專題19以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題（解析版）

專題19以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題

【例1】（2021·北京·中考真題）在ABC中，ACB90，ACBC，G是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作射線

CP，過(guò)點(diǎn)A作AMCP于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BNCP于點(diǎn)N，取AB中點(diǎn)O，連接ON．

（1）①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；

②求證：CM=BN；

（2）猜想線段AM，BN，ON的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）當(dāng)∠BCP=22.5°時(shí)，若ON=1，則GN的值為_(kāi)__________．

【答案】（1）①圖見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）AM＋BN＝2ON，證明見(jiàn)解析；（3）21．

【解析】

【分析】

（1）①由題意補(bǔ)全圖形，②證明ACM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出CM＝BN．

（2）連接OC，證明OCM≌△O△BN（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠

BON，由等腰直角三角△形的性質(zhì)得出MN＝2ON，則可得出結(jié)論；

（3）先求出∠AGM=67.5°，再得到∠MOG=67.5°，故可得到MO=MG，再根據(jù)勾股定理求出MN，故可求

解．

【詳解】

解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖，

第1頁(yè)共80頁(yè).

②證明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，

∴∠AMC＝∠BNC＝90°，

∴∠ACM＋∠CAM＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACM＋∠BCN＝90°，

∴∠CAM＝∠BCN，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△CBN（AAS），

∴CM＝BN．

（2）依題意補(bǔ)全圖形如圖，

結(jié)論：AM＋BN＝2OM．

證明：連接OC，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中點(diǎn)，

∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，

∵△ACM≌△CBN，

∴AM＝CN，∠OCM＋∠ACO＝∠CBO＋∠OBN，

∴∠OCM＝∠OBN，

第2頁(yè)共80頁(yè).

∵CM＝BN，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，

∵∠COM＋∠MOB＝90°，

∴∠BON＋∠MOB＝90°，

∴∠MON＝90°，OMN是等腰直角三角形

∴MN＝2ON，△

∴AM＝CN＝CM＋MN＝BN＋2ON；

（3）∵∠BCP=22.5°，ACM≌△CBN

∴∠CAM=∠BCP=22.5°△

∴∠GAM=∠CAB-∠CAM=22.5°

∵AM⊥CP

∴∠AGM=90°-∠GAM=67.5°

∵△OMN是等腰直角三角形

∴∠OMN=45°

∴∠MOG=180°-∠AGM-∠OMN=67.5°

∴∠MOG=∠AGM

∴MO=ON=MG=1

∴MN=12122

∴GN=MN-MG=21．

故答案為：21．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解

題的關(guān)鍵．

1

【例2】（2021·山東濟(jì)南·中考真題）在ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D在邊BC上，BDBC，

3

將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角

三角形CEF．連接AF．

第3頁(yè)共80頁(yè).

（1）如圖1，當(dāng)180時(shí)，請(qǐng)直．接．寫(xiě)．出．線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)0180時(shí)，

①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）BE2AF；（2）①BE2AF成立，理由見(jiàn)解析；②平行四邊形，理由見(jiàn)解析；

【解析】

【分析】

FCAF

（1）如圖1，證明AB//EF，由平行線分線段成比例可得，由45的余弦值可得BE2AF；

ECBE

BEBC

（2）①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明ABC∽FEC，即可得2；

AFAC

②如圖3，過(guò)A作AMBC，連接MF,AC,EF交于點(diǎn)N，根據(jù)已知條件證明ED//FM，根據(jù)平行線分線段

成比例可得BE2EF，根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結(jié)論可得AFEC,

根據(jù)三角形內(nèi)角和以及ABC∽FEC可得AFEFEC，進(jìn)而可得AF//EC，即可證明四邊形AECF是平

行四邊形．

【詳解】

（1）如圖1，

第4頁(yè)共80頁(yè).

