專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題

【例1】（2022?泰安二模）拋物線yx22xm的頂點A在x軸上，與y軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式；

AB1

（2）如圖1，直線CD//AB交拋物線于C，D兩點，若，求COD的面積；

CD3

（3）如圖2，已知（2）中C點坐標，點P是第二象限拋物線上一點，是否存在點P，使得tanPCO2，若存

在，請求出點P坐標，若不存在，請說明理由．

第1頁共25頁.

【例2】（2022?江岸區(qū)校級模擬）拋物線yax2c(a0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且OB2OC，

．

SABC2

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

1

（2）如圖2，若M(4,m)，N是拋物線上兩點，N在對稱軸右側，且tanOMN，求N點坐標；

3

（3）如圖3，D是B點右側拋物線上的一動點，D、E兩點關于y軸對稱，直線DB、EB分別交直線x1于

G、Q兩點，GQ交x軸于P，求PGPQ的值．

第2頁共25頁.

【例3】（2022?沈陽模擬）如圖1，直線yx3分別交x軸，y軸于點B，C，經(jīng)過點B，C的拋物線yx2bxc

交x軸正半軸于點A．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖2，D是第三象限內(nèi)的拋物線上動點，DE//y軸交直線BC于點E，若CDE是等腰三角形，求點D

坐標；

1

（3）F是拋物線的頂點，直線BC上存在點M，使tanFMO，請直接寫出點M坐標．

2

第3頁共25頁.

【例4】（2022?湖北）拋物線yx24x與直線yx交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D．

（1）直接寫出點B和點D的坐標；

1

（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動點，當tanPDO時，求點P的坐標；

2

（3）如圖2，M是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標為m(0m5)，連接MQ，

S

，與直線交于點．設和的面積分別為和，求1的最大值．

BQMQOBEBEQBEMS1S2

S2

第4頁共25頁.

1

【例5】（2022?南充）拋物線yx2bxc與x軸分別交于點A，B(4,0)，與y軸交于點C(0,4)．

3

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，BCPQ頂點P在拋物線上，如果BCPQ面積為某值時，符合條件的點P有且只有三個，求點P

的坐標．

（3）如圖2，點M在第二象限的拋物線上，點N在MO延長線上，OM2ON，連接BN并延長到點D，使

NDNB．MD交x軸于點E，DEB與DBE均為銳角，tanDEB2tanDBE，求點M的坐標．

第5頁共25頁.

1

【例6】（2022?無錫）已知二次函數(shù)yx2bxc圖象的對稱軸與x軸交于點A(1,0)，圖象與y軸交于點B(0,3)，

4

C、D為該二次函數(shù)圖象上的兩個動點（點C在點D的左側），且CAD90．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若點C與點B重合，求tanCDA的值；

（3）點C是否存在其他的位置，使得tanCDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若

不存在，請說明理由．

第6頁共25頁.

一．解答題（共20題）

1．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期中）已知拋物線yax22axc的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），

與y軸正半軸交于C點，頂點為M，直線MDx軸于點D．

3

（1）當a0時，知OCMD，求AB的長；

4

（2）當a0時，若OCOB，tanACB2，求拋物線的解析式；

2．（2022春?德化縣期中）在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過原點O的拋物線yax2bxc(a0)與x軸的正半

軸交于點A(2m,0)，P為拋物線的頂點，且tanOAP2．

（1）已知m2．

①求二次函數(shù)的解析式；

②直線l:ykxb平行于AP，且將OAP分成面積相等的兩部分，求直線l的解析式．

（2）若Q為對稱軸右側的二次函數(shù)圖象上的一點，且直線AQ交對稱軸于點B，點B，C關于點P對稱，求證：

直線CQ過定點．

第7頁共25頁.

3．（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線yax22axc(a0)與y軸交于點C(0,3)，與x軸交于點A、

B，

（1）若點A的坐標為(3,0)；

①求該拋物線的解析式．

②tanCBO；

③點D是線段AB上的動點．過點D作DE//AC，交線段BC于點E，連接CD，設點D的橫坐標為m，CDE

的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式；當CDE的面積最大時，求點D的坐標；

（）已知、是拋物線上兩點；將拋物線上位于、兩點間的部分記為；把的最高點

2M(1,y1)N(2,y2)MNGG

與最低點的縱坐標的差記為d，當2?d?5時，求a的取值范圍．

第8頁共25頁.

