專題9二次函數(shù)與圓綜合問題（解析版）

專題9二次函數(shù)與圓綜合問題

解決函數(shù)與圓的綜合問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)函數(shù)與圓的結(jié)合點(diǎn)，弄清題目的本質(zhì)，利用圓的基本性質(zhì)和函數(shù)

的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程思想、全等與相似，以便找到對應(yīng)的解題途徑.常見的考法有：

1.直線與圓的位置關(guān)系：

平面直角坐標(biāo)系中的直線與圓的位置關(guān)系問題關(guān)鍵是圓心到直線的距離等于半徑的大小，常用的方法有：

（1）利用圓心到直線的距離等于半徑的大小這一數(shù)量關(guān)系列出關(guān)系式解決問題

（2）利用勾股定理解決問題

（3）利用相似列出比例式解決問題

2.函數(shù)與圓的新定義題目：利用已掌握的知識和方法理解新定義，化生為熟

3.函數(shù)與圓的性質(zhì)綜合類問題：利用幾何性質(zhì)，結(jié)合圖形，找到問題中的“不變”關(guān)鍵因素和“臨界位置”.

【例1】【例1】（2021?花都區(qū)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y

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軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明

理由；

（3）點(diǎn)M是BC為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)N，連接NA，求NA的取

值范圍．

【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥BC交于點(diǎn)H，設(shè)P（0，t），CH＝x，由已知分別可求BC＝2，BH＝2﹣x，

HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，

求出t＝﹣，則P（0，﹣），與x軸對稱點(diǎn)為（0，），此點(diǎn)也滿足所求；

（3）當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)處時(shí)，N點(diǎn)在F（0，﹣4）處，當(dāng)M點(diǎn)在O點(diǎn)處時(shí)，N點(diǎn)在E（2，0）處，∠EOF

＝90°，EF＝BC＝2，可以判斷N點(diǎn)在以EF為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接OO'，O'（1，﹣2），NA有最

大值和最小值，O'A＝2，則可求NA最大值為2+，NA最小值為2﹣，進(jìn)而求得2﹣

≤NA≤2+．

【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得

，

解得，

∴y＝﹣x2+x+2；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥BC交于點(diǎn)H，

設(shè)P（0，t），CH＝x，

∵C（0，2），B（4，0），

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∴BC＝2，

∴BH＝2﹣x，

∵∠OBP+∠OBC＝45°，

∴∠CBP＝45°，

∴HP＝BH＝2﹣x，

在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，

在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，

∴＝，＝，

∴x＝，t＝﹣，

∴P（0，﹣），

P點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為（0，），此點(diǎn)也滿足∠OBP+∠OBC＝45°，

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，）；

（3）當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)處時(shí)，N點(diǎn)在F（0，﹣4）處，當(dāng)M點(diǎn)在C點(diǎn)處時(shí)，N點(diǎn)在E（2，0）處，

∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判斷N點(diǎn)在以EF為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接OO'，

當(dāng)NA經(jīng)過圓心O'時(shí)，NA有最大值和最小值，

∴O'（1，﹣2），

∵A（﹣1，0），

∴O'A＝2，

∴NA最大值為2+，NA最小值為2﹣，

∴2﹣≤NA≤2+．

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【例2】（2020?遵義）如圖，拋物線y＝ax2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為

9

點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M+作4MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由；

（3）以M為圓心，MP為半徑作M，當(dāng)M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出M的半徑．

⊙⊙⊙

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【分析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）代入y＝ax2x+c求出a與c的值即可得出拋物線的解

9

析式；+4

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，假設(shè)△QCO為等邊三角形，過點(diǎn)Q作QH⊥OC于H，OC＝3，則OH，

3

①=2

tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，則假設(shè)不成立；

??3333339273333

===?+=?≠

當(dāng)點(diǎn)Q?在?y軸的左邊時(shí)2，假2設(shè)△QCO為2等邊三角形4，過點(diǎn)4Q作QT⊥O8C于T1，6OC2＝3，則OT，