BAC90，ABAC，

BC45，

CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

FEC45,EFC90，

BFEC，

AB//EF，

FCAF

，

ECBE

FC2

cosCcos45，

EC2

AF2

，

BE2

即BE2AF；

（2）①BE2AF仍然成立，理由如下：

如圖2，

BAC90，ABAC，

ABCACB45，

CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

第5頁(yè)共80頁(yè).

\DFCE=45°,EFC90，

FCEACB，

cosFCEcosACB，

FCAC2

即cos45，

ECBC2

FCEACB，

1ACE2ACE，

12，

△FCA∽△ECB，

AFAC2

，

BEBC2

即BE2AF；

②四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：

如圖3，過(guò)A作AMBC，連接MF,AC,EF交于點(diǎn)N，

BAC90，ABAC，

1

BMMCBC，

2

DBDE，

EBDDEB，

EDC2EBD，

CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

EFC90，

B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

BMMC，

1

MFBCBM，

2

第6頁(yè)共80頁(yè).

FBCBFM，

FMC2FBC，

FMCEDC，

ED//FM，

BEBD

，

EFDM

1

BDBC，

3

111

DMBMBDBCBC，

236

BD2

，

DM1

BEBD2

，

EFDM1

BE2EF，

由①可知BE2AF，

AF2EF，

CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

EFFC,EC2EF，

AFEC，

△FCA∽△ECB，

EBCFAC，

BNCANF，

AFN180FACANF,NCB180FBCBNC，

AFNNCB，

即AFEACB45，

FEC45，

AFEFEC，

AF//EC，

四邊形AECF是平行四邊形．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相似三角形的性

第7頁(yè)共80頁(yè).

質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

【例3】（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在ABC中，ABAC，BAC（0180），過(guò)點(diǎn)A作射

線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作CF//AM交直線AN于點(diǎn)F，在

AM上取點(diǎn)E，使AEBACB．

（1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，

①如圖1，當(dāng)60時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．

②如圖2，當(dāng)90時(shí)，寫(xiě)出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

4

（2）當(dāng)tan，AB＝5時(shí)，若△CDE是直角三角形，直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)．

3

5515

【答案】（1）①AE＝CFCE；②EC2(AECF)，理由見(jiàn)解析；（2）或

44

【解析】

【分析】

（1）①結(jié)論：AE＝CFCE．如圖1中，作CT//AF交AM于T．想辦法證明AT＝CF，ET＝CE，可得

結(jié)論．

②結(jié)論：EC＝（2AE﹣CF）．過(guò)點(diǎn)C作CQAE于Q．想辦法證明CF＝AQ，CE＝2EQ，可得結(jié)論．

（2）分兩種情形：如圖3－1中，當(dāng)CDE＝90時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BJAC于J，過(guò)點(diǎn)F作FKAE于K．利

用勾股定理以及面積法求出CD，再證明FK＝CD，可得結(jié)論．如圖3－2中，當(dāng)ECD＝90時(shí)，DAB＝90，

解直角三角形求出AK，可得結(jié)論．

【詳解】

解：（1）①結(jié)論：AE＝CFCE．

理由：如圖1中，作CT//AF交AM于T．

第8頁(yè)共80頁(yè).

QAB＝AC，BAC＝60，

ABC是等邊三角形，

CA＝CB，ACB＝60，

AF//CT，CF//AT，

四邊形AFCT是平行四邊形，

CF＝AT，

ADC＝BDE，DEB＝ACD，

ACD∽BED，

ADCD

，

BDED

ADBD

，

DCED

ADB＝CDE，

ADB∽CDE，

ABD＝CED＝60，

CT//AF，

CTE＝FAE＝60，

CTE是等邊三角形，

EC＝ET，

AE＝ATET＝CFCE．

故答案為：AE＝CFCE．

②如圖2中，結(jié)論：EC2(AECF)．

理由：過(guò)點(diǎn)C作CQAE于Q．

第9頁(yè)共80頁(yè).

