(l+，pMr。>0).

tn2x2

5、計(jì)作不定積分券』dx

6、計(jì)算不定積分

7、計(jì)算不定枳分J；一"二1&

(1+辦

8、設(shè)/(5由2刀+2)=48/“+3￡311?雙04X41),求/(x).

9、求(arcsin&&r.

10、求(Qx+lWlr-x2么.

Y+l,

"、求匕---二?也

(八1).

12、求Jdx

(x+l)JVx2+2x4-2,

rdx

13求)sinxji+8sx

凡求J旦哼應(yīng)

15、設(shè)/(x)=J^j^Zx*+^^(x>0).求J/(x)dx.

16、設(shè)常數(shù)a>0,枳分筆./=。山;去，則

J。1+x*2J。1+/

16

(A)IX>I2(B)<Z2

(C)/,=/2(D)L，人大小關(guān)系與a的取值有關(guān)

17、設(shè)A/=E^^<k,N=J：^dx,K=E(l+V^)dx，則()

(A)M2N>K(B)MNN>K

(C)K>M>N(D)K>N>M

18、設(shè)a,b>0,反常積分「戶收斂，則(

x“(2021+x)

(A)且b>l(B)a>l且b>l

(C)a<\且a+b>l(D)且b<l

l<x<e

19、設(shè)函數(shù)/(4)=,若反常枳分辦收斂,則(

x》e

xlnf

(A)a<-2(B)a>2

(C)-2<a<0(D)0<a<2

20、求(arcsin近dr.

21、求，(2x+1卜后

22、求J：，而二7dt.

23、求J；max{l,r2}d/,x€(-co,+ao).

24、計(jì)算下列定枳分，

，2-,

(I)J|[x+|x|(x+e)]dr：(2)j：x(x-l)(x-2Xx-3)(x-4/.

25、計(jì)算(1)魏一枷(2)J；min(4/)6ft.

2金計(jì)算J：(sinx+cosx)Vl-sinIxdx.

27、設(shè)/(x)=J：F§in”也.

(1)證明/(幻是以產(chǎn)為周期的周期函數(shù)：

(2)求〃x)的值域.

28、若函數(shù)/(x)連續(xù)，且滿足/(x)/(-x)=l,g(x)是連續(xù)的偶函數(shù),試證明:

17

并計(jì)獴&扃

fn35八Lsinxcos￡rj

29、已知積分上--dr=y.求枳分1———~dr.

30、設(shè)位于曲線，=/(eVxVxo)下方,x軸上方的無界區(qū)域?yàn)镚,?G

Vx(l+ln2x)

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體枳為.

31、設(shè)X。平面上有正方形。={(xj)|04x41,04?41}及直線/：x+y=，(，N0).若

S(t)表示正方形D位于直線/左下方部分的面枳，試求，S(t)dt(xN0).

32、設(shè)曲線丁=〃2(。>0,乂20)與y=l-x?交于/點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)彳的宣戰(zhàn)與曲

線y=a?2圉成一平面圖形.問。為何值時(shí)，讀圖形燒x軸箕轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體枳最大？

最大體枳是多少？

33、已知拋物線丁=px2+gx(其中pv0,g>0)在第一象限內(nèi)與直線x+y=5相切，且

此衲物線與“軸所圍成的平面圖形的面枳為S.

(1)問p和g為何值時(shí)，S達(dá)到最大？

(2)求此S的最大值

34、設(shè)函數(shù)/(“)在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)大于零，并滿足

j/V)=/(x)+yx\又曲線尸=/(x)與x=1j=0所隕的圖形S的面枳值為2,求法

數(shù)V=/(x),并問a為何值時(shí)，圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.

35、設(shè)函數(shù)/(x)=—,xw［0［］,定義函數(shù)列

〃幻=〃幻/(幻=/(/㈤),…，工⑶="G(x)),…，

記S.是曲線_y=/(x),座線x=l及X軸所圍成平面圖形的面積，求極限lim〃S「

36、設(shè)/(x)是區(qū)間［04］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).

(1)試證明存在/w(0,1),使得在區(qū)間［0,x°］上以/(勺)為高的矩形面積等于在區(qū)間

［仆』上以丁=/(x)為曲邊的梯形面積.

(2)又設(shè)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(x)>一紅至.證明(1)中的。是唯一的.

X

37、己知>(力滿足微分方程，一個(gè)且有/(1)=〃?

18

（1）求y（x）

（2）0=｛（x,y）|14x42O4y4y（x）｝,求平面區(qū)域。繞x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

38、設(shè)平面圖形/由f+/42x與所確定，利用微元法求圖形/繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一

周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

39、利用微元法求曲線7=-1|與x軸圉成封閉圖形繞7,3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.