3

②=2

tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，則假設(shè)不

??3333339273333

=?=?=?+=??≠

成立；??222448162

（3）求出B（4，0），待定系數(shù)法得出BC直線的解析式y(tǒng)x+3，當(dāng)M在線段BC上，M與x軸相

3

=?⊙

切時(shí)，延長PM交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為M與x軸的切點(diǎn)，即4PM＝MD，設(shè)P（x，x2x+3），M

39

⊙?+

（x，x+3），則PDx2x+3，MDx+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可4得出4結(jié)果；當(dāng)

3393

M在線?段4BC上，M=與?y4軸+相4切時(shí)，延長=?PM4交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，則點(diǎn)E為M

⊙⊙

與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（x，x2x+3），M（x，x+3），則PDx2x+3，

39339

?+?=?+

MDx+3，代入即可得出結(jié)果；當(dāng)M在BC延長線，4M與4x軸相切時(shí)，4點(diǎn)P與A重合，4M的4縱坐

3

標(biāo)的=值?即4為所求；當(dāng)M在CB延長線，M與y軸相切時(shí)⊙，延長PD交x軸于D，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于

⊙

E，則點(diǎn)E為M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（x，x2x+3），M（x，x+3），

393

⊙?+?

則PDx2x﹣3，MDx﹣3，代入即可得出結(jié)果．444

393

=?=

【解答】4解：（41）把點(diǎn)A（﹣41，0）和點(diǎn)C（0，3）代入y＝ax2x+c得：，

9

90=??+?

+44

解得：，3=?

3

?=?4

?=3

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∴拋物線的解析式為：yx2x+3；

39

（2）不存在，理由如下=：?4+4

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，如圖1所示：

①假設(shè)△QCO為等邊三角形，

過點(diǎn)Q作QH⊥OC于H，

∵點(diǎn)C（0，3），

∴OC＝3，

則OHOC，tan60°，

13??

=2=2=??

∴QH＝OH?tan60°，

333

=2×3=2

∴Q（，），

333

把x2代入2yx2x+3，

3339

==?+

得：y24，4

273333

∴假設(shè)=不成8立?，16≠2

∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左邊時(shí)，如圖2所示：

②假設(shè)△QCO為等邊三角形，

過點(diǎn)Q作QT⊥OC于T，

∵點(diǎn)C（0，3），

∴OC＝3，

則OTOC，tan60°，

13??

=2=2=??

∴QT＝OT?tan60°，

333

=×3=

∴Q（，），22

333

?2

把x代入2yx2x+3，

3339

=?=?+

得：y24，4

273333

∴假設(shè)=不?成8立，?16≠2

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∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；

綜上所述，在拋物線上不存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形；

（3）令x2x+3＝0，

39

?+

解得：x1＝4﹣1，4x2＝4，

∴B（4，0），

設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，

把B、C的坐標(biāo)代入則，

0=4?+?

解得：，3=?

3

?=?4

∴BC直?線=的3解析式為：yx+3，

3

當(dāng)M在線段BC上，M=與?x4軸相切時(shí)，如圖3所示：

延長PM交AB于點(diǎn)D⊙，

則點(diǎn)D為M與x軸的切點(diǎn)，即PM＝MD，

⊙

設(shè)P（x，x2x+3），M（x，x+3），

393

?+?

則PDx24x+43，MDx+3，4

393

=?+=?

∴（x24x+43）﹣（x+34）x+3，

3933

?+?=?

解得：4x1＝14，x2＝4（不合4題意舍去）4，

∴M的半徑為：MD3；

39

當(dāng)⊙M在線段BC上，=M?與4+y軸=相4切時(shí)，如圖4所示：

延長PM交AB于點(diǎn)D⊙，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，

則點(diǎn)E為M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，

⊙

設(shè)P（x，x2x+3），M（x，x+3），

393

?+?

則PDx24x+43，MDx+3，4

393

=?+=?