CF//AM，

CFAMAN＝180，

MAN＝90，

CFA＝FAQ＝90，

CQA＝90，

四邊形AFCQ是矩形，

CF＝AQ，

ADC＝BDE，DEB＝ACD，

ACD∽BED，

ADCD

，

BDED

ADBD

，

DCED

ADB＝CDE，

ADB∽CDE，

ABD＝CED＝45，

CQE＝90，

CE＝2EQ，

AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，

EC2(AECF)．

（2）如圖3－1中，當(dāng)CDE＝90時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BJAC于J，過(guò)點(diǎn)F作FKAE于K．

第10頁(yè)共80頁(yè).

BJ4

在RtABJ中，tanBAJ＝＝，AB＝5，

AJ3

AJ＝3，BJ＝4，

AC＝AB＝5，

CJACAJ532，

BC＝BJ2CJ2＝2242＝25，

11

ACBJ＝BCAD，

22

54

AD＝＝25，

25

CD＝AC2AD2＝52(25)2＝5，

FKAD，

CDE＝FKD＝90，

CD//FK，

CF//DK，

四邊形CDKF是平行四邊形，

FKD＝90，

四邊形CDKF是矩形，

FK＝CD＝5，

4

tanFAK＝tanCAB＝，

3

FK4

，

AK3

3

AK＝5，

4

2

＝22＝235＝55．

AFAKFK(5)

44

如圖3－2中，當(dāng)ECD＝90時(shí)，同理可得：

DAB＝EACCABEBCCEB90，

第11頁(yè)共80頁(yè).

CF//AM，

AKF＝DAB＝90，

CK4

在RtACK中，tanCAK＝＝，AC＝5，

AK3

CK＝4，AK＝3，

MAN＝CAB，

CAN＝DAB＝90，

CABBAF＝90，BAFAFK＝90，

AFK＝CAB，

AK4

tanAFK＝＝，

FK3

9

FK＝，

4

2

222915

AF＝AKKF＝3＝．

44

15

綜上所述，滿足條件的AF的值為55或．

44

【點(diǎn)睛】

此題是幾何變換綜合題．考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定

及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，此題是一道幾何綜合題，掌握各知識(shí)點(diǎn)并掌握推理能力是解題的關(guān)鍵．

【例4】（2021·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)

O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．

（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

第12頁(yè)共80頁(yè).

（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；

CM31NC

（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值（用含

AC2PC

k的式子表示）．

NC13k

【答案】（1）OM＝ON，見(jiàn)解析；（2）ON＝k?OM，見(jiàn)解析；（3）

PCk1

【解析】

【分析】

（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明DOM≌△EON；

（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；

（3）設(shè)AC＝BC＝a，解RtEON和△斜AOM，用含a,k的代數(shù)式分別表示NC,PN,再利用比例的性質(zhì)可得

答案．△△

【詳解】

解：（1）OM＝ON，如圖1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，

∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，

∴∠DOE＝90°，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

在RtAOD中，

△

第13頁(yè)共80頁(yè).

2

ODOAsinAOA，

2

2

同理：OE＝OB，

2

∵OA＝OB，

∴OD＝OE，

∵∠DOE＝90°，

∴∠DOM＋∠MOE＝90°，

∵∠MON＝90°，

∴∠EON＋∠MOE＝90°，

∴∠DOM＝∠EON，

在RtDOM和RtEON中，

M△DONEO△

ODOE，

DOMEON

∴△DOM≌△EON（ASA），

∴OM＝ON．

（2）如圖2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，

22

由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，

22

ODOA1

∴，

OEOBk

由（1）知：

∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，

∴△DOM∽△EON，

第14頁(yè)共80頁(yè).

