四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

嘉陵一中高2023級(jí)高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率，則該直線的傾斜角為.故選：B.2.已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓的公共弦所在直線的特點(diǎn)，兩圓方程相減即可得解.【詳解】圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.故選：B3.平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由題意，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，故根據(jù)橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個(gè)命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當(dāng)與直線平行時(shí)，，則∴或，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C5.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（）A.3 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C6.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用點(diǎn)面距的向量公式，可得答案.【詳解】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，A1,0,0，，，取，，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)到平面的距離.故選：C.7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3C.在上存在點(diǎn)，使得D.上的點(diǎn)到直線的最小距離為1【答案】C【解析】【分析】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)判斷；對(duì)B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對(duì)D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.【詳解】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對(duì)B：的圓心，半徑為，∵點(diǎn)到圓心的距離，則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y∵，則，整理得，∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)，∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來(lái)判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.8.，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.對(duì)于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨(dú)立，則 D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：若與互斥，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若與互斥，則，故B正確；對(duì)于C：若與相互獨(dú)立，則，故C正確；對(duì)于D：若與相互獨(dú)立，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B.若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量基本定理分析B，由向量平行的性質(zhì)分析C，由投影向量分析D．詳解】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C：當(dāng)，反向共線時(shí)，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．11.伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫(huà)了正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離是【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算A選項(xiàng)即可；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解判斷BCD即可.【詳解】由題可知，,故選項(xiàng)A正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得，,,,，由題可知，，平面的一個(gè)法向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為，選項(xiàng)B正確；由題可知,，所以,所以異面直線與所成角的余弦值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；易知，,，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，，若，則______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得，由向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，解?故答案為：13.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．【詳解】解：點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，直線的斜率或，的斜率為，的斜率為，直線的斜率或，即，故答案為：．14.已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_________；直線__________過(guò)定點(diǎn).【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).【詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：；.四、解答題：（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知直線的方程為．（Ⅰ）直線與垂直，且過(guò)點(diǎn)（1，3），求直線的方程；（Ⅱ）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．【答案】（1）（2）直線的方程為：或【解析】【詳解】試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點(diǎn)代入方程解得，從而可得直線的方程；(2)由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得可得直線的方程.試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：直線過(guò)點(diǎn)（1，3），解得直線的方程為：．(2)設(shè)直線的方程為：令x=0，得；令，得則，得直線的方程為：或．16.某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站.由于不同年齡段需看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書(shū)者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，40,50，50,60，60,70，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)這40名讀書(shū)者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；（2）估計(jì)這40名讀書(shū)者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；（3）從年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者中任選兩名，求這兩名讀書(shū)者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.【答案】（1）30（2）眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；（2）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；（3）計(jì)算抽取的人中，位于的有2人，記為，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有4人，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：所以40名讀書(shū)者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知，40名讀書(shū)者年齡的眾數(shù)約為55；年齡在區(qū)間上的頻率為：年齡在區(qū)間上的頻率為：，故第80百分位數(shù)位于60,70之間，設(shè)為，所以，解得，所以這40名讀書(shū)者年齡的第80百分位數(shù)約為66.【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者有人，分別記為，年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者有人，分別記為，從上述6人中選出2人，則有，共15種情況；其中恰有1人在的情況有，共8種情況；所以恰有1人在的概率為.17.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB的中點(diǎn)，（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線C，過(guò)定點(diǎn)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，曲線C的中心記為點(diǎn)C，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得到，代入圓，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，求得圓心到直線距離為，得到，結(jié)合基本不等式，求得最小值，進(jìn)而求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，則，可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)1,0的直線與曲線交于兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得或，所以取得最大值，此時(shí)直線的方程為或.18.如圖，在四棱錐中，平面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.19.圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個(gè)不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓（1）求圓C與圓M的根軸l；（2）已知點(diǎn)P為根軸l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；（3）給出定點(diǎn)，設(shè)N，Q分別為根軸和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）最小值為，此時(shí).【解析】【分析】（1）先求出圓C和圓M的圓心C和M以及半徑和，接著由列式化簡(jiǎn)即可得解.（2）先由題意求得，進(jìn)而結(jié)合求得取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，接著求出此時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程，從而求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即可得解.（3）先求出關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)，接著得，從而得與圓M和根軸l相交的點(diǎn)和使得最小，進(jìn)而求得的最小值，再由聯(lián)立根軸的方程即可求出.【小問(wèn)1詳解】由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)為圓C與圓M的根軸l上的任意一點(diǎn)，則由題可得，即，整理得，即圓C與圓M的根軸l為直線.【小問(wèn)2詳解】由題意可知且，，設(shè)與相交于點(diǎn)H，則，又，所以，所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，又，所以取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，而PC