∴（x24x+43）﹣（x+34）＝x，

393

?4+4?4

解得：x1，x2＝0（不合題意舍去），

8

=

∴M的半3徑為：EM；

8

⊙=3

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當(dāng)M在BC延長線，M與x軸相切時(shí)，如圖5所示：

⊙

點(diǎn)P與A重合，

∴M的橫坐標(biāo)為﹣1，

∴M的半徑為：M的縱坐標(biāo)的值，

⊙

即：（﹣1）+3；

315

當(dāng)M?在4C×B延長線，=M4與y軸相切時(shí)，如圖6所示：

⊙

延長PM交x軸于D，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，

則點(diǎn)E為M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，

⊙

設(shè)P（x，x2x+3），M（x，x+3），

393

?4+4?4

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則PDx2x﹣3，MDx﹣3，

393

=4?4=4

∴（x2x﹣3）﹣（x﹣3）＝x，

393

?4

解得：4x1，x2＝0（4不合題意舍去），

16

=

∴M的半徑3為：EM；

16

⊙=3

綜上所述，M的半徑為或或或．

981516

⊙

4343

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【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式、等邊三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、三

角函數(shù)等知識；熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．

【例3】（2020?濟(jì)寧）我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標(biāo)

系中，C與x軸交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），與y軸相切于點(diǎn)D（0，4），過點(diǎn)A，B，D

的拋物線⊙的頂點(diǎn)為E．

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判⊙斷直線AE與C的位置關(guān)系，并說明理由．

⊙

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【分析】（1）如圖，連接CD，CB，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M．設(shè)C的半徑為r．在Rt△BCM中，利用

勾股定理求出半徑以及點(diǎn)C的坐標(biāo)即可解決問題．⊙

（2）結(jié)論：AE是C的切線．連接AC，CE．求出拋物線的解析式，推出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出AC，AE，

CE，利用勾股定理⊙的逆定理證明∠CAE＝90°即可解決問題．

【解答】解：（1）如圖，連接CD，CB，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M．設(shè)C的半徑為r．

∵與y軸相切于點(diǎn)D（0，4），⊙

∴CD⊥OD，

∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，

∴四邊形ODCM是矩形，

∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，

∵B（8，0），

∴OB＝8，

∴BM＝8﹣r，

在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，

∴r2＝42+（8﹣r）2，

解得r＝5，

∴C（5，4），

∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．

⊙

（2）結(jié)論：AE是C的切線．

理由：連接AC，C⊙E．

∵CM⊥AB，

∴AM＝BM＝3，

∴A（2，0），B（8，0）

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣8），

把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a，

1

=

∴拋物線的解析式為y（x﹣2）（x﹣8）x24x+4（x﹣5）2，

11519

==?=?

∴拋物線的頂點(diǎn)E（5，4），4244

9

?4

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∵AE，CE＝4，AC＝5，

29215925

∴EC=2＝A3C2+A(E42，)=4+4=4

∴∠CAE＝90°，

∴CA⊥AE，

∴AE是C的切線．

⊙

【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓的方程，切線的判定

等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．

【例4】（2020?西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，

1

0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上=的2一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

15

（3）如圖乙，過A，B，P三點(diǎn)作M，過點(diǎn)=P2作PE⊥x軸，垂足為D，交M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過

程中線段DE的長是否變化，若有變⊙化，求出DE的取值范圍；若不變，求D⊙E的長．

【分析】（1）由二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，可得二次函數(shù)

1

=2

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的解析式為y（x+2）（x﹣4），由此即可解決問題．

1

=

（2）根據(jù)S△PAC2＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是定值，DE＝2．根據(jù)AM＝MP，根據(jù)方程求出t，再利用

中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)即可解決問題．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

1

=

∴二次函數(shù)的解析式為y（x+22）（x﹣4），

1

=

即yx2﹣x﹣4．2

1

=2

（2）如圖甲中，連接OP．設(shè)P（m，m2﹣m﹣4）．

1

2

由題意，A（﹣2，0），C（0，﹣4），

∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，

∴2×44×m2×（m2+m+4），

151111

=×2+×?×?

整理2得，2m+2m﹣125＝0，22

解得m＝3或﹣5（舍棄），

∴P（3，）．

5

?2

（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是定值，DE＝2．

理由：如圖乙中，連接AM，PM，EM，設(shè)M（1，t），P[m，（m+2）（m﹣4）]，E（m，n）．

1

2

第13頁共78頁.