OMOD1

∴，

ONOEk

∴ON＝k?OM．

（3）如圖3，

設(shè)AC＝BC＝a，

∴AB＝2a，

∵OB＝k?OA，

k1

∴OB＝2?a，OA＝2?a，

k1k1

2k

∴OE＝OB＝a，

2k1

∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，

OEk

∴EN＝＝3OE＝3?a，

tanNk1

21

∵CE＝OD＝OA＝a，

2k1

1k

∴NC＝CE＋EN＝a＋3?a，

k1k1

OMOA1

由（2）知：，DOM∽△EON，

ONOBk

△

∴∠AMO＝∠N＝30°

AM1

∵，

PNk

OMAM

∴，

ONPN

∴△PON∽△AOM，

∴∠P＝∠A＝45°，

k

∴PE＝OE＝a，

k1

kk

∴PN＝PE＋EN＝a＋3?a，

k1k1

設(shè)AD＝OD＝x，

第15頁(yè)共80頁(yè).

∴DM＝3x，

由AD＋DM＝AC＋CM得，

（3＋1）x＝AC＋CM，

3131311

∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，

2222

∴k＞1

1k

a3a

NC13k

∴k1k1，

kk

PNa3ak3k

k1k1

PNPCNCPCk3k

1,

NCNCNC13k

PCk1

,

NC13k

NC13k

∴．

PCk1

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)

CM31

是條件＜得出k＞1．

AC2

一、解答題

1．（2021·湖北棗陽(yáng)·一模）問(wèn)題探究：

(1)如圖1，ABC、ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是．

(2)如圖2，在RtABC和RtADE中，ACBAED90，ABCADE30，連接BD、CE，試確定

BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

第16頁(yè)共80頁(yè).

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，ACBC，且ACBC，CD4，若將線段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90

得到DA，連接BA，則線段BA的長(zhǎng)度是．

【答案】(1)相等

(2)BD2CE

(3)42

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明EAC≌△DAB即可得到BD=CE；

AE△ACBDAD

（2）證明ΔEAD∽ΔCAB，得到，證得ΔEAC∽ΔDAB，推出2，由此得到結(jié)論BD2CE；

ADABCEAE

AA'ABAA'AD

（3）連接AA，得到AAD為等腰直角三角形，證明AAD，得到，推出，

ADACABAC

△A'BABΔ???∽△

證得BAA'．得到，求出A'B．

CDAC

Δ???∽△

(1)

解：（1）ABC、ADE均為等邊三角形，

ACAB，AEAD，EADCAB60，

，DAB60CAD，

∴∠?EA?C?=6D0A°B?，∠???

在EAC與DAB中，

AEAD

EACDAB，

ACAB

ΔEACΔDAB，

BDCE；

(2)

證明：BD2CE，

理由：ACBAED90，ABCADE30，

EADCAB60，AD2AE，AB2AC，

EACDAB，ΔEAD∽ΔCAB，

AEAC

，

ADAB

第17頁(yè)共80頁(yè).

ΔEAC∽ΔDAB，

BDAD

2，

CEAE

BD2CE；

(3)

解：連接AA，如圖③，

QACBC，且ACBC，

ABC為等腰直角三角形．

AB

2，

AC

將線段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)叫涡D(zhuǎn)90得到DA

AAD為等腰直角三角形．

△AAD．

AA'AB

∴Δ???∽△，

ADAC

又CABA'AD，

A'ABDAC，

AA'AB

，

ADAC

AA'AD

，

ABAC

ΔCAD∽BAA'．

A'BAB

△，即，

CDAC?'?

4=2

A'B42．

故答案為：42．

．

【點(diǎn)睛】

此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記各定理是解題

第18頁(yè)共80頁(yè).

的關(guān)鍵．

2．（2021·山東單縣·二模）如圖1，在RtABC中，B90，AB4，BC2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC

的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

AEAE

①當(dāng)0時(shí)，________；②當(dāng)180時(shí)，______．

BDBD

(2)拓展探究

AE

試判斷：當(dāng)0360時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．

BD

(3)問(wèn)題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)________．

【答案】(1)5，5

AE

(2)當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化，證明見(jiàn)解析

BD

35

(3)BD的長(zhǎng)為或5

5

【解析】

【分析】

（1）①當(dāng)α＝0°時(shí)，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、

△AE

AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)

BD

ACBCAE

＝，求出的值是多少即可．

AEDBBD

ECAC

（2）首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)＝＝5，判斷出ECA∽△DCB，然后由相似三角形的

DCBC

對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．△

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，

分別求解即可．

(1)

第19頁(yè)共80頁(yè).