4．（2022?長春模擬）在平面直角坐標系中，拋物線yax22ax3a(a0)的頂點為P，且該拋物線與x軸交于

A、B兩點（點A在點B的左側）．我們規(guī)定拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“區(qū)域G”（不包括邊界）；橫、

縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點．

（1）如果拋物線yax22ax3a經(jīng)過點(1,3)．

①求a的值；

②直接寫出“區(qū)域G”內(nèi)整數(shù)點的個數(shù)；

（2）當a0時，如果拋物線yax22ax3a在“區(qū)域G”內(nèi)有4個整數(shù)點，求a的取值范圍；

（3）當a0時，拋物線與直線xa交于點C，把點C向左平移5個單位長度得到點D，以CD為邊作等腰直

角三角形CDE，使DCE90，點E與拋物線的頂點始終在CD的兩側，線段DE與拋物線交于點F，當

2

tanECF時，直接寫出a的值．

3

第9頁共25頁.

5．（2022?長沙二模）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足290，那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角形”．

（1）判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請在對應橫線上畫“”，如果不是，請在對應橫線上畫

“”；

①其中有兩內(nèi)角分別為30，60的三角形；

②其中有兩內(nèi)角分別為50，60的三角形；

③其中有兩內(nèi)角分別為70，100的三角形；

k

（2）如圖1，點A在雙曲線y(k0)上且橫坐標為1，點B(4,0)，C為OB中點，D為y軸負半軸上一點，

x

若OAB90．

①求k的值，并求證：ABC為“CJ三角形”；

②若OAB與OBD相似，直接寫出D的坐標；

（3）如圖2，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，E為BC邊上一點，BECE且ABE是“CJ三

角形”，已知A(6,0)，記BEt，過A，E作拋物線yax2bxc(a0)，B在A右側，且在x軸上，點Q在

1

拋物線上，使得tanABQ，若符合條件的Q點個數(shù)為3個，求拋物線yax2bxc的解析式．

t3

第10頁共25頁.

6．如圖，拋物線yax2bx2(a0)與x軸交于點A(1,0)，B(2,0)，與y軸交于點C，點F是拋物線上一動

點，過點B，C作直線BC．

（1）求拋物線的解析式及tanCBO的值；

2

（2）當點F到直線BC的距離為時，求點F的坐標；

2

（3）過點F作FEx軸于點E，交直線BC于點D，若FCDACO45，求點F的坐標．

第11頁共25頁.

7．（2022?中山市三模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸

4

為直線x1，點A(1,0)，過B的直線交y軸于點D，交拋物線于E，且tanEBA．

3

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點P，使得BDP的面積最大，求出點P的坐標；

4

（3）點M是線段BE上的一點，求AMME的最小值，并求出此時點M的坐標．

5

第12頁共25頁.

8．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、點B分別在x的正半軸和y的正半軸上，

tanOAB3，拋物線yx2mx3經(jīng)過A、B兩點，頂點為D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）將OAB繞點A順時針旋轉90后，點B落到點C的位置，求四邊形ABCD的面積；

（3）將該拋物線沿y軸向上或向下平移，使其經(jīng)過點C，若點P在平移后的拋物線上，且滿足ACPABO，

求點P的坐標．

第13頁共25頁.

9．（2022?沈陽模擬）如圖，已知點A(4,0)，點B(2,1)，直線y2xb過點B，交y軸于點C，拋物線

15

yax2xc經(jīng)過點A，C．

4

（1）求拋物線的解析式；

4

（2）D為直線AC上方的拋物線上一點，且tanACD，求點D的坐標；

3

1

（3）平面內(nèi)任意一點P，與點O距離始終為2，連接PA，PC．直接寫出PAPC的最小值．

2

第14頁共25頁.