由題意A（﹣2，0），AM＝PM，

∴32+t2＝（m﹣1）2+[（m+2）（m﹣4）﹣t]2，

1

解得t＝1（m+2）（2m﹣4），

1

∵M(jìn)E＝P+M，4PE⊥AB，

∴t，

1

?+2(?+2)(??4)

=

∴n＝2t（2m+2）（m﹣4）＝2[1（m+2）（m﹣4）]（m+2）（m﹣4）＝2，

111

∴DE＝?2，2+4?2

另解：∵PD?DE＝AD?DB，∴DE2，為定值．

?????(?+2)(4??)

2

∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長=是定?值?，=DE＝4+2．???=

【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了三角形的面積，三角形的外接圓，三角形的外心等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．

【例5】（2020?宜賓）如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)F

（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）P為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心的圓過點(diǎn)F和點(diǎn)N，且與直線y＝﹣1相

切．若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求E的半徑；若不存在，說明理由．

⊙

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【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2，將（2，1）代入上式，即可求解；

（2）△PMN是等邊三角形，則點(diǎn)P在y軸上且PM＝4，故PF＝2，即可求解；

3

（3）在Rt△FQE中，EN，EF，即可求解．

21252125

【解答】解：（1）∵二次函=數(shù)(的2圖?象1)頂+點(diǎn)(在1?原4點(diǎn))，=4=(1?0)+(1?4)=4

故設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2，將（2，1）代入上式并解得：a，

1

=

故二次函數(shù)表達(dá)式為：yx2；4

1

=4

（2）將y＝1代入yx2并解得：x＝±2，故點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（﹣2，1）、（2，1），

1

則MN＝4，=4

∵△PMN是等邊三角形，

∴點(diǎn)P在y軸上且PM＝4，

∴PF＝2；

∵點(diǎn)F（0，31），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1+2）或（0，1﹣2）；

33

（3）假設(shè)二次函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)E滿足條件，

設(shè)點(diǎn)Q是FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q（1，1），

故點(diǎn)E在FN的中垂線上．

∴點(diǎn)E是FN的中垂線與yx2圖象的交點(diǎn)，

1

=4

∴y12，則點(diǎn)E（1，），

111

=4×=4

EN4，

2125

=(2?1)+(1?4)=4

第15頁共78頁.

同理EF，

2125

=(1?0)+(1?)=

點(diǎn)E到直線y＝﹣1的距離為4|（4﹣1）|，

15

?=

故存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓4心半徑為的圓4過點(diǎn)F，N且與直線y＝﹣1相切．

5

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)4用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本的性質(zhì)、等邊三角形的性

質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度適中．

【例6】（2021?嘉興二模）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次

函數(shù)的坐標(biāo)圓．

（1）已知點(diǎn)P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓．請判斷P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)

圓，并說明理由；⊙

（2）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)圓的圓心為P，如圖1，求△POA周長的最小值；

（3）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，與坐標(biāo)圓的第四個(gè)

交點(diǎn)為D，連結(jié)PC，PD，如圖2．若∠CPD＝120°，求a的值．

【分析】（1）先求出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，再計(jì)算這三個(gè)交點(diǎn)是否在以P（2，

2）為圓心，為半徑的圓上，即可作出判斷．

（2）由題意可得，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)H（0，4），所以△POA

周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．

（3）連接CD，PA，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，由對

稱性知，對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)P，且l⊥CD，設(shè)PE＝m，由∠CPD＝120°，可得PA＝PC＝2m，CE＝m，

PF＝4﹣m，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為，AB＝，所以AF＝

BF＝，，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，進(jìn)而得出a的值．

第16頁共78頁.

【解答】解：（1）對于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝1或x＝3，

∴二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為A（1，0），B（3，0），與y軸交點(diǎn)為C（0，3），

∵點(diǎn)P（2，2），

∴PA＝PB＝PC＝，

∴P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓．

⊙

（2）如圖1，連接PH，

∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)圓的圓心為P，

∴A（2，0），與y軸的交點(diǎn)H（0，4），

∴△POA周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，

∴△POA周長的最小值為6．

（3）如圖2，連接CD，PA，

設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，

由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)P，且l⊥CD，

∵AB＝，

∴AF＝BF＝，

∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），

∴∠PCD＝∠PDC＝30°，

設(shè)PE＝m，則PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，

∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為，

∴，即，

在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，

∴，

即，

第17頁共78頁.