解：①當(dāng)α＝0°時(shí)，

∵RtABC中，∠B＝90°，

△

∴AC＝AB2BC2＝2242＝25，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

11

∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，

252

AE

∴＝5．

BD

②如圖1中，

當(dāng)α＝180°時(shí)，

可得AB∥DE，

ACBC

∵＝，

AEBD

AEAC

∴＝＝5．

BDBC

故答案為：①5，②5．

(2)

解：如圖2，

AE

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化，

BD

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

第20頁(yè)共80頁(yè).

ECAC

又∵＝＝5，

DCBC

∴△ECA∽△DCB，

AEECAE

∴＝＝5，即當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化．

BDDCBD

(3)

解：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

在RtBCE中，CE＝5，BC＝2，

△

∴BE＝EC2BC2＝54＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

AE

∵＝5，

BD

5

∴BD＝＝5．

5

②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，

BE＝EC2BC2＝54＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，

AE

∵＝5，

BD

35

∴BD＝，

5

35

綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為或5．

5

【點(diǎn)睛】

第21頁(yè)共80頁(yè).

本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．

3．（2021·廣東花都·三模）△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．

(1)若∠BAC＝120°，

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上，BD＝AD，求證：DC＝2BD；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，連接CD，求CD的長(zhǎng)；

(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD為腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD

＝AE，直線DE交BC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②213

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）①由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠BAD，可得∠DAC＝90°，由含30°的直角三角形

的性質(zhì)可求解；②如圖2，以AB，AC為邊作等邊ABH，等邊ACH，以AD，BD為邊作等邊ADE，等

邊BDG，連接GH，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DG，交GD的△延長(zhǎng)線于N，△由“SAS”可證ADB≌△HGB，△DAC≌△

△△1△

EAH，可得AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°，DC＝EH，由直角三角形的性質(zhì)可得ND＝DE＝1，NE

2

＝3DN＝3，在RtNEH中，由勾股定理可求EH，即可；

（2）如圖3通過(guò)證明△ADE∽△ABC，可得∠ADE＝∠ABC，可證A、D、B、F四點(diǎn)共圓，可求∠BFA＝90°，

由等腰三角形的性質(zhì)可△證點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．

(1)

解：①證明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB＝30°

∵BD＝AD

∴∠ABD＝∠BAD＝30°

第22頁(yè)共80頁(yè).

∴∠DAC＝90°

∴CD＝2AD

∴CD＝2BD

②如圖2，以AB，AC為邊作等邊ABH，等邊ACH，以AD，BD為邊作等邊ADE，等邊BDG，連接

GH，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DG，交GD的△延長(zhǎng)線于N，△△△

∵△BDG和ABH都是等邊三角形

∴BD＝BG＝△DG＝4，AB＝BH，∠DBG＝∠ABH＝60°＝∠BGD

∴∠ABD＝∠GBH

在ADB和HGB中

△BD＝BG△

∵DBG＝ABH

AB＝BH

∴△ADB≌△HGB（SAS）

∴AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°

∴∠DGB+∠BGH＝180°

∴點(diǎn)G，H，D三點(diǎn)共線

∴DH＝4+2＝6

∵△ADE和ACH都是等邊三角形

∴AC＝AH，△∠AE＝AD＝DE＝2，∠DAE＝∠CAH＝∠EDA＝60°

∴∠DAC＝∠EAH

同理DAC≌△EAH（SAS）

∴DC△＝EH

∵∠BDG＝∠EDN＝60°，EN⊥DG

第23頁(yè)共80頁(yè).