40、（數(shù)一、數(shù)二）

（1）寬度為6m的金屬板,三分之一作為側(cè)邊，做成排水溝（如留），問折起角度多大時(shí)，

排水溝的截面積S最大,

（2）設(shè)一拋物線過（1）中所求得的薇面積的4。及8C的中點(diǎn)，記讀拋物線與直線段

-c

所圍成的封閉平面的面積為S,求三，

S

（3）若排水溝長為】m,其橫被面原為（1）

中等腰梯形的形狀，因讀泥沉積形成了（2）中期物線的

形狀，將淤泥撤運(yùn)出排水溝，則至少做多少功？

第五章向量代數(shù)和空間解析幾何（數(shù)一）

1、設(shè)向量彳=21+3d5=3tf-bJa|=2，S|=l,。和。的夾角為T，求4B

2、已知|。卜2,|5卜5,。和。的夾角為等，如果向it/=/U+17仇5=3?-A垂亶，則

系數(shù)4=___.

3、已知單位向魚與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相等，6是點(diǎn)”（1,-3,2）關(guān)于點(diǎn)”（7,2,1）的對

稱點(diǎn)，求Ex麗.

4、求點(diǎn)P（l,2,-1）到直線?=答=■的距離d.

5、試證向量。=T+3）+”,b=2d-3/-44,e=-3d+12J+6A在同一平面上.

19

6、過點(diǎn)(一1,2,3)且垂直于直線；=4=；并平行于平面7“+8?+92+10=0的直線方程

456

(尸,、.y-2z-3

(A)+1=2=z-3(B)X4-l="-=------

-222

y—2z-3

(C)-(x-?-l)=—■--=z-3(D)x-1t=------=-------

-2-22

7、設(shè)直線上過點(diǎn)尸(-1,0,4),與平面”：3x-4y+z=10平行，且與直線

4：x+l=y-3=］相交.求此亶線L的方程.

x-y=6

8、設(shè)直線4：一丁,則。與J的夾角為(

2y+z=3

(A)i(B)Z(c)y(D)?

.x+3zy+2z+l=O

9、設(shè)直線及平面”：4x-2〉+z-2=0,則直線，(

2x-y-10z+3=0

(A)平行于x(B)在“上(C)垂直于病(D)于不斜交

x-1y+1z-1..x+17-1z,

10、如果直線4:：一——］=--=—y-與右：一1=、一=,相w交.則4=z(

2411

(A)1(B)(C)--(D)~

i44

第六章多元函數(shù)微分學(xué)

(乂力學(xué)(0,0)

1、二元函數(shù)/(蒼丁)=在點(diǎn)(0,0)處(

(內(nèi))=(0,0)

(A)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在

(B)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

(C)不連續(xù)，倡導(dǎo)數(shù)存在

(D)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

20

2、二元函數(shù)/(x,刃在(0.0)處可微的一個(gè)充分條件是(

(A)”.觸“(7)-〃0,。)卜0

(B).用比/皿=0且3Lo

xr-?Oy

(C)lim/，)一/嘰。

(310.0)&+爐

(D)!叫［＜(后0)-￡(0,0)］=0且呵［f(0j)-A(0,0)］=0

3、如果/(x,y)在(0,0)處連續(xù)，那么下列命局正確的是().

(A)若極限lim華斗存在，則/(xj)在(0,0)處可微.

二IH+IM

則/(x,y)在(0,0)處可微.

若/(x,y)在(0,0)處可微,則極限］im華也存在.

二國+IM

(D)若/(xj)在(0,0)處可微，則極限lim季勢存在.

二x

4、設(shè)函數(shù)/(〃》)滿足/(x+乂則%z與%I依次是

xdu“1dvI

(A)1,0(B)0」(C)」,0(D)0,--

2222

5、若/",/)=xlL=財(cái)=()

(A)2xeg(B)(-八協(xié)-.

(C)e*(D)(2x-*

6、已知函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，且15密"答=1，其中。為非零常

二(，十力

ft.則/(0,0)()

(A)是極大值(B)是極小值

(C)不是極值(D)是否去極值與0有關(guān)

7、設(shè)〃(xj)在平面有界區(qū)域。上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且言，0,胃.票=0,則

”(xj)的<

21

（A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在。的內(nèi)部

（B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在0的邊界上

（C）最大值點(diǎn)在。的內(nèi)部.最小值點(diǎn)在。的邊界上

（D）最小值點(diǎn)在。的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在。的邊界上

8、已知函數(shù)z=z（xj）在區(qū)域。內(nèi)滿足方程言魯?shù)?。3+。=0（常數(shù)c>0）,

則在0內(nèi)函數(shù)z=z（x,刃（）

（A）存在極大值（B）存在極小值（C）無極值（D）無法判斷

9、設(shè)函數(shù)/（“》）可微，z=z（xj）有方程（x+l）z-/=//（x-zj）確定,則

固（川）=-----

10、設(shè)連續(xù)函數(shù)z=/區(qū)刃消足啊〃j?—《節(jié)2:0,則生，」）

11、已知/(xj)=(xy+x/)e"。則93=_____.

axoy

12、設(shè)函數(shù)z=z(xj)是由方程尸(X+W"J+NT)HO所確定，證明

dzdz

號+>七=zf?

axdy

13、設(shè)u=/（x,居z）有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y=y（x）及z=z（x）分別由下列兩式確

定：力一號=2和/=J；'電"曲,求生.

/、