化簡，得，解得，

∴．

【題組一】

1．（2020?雨花區(qū)校級一模）如圖1，已知拋物線y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）連接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．

（2）如圖2，已知M為△ABC的外心，試判斷弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此時(shí)a的值，

若沒有，請說明理由；

（3）如圖3，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（t，t）在第一象限，t為常數(shù)．

問：是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB達(dá)到最大，若存在，求出此時(shí)∠APB的正弦值，若不存在，也請說明

理由．

第18頁共78頁.

【分析】（1）令y＝0，求得拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x＝0，用a表示C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三

角函數(shù)列出a的方程，便可求得a的值；

（2）過M點(diǎn)作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA、MC，用d表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)MA＝MC，列出a、d的

關(guān)系式，再通過關(guān)系式求得結(jié)果；

（3）取AB的中點(diǎn)T，過T作MT⊥AB，以M為圓心，MA為半徑作M，MT與直線y＝x交于點(diǎn)S，P′

為直線y＝x上異于P的任意一點(diǎn)，連接AP′，交M于點(diǎn)K，連接⊙BK，MP，AP，BP，MB，MA，當(dāng)

P為直線y＝x與M的切點(diǎn)時(shí)，∠APB達(dá)到最大，⊙利用圓圓周角性質(zhì)和解直角三角形的知識求得結(jié)果便

可．⊙

【解答】解：（1）連接BC，

令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，

解得，x＝4或8，

∴A（4，0），B（8，0），

令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，

∴C（0，32a），

又∠ABC＝30°，

∴tan∠ABC，

??32?3

===

解得，a；??83

3

（2）過=M1點(diǎn)2作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA、MC，如圖2，

第19頁共78頁.

∴AH＝BH2，

1

∴OH＝6，=2??=

設(shè)M（6，d），

∵M(jìn)A＝MC，

∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，

得2ad＝32a2+1，

∴d＝16a，

112

+=(4??)+42

2?2?

∴當(dāng)4時(shí)，有最小，

1

?=?=42

2?

即當(dāng)a時(shí)，有最小；

2

（3）∵=P8（t，t），?=42

∴點(diǎn)P在直線y＝x上，

如圖3，取AB的中點(diǎn)T，過T作MT⊥AB，以M為圓心，MA為半徑作M，MT與直線y＝x交于點(diǎn)S，

P′為直線y＝x上異于P的任意一點(diǎn)，連接AP′，交M于點(diǎn)K，連接⊙BK，MP，AP，BP，MB，MA，

⊙

當(dāng)M與直線y＝x相切時(shí)，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，

∴∠⊙APB最大，此時(shí)相切點(diǎn)為P，

設(shè)M（6，d），而T（6，0），

∴S（6，6），

第20頁共78頁.

∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，

又MP＝MB，

2

∴MS=4+?，

2

∵M(jìn)S+=MT2＝?S?T=＝6，2?+8

∴，

2

解得2，?d+＝82（+負(fù)?根=舍6去），

經(jīng)檢驗(yàn)，d＝2是原方程的解，也符合題意，

∴M（6，2），

∴MB＝2，

∵∠AMB＝22∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，

∴∠AMT＝∠BMT∠AMB＝∠APB，

1

=2

∴sin∠APB＝sin∠BMT．

??2

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)=的??綜=合題2，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理和

圓與直線切線性質(zhì)，難度較大，第（3）題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助圓確定當(dāng)∠APB達(dá)到最大時(shí)的P點(diǎn)位置．

2．（2020?匯川區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，0）、B

（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，連接BC并延長．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是直線BC在第一象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．

1°求線段MN的最大值；

2°當(dāng)MN取最大值時(shí)，在線段MN右側(cè)的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)△PMN的外接圓

圓心Q在△PMN的邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第21頁共78頁.