∴∠DEN＝30°

1

∴ND＝DE＝1，NE＝DN＝

233

∴HN＝DH+DN＝7

∴EH＝EN2NH2349213

∴CD＝EH＝213．

(2)

連接AF，如圖3所示：

∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC

ADAE

∴

ABAC

∴△ADE∽△ABC

∴∠ADE＝∠AB

∴A、D、B、F四點(diǎn)共圓

∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°

∴AF⊥BC

∵AB＝AC

∴BF＝CF

∴點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四點(diǎn)共圓等知

識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

4．（2021·廣東·深圳市南山區(qū)太子灣學(xué)校二模）問(wèn)題背景：如圖（1），已知ABC∽△ADE，求證：ABD

∽△ACE；△△

嘗試運(yùn)用：如圖（2），在ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，

△

第24頁(yè)共80頁(yè).

1

AB＝4，AC＝3，AC與DE相交于點(diǎn)F，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)tan∠EDC＝時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；

2

1

拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝

2

△

23．求AD的長(zhǎng)．

【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)解析；嘗試運(yùn)用：35；拓展創(chuàng)新：410

25

【解析】

【分析】

ABACABAD

問(wèn)題背景：根據(jù)ABC∽△ADE，得出，∠BAC＝∠DAE，利用角的差得出∠BAD＝∠CAE，

ADAEACAE

即可；△

ABAD4

嘗試應(yīng)用：連接CE，先證ABC∽△ADE，==，再證BAD∽△CAE，得出∠B＝∠ACE，

ACAE3

ABBD4△EC1△3x11

==，可證∠DCE＝90°，根據(jù)tan∠EDC＝，列方程，求出x＝即可；

ACCE3DC254x22

拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，先證BDC∽△MDA，

BDDCBMDMBDCD1△

得出，再證BDM∽△CDA，得出==，tan∠BAD＝，得出BD＝2CD，

MDDAACADDCBD2

△

BM＝2AC＝43，DM＝2AD，根據(jù)勾股定理列方程AD2＋DM2＝AM2，AD2＋4AD2＝32，解方程即可．

【詳解】

證明：?jiǎn)栴}背景：

∵△ABC∽△ADE，

ABAC

∴，∠BAC＝∠DAE，

ADAE

∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，

ABAD

∴∠BAD＝∠CAE，，

ACAE

∴△ABD∽△ACE．

嘗試應(yīng)用：

第25頁(yè)共80頁(yè).

如圖（2），連接CE，

∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，

∴BC＝AB2AC2916＝5，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，

∴△ABC∽△ADE，

ABAC

∴，

ADAE

ABAD4

∴==，

ACAE3

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE=90°-∠DAC，

∴△BAD∽△CAE，

ABBD4

∴∠B＝∠ACE，==，

ACCE3

∴設(shè)BD＝4x，CE＝3x，

∴CD＝5－4x，

∵∠B＋∠ACB＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴∠DCE＝90°，

EC1

∵tan∠EDC＝，

DC2

3x1

∴，

54x2

1

∴x＝，

2

1

經(jīng)檢驗(yàn)x＝是方程的解，符合題意，

2

3

∴EC＝，CD＝3，

2

935

∴DE＝EC2DC29．

42

第26頁(yè)共80頁(yè).

拓展創(chuàng)新：

過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，

∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，

∵∠BAD＝∠DBC，

∴∠DAM＝∠BCD，

又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，

∴△BDC∽△MDA，

BDDC

∴，

MDDA

又∠BDC＝∠ADM，

∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，

即∠BDM＝∠CDA，

∴△BDM∽△CDA，

BMDMBD

∴==，

ACADDC

CD1

∵tan∠BAD＝，

BD2

∴BD＝2CD，

∴BM＝2AC＝43，DM＝2AD，

∴AM＝BM2AB2481642，

∵AD2＋DM2＝AM2，

∴AD2＋4AD2＝32，

410410

∴AD＝或舍去．

55

【點(diǎn)睛】

第27頁(yè)共80頁(yè).