3

10．（2022春?西山區(qū)校級月考）已知對稱軸為直線x的拋物線經(jīng)過A(1,0)，C(0,4)兩點，拋物線與x軸的

2

另一個交點為B．

（1）求拋物線的解析式；

SPBD

（2）如圖1，若點P為第四象限拋物線上一點，連接OP，BC交于點D，連接BP，求的最大值；

SOBD

1

（3）如圖2，若點Q為拋物線上一點，且當tanBCQ，求點Q的坐標．

4

第15頁共25頁.

11．（2022春?漢川市校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為A(2cos60,2sin45)的拋物線經(jīng)過點B(5,3)，

且與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tanAOB的值；

（3）點M在第二象限內(nèi)的拋物線上，點N在x軸上，且MNDOAB，當DMN與OAB相似時，求點M的

坐標．

第16頁共25頁.

12．（2022秋?道里區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線yx3交x軸于點A，y

軸于點D，拋物線yx2bx3與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在第三象限拋物線上，P點橫坐標為t，連接AP、DP，APD的面積為s，求s關于t的函數(shù)關系式；

（不要求寫自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PD繞點P逆時針旋轉，與線段AD相交于點E，且EPD2PDC，過點E作EFPD

1

交PD于G，y軸于點F，連接PF，若sinPFC，求線段PF的長．

3

第17頁共25頁.

13．（2022?荊門模擬）拋物線yax2bxc與x軸交于點A(1,0)和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為

(1,4)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點P(m,n)在第一象限的拋物線上，且mn9，求點P的坐標；在線段PA上確定一點M，使DM

平分四邊形ACDP的面積，求點M的坐標；

（3）點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，連接OQ、AQ，設AOQ的外心為H，當sinOQA的值最大時，請

直接寫出點H的坐標．

第18頁共25頁.

14．（2022春?磐安縣期中）如圖，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于點A(1,0)，B(9,0)，與y軸交于點C，

已知OACOCB．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P在y軸上，在該拋物線的對稱軸上，是否存在唯一的點Q，滿足AQP90？如果存在，請求出點

P的坐標；如果不存在，請說明理由；

2

（3）若點P在y軸上，滿足sinAPB的點P是否存在？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說

3

明理由．

第19頁共25頁.

15．（2022?合肥模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于點A(2,0)，B(4,0)，

33

與直線yx3交于y軸上的點C，直線yx3與x軸交于點D．

22

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一一個動點，連接PC、PD，當PCD的面積最大時，求點P的坐標；

（3）將拋物線的對稱軸向左平移3個長度單位得到直線l，點E是直線l上一點，連接OE、BE，若直線l上存

在使sinBEO最大的點E，請直接寫出滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

第20頁共25頁.

16．（2022?高州市一模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yax2bx3與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點，

與y軸交于C點，D為拋物線頂點．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）如圖1，連接AD，交y軸于點E，點P是第一象限的拋物線上的一個動點，連接PD交x軸于F，連接EF、

，若，求點的坐標．

APSADP3SDEFP

（3）點Q是拋物線對稱軸上一動點，連接OQ、AQ，設AOQ外接圓圓心為H，當sinOQA的值最大時，請

求出點H的坐標．

第21頁共25頁.

17．（2022?夏津縣模擬）如圖，拋物線yax2bx2與x軸交于A，B兩點，且OA2OB，與y軸交于點C，

1

連接BC，拋物線對稱軸為直線x．D為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DEOA于點E，與AC交

2

于點F，設點D的橫坐標為m．

（1）求拋物線的表達式；

（2）當線段DF的長度最大時，求sinDCF的值；

（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點G是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在點P，使得以點P，B，C，G為

頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

第22頁共25頁.

18．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx2與x軸交點為A(4,0)、B(1,0)，與y

軸交于點C，P為拋物線上一點，過點P作PDAC于D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，若P在直線AC上方，PEx軸于E，交AC于F．

①求sinPFD的值；

②求線段PD的最大值．

（3）如圖2，連接PC，當PCD與ACO相似時，直接寫出點P的坐標．

第23頁共25頁.

19．（2022?廣東模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線