【分析】（1）將三個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列出方程組求得a、b、c，便可得拋物線的解析

式；

（2）1°用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)M的橫坐標(biāo)為t，用t表示MN的距離，再根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值；

2°分三種情況：當(dāng)∠PMN＝90°時(shí)；當(dāng)∠PNM＝90°時(shí)；當(dāng)∠MPN＝90°時(shí)．分別求出符合條件的P

點(diǎn)坐標(biāo)便可．

【解答】解：（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得

，

?+?+?=0

9?+3?+?=0

?=3

解得，，

?=1

?=?4

∴拋物線?的=解3析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）1°設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），則

，

3?+?=0

解?得=，3，

?=?1

∴直線B?C=的3解析式為：y＝﹣x+3，

設(shè)M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），則N（t，t2﹣4t+3），

∴MN＝﹣t2+3t，

329

=?(??2)+4

∴當(dāng)t時(shí)，MN的值最大，其最大值為；

39

=

2°∵△P2MN的外接圓圓心Q在△PMN的4邊上，

∴△PMN為直角三角形，

由1°知，當(dāng)MN取最大值時(shí)，M（，），N（，），

3333

?

當(dāng)∠PMN＝90°時(shí)，PM∥x軸，則2P2點(diǎn)與M點(diǎn)2的縱坐4標(biāo)相等，

①

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

3

當(dāng)y時(shí)，y＝x2﹣24x+3，

33

=2=2

解得，x，或x＜（舍去），

4+104?103

=2=22

第22頁共78頁.

∴P（，）；

4+103

當(dāng)∠PN2M＝902°時(shí)，PN∥x軸，則P點(diǎn)與N點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

②

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

3

?

當(dāng)y時(shí)，y＝x2﹣44x+3，

33

=?=?

解得，x4，或x（舍去），4

53

=2=2

∴P（，）；

53

?

當(dāng)∠2MPN4＝90°時(shí)，則MN為△PMN的外接圓的直徑，

③∴△PMN的外接圓的圓心Q為MN的中點(diǎn)，

∴Q（，），半徑為，

3319

??=

過Q作2QK8∥x軸，與在2MN右8邊的拋物線圖象交于點(diǎn)K，如圖，

②

令y，得y＝x2﹣4x+3，

33

=8=8

解得，x＜（舍），或x，

8?2238+22

=42=4

∴K（，），

8+223

∴QK4＞8，即K點(diǎn)在以MN為直徑的Q外，

2+229

設(shè)拋物=線y4＝x2﹣48x+3的頂點(diǎn)為點(diǎn)L，則l（2，⊙﹣1），

連接LK，如圖，則L到QK的距離為，

311

②+1=

LK，88

8+22232209

=(4?2)+(8+1)=8

第23頁共78頁.

設(shè)Q點(diǎn)到LK的距離為h，則

，

1111

???=????

282

∴＞，

11112+22

8??8×422209+11209×229

?=??=209=4×209≈1.278

∴直線LK下方的拋8物線與Q沒有公共點(diǎn)，

∵拋物線中NL部分（除N⊙點(diǎn)外）在過N點(diǎn)與x軸平行的直線下方，

∴拋物線中NL部分（除N點(diǎn)外）與Q沒有公共點(diǎn)，

∵拋物線K點(diǎn)右邊部分，在過K點(diǎn)與⊙y軸平行的直線的右邊，

∴拋物線K點(diǎn)右邊部分與Q沒有公共點(diǎn)，綜上，Q與MN右邊的拋物線沒有交點(diǎn)，

∴在線段MN右側(cè)的拋物線⊙上不存在點(diǎn)P，使△PM⊙N的外接圓圓心Q在MN邊上；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．

4+10353

?

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的2綜合題2，主要2考查了待4定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，直角三角形的存

在性質(zhì)的探究，圓的性質(zhì)，第（2）題的1°題關(guān)鍵是把MN表示成t二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方

法解決問題；第（2）2°小題關(guān)鍵是分情況討論．難度較大．

3．（2020?望城區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2﹣bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)

1

為（4，0），與y軸于交于點(diǎn)C（0，﹣2）．=2

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及∠ADB的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點(diǎn)H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），

求點(diǎn)M的坐標(biāo)及M的半徑；

①⊙

第24頁共78頁.

過點(diǎn)B作M的切線交于點(diǎn)P（如圖2），設(shè)Q為M上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化？

??

②⊙⊙

若不變，求出其值；若變化，請說明理由．??

【分析】（1）c＝﹣2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：04b﹣2，解得：b，即可求解；

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