本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解分式方程，一元二次方程，勾股定理．正確的作出

輔助線是解答本題的關(guān)鍵．

5．（2021·廣東深圳·三模）（1）問(wèn)題背景：如圖1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求證：ABE

∽△ACD；△

（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠BED＝45°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，連接CF．求

BE

的值；

CF

（3）拓展創(chuàng)新：如圖3，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，

連接DE，BG．當(dāng)DF＝1，S四邊形AEDF＝5時(shí)，則BG的長(zhǎng)為．

32

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）

2

【解析】

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DAECAB45，AB2AC，AE2AD，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例

且?jiàn)A角相等可得ABE∽ACD；

（2）根據(jù)條件，證明EDB∽FDC即可；

（3）由相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．

【詳解】

（1）證明：如圖，ACBADE90，ACBC，ADDE，

DAECAB45，且AB2AC，AE2AD，

ABAE

DACEAB，2，

ACAD

ABE∽ACD；

第28頁(yè)共80頁(yè).

（2）解：如圖2，連接BD，

E45，DFBE，

EDFE45，

在正方形ABCD中，BDC45，

EDBD

EDBFDC45FDB，2，

FDDC

EDB∽FDC，

BEBD

2；

CFCD

（3）解：如圖3，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EMAD于點(diǎn)M，

四邊形ABCD是正方形，

AC

ADAB，DAB90，DAC45，2，

AD

四邊形AEFG是正方形，

AF

AEAG，EAG90，EAF45，2，

AE

EADEAGDAG，GABDABDAG，EADEAFDAF，F(xiàn)ACDACDAF，

ACAF

EADGAB，EADFAC，

ADAE

第29頁(yè)共80頁(yè).

EADGAB(SAS)，ACF∽ADE，

CFAF

DEBG，2，

DEAE

設(shè)DMx，則BGDE2x，CF2DE2x，

S四邊形AEDFSADESADF5，

11

x(2x1)1(2x1)5，

22

3

2x23x90，解得：x3（舍去），x，

122

32

BG．

2

故答案為：32．

2

【點(diǎn)睛】

本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形以及相似三角形的的性質(zhì)．

6．（2022·上海市羅星中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知

AB＝9，AE＝6，AE2ABAD，且DC∥AE．

(1)求證：DE2AEDC；

(2)如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)BEx,EFy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)342

36x

(3)y3x9

81x2

【解析】

【分析】

（1）先證明ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行線性質(zhì)可推出∠ADE=∠DCE，進(jìn)而證得ADE

△△

第30頁(yè)共80頁(yè).

∽△ECD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得G為AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可證得ADE≌△ECD

1△

（SAS），再求得SAEBG182，根據(jù)ABE∽△AED且相似比為3:2，可求得S=S82，

ABE2ABECDE

△

由S四邊形ABCE=SABESAEDSCDE可求答案；

22

（3）由ABE∽△AED，可求得：DE=x，進(jìn)而得出DCx2，再利用ADE∽△ECD，進(jìn)而求得：

327

x2△△

CFEF，再結(jié)合題意得出答案．

81

(1)

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

∵AE2ABAD

ABAE

∴

AEAD

∴△ABE∽△AED

∵∠ABE=∠ADE

∴DC∥AE

∴AEDDCE，∠AED=∠CDE

∴∠ADE=∠DCE，

∴△ADE∽△ECD

AEDE

∴

DEDC

∴DE2AEDC

(2)

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE

∵BE=9=AB

第31頁(yè)共80頁(yè).

∴△ABE是等腰三角形

∴G為AE的中點(diǎn)，

由（1）可得ADE、ECD也是等腰三角形，

∵AE2AB△AD，AB△=BE=9，AE=6

∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3

∴△ADE≌△ECD（SAS）

在RtABG