專題23二次函數(shù)推理計(jì)算與證明綜合問(wèn)題 （原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專題23二次函數(shù)推理計(jì)算與證明綜合問(wèn)題

【例1】（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋

物線的對(duì)稱軸為直線x＝t．

（1）當(dāng)c＝2，m＝n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；

（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．

【例2】（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．

（3）當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．

【例3】（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

第1頁(yè)共10頁(yè).

2

【例4】（2022?杭州）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．

（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱軸．

2

（2）若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1＝2（x﹣h）﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值．

（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達(dá)式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，

當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x0，0）時(shí)，求x0﹣m的值．

【例5】（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)（1，

1），（，），（﹣，﹣），……都是和諧點(diǎn)．

（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

第2頁(yè)共10頁(yè).

一．解答題（共20題）

1．（2022?瑞安市校級(jí)三模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．

（1）求這條拋物線的對(duì)稱軸；若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求a的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，y1），Q（4，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．

2

2．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1）、點(diǎn)B（x2，y2）為拋物線y＝ax﹣2ax+a

（a≠0）上的兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2時(shí)，試判斷y1與y2的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）若當(dāng)t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3時(shí)，存在y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．

3．（2022?新野縣三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2．

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）若當(dāng)x滿足1≤x≤5時(shí)，y的最小值為﹣6，求此時(shí)y的最大值．

第3頁(yè)共10頁(yè).

4．（2022?蕭山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．

（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）若（x1，y1），（x1，y2）為此函數(shù)圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝﹣2時(shí)，恒有y1＝y(tǒng)2，試求此函數(shù)的最

值．

（3）當(dāng)a＜0且a≠﹣1時(shí)，判斷該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)所在象限，并說(shuō)明理由．

2

5．（2022?盈江縣模擬）拋物線C1：y＝x+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3．

（1）求b，c的值；

2

（2）拋物線C2：y＝﹣x+mx+n經(jīng)過(guò)拋物線C1的頂點(diǎn)P．

①求證：拋物線C2的頂點(diǎn)Q也在拋物線C1上；

②若m＝8，點(diǎn)E是在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間拋物線C1上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線C2于點(diǎn)F，求EF

長(zhǎng)度的最大值．

2

6．（2022?沂水縣二模）拋物線y＝ax+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，5）；點(diǎn)P（2，c），Q（x0，y0）是拋物線

上的點(diǎn)．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若x0＞﹣6，比較c、y0的大?。?/p>

（3）若直線y＝m與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，（M、N兩點(diǎn)不重合），當(dāng)MN≤5時(shí)，求m的取值范圍．

第4頁(yè)共10頁(yè).

7．（2022?姜堰區(qū)二模）設(shè)一次函數(shù)y1＝2x+m+n和二次函數(shù)y2＝x（2x+m）+n．

（1）求證：y1，y2的圖象必有交點(diǎn)；

（2）若m＞0，y1，y2的圖象交于點(diǎn)A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，設(shè)C（x3，b）為y2圖象上一點(diǎn)，

且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

（3）在（2）的條件下，如果存在點(diǎn)D（x1+2，c）在y2的圖象上，且a＞c，求m的取值范圍．

8．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．

（1）求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若直線y＝n與該拋物線交于點(diǎn)A、B，且AB＝4，求n的值；

（3）若這條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范圍．

2

9．（2022?黃巖區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y1＝ax+bx+3與直線y2＝x+1．

2

（1）當(dāng)拋物線y1＝ax+bx+3與直線y2＝x+1兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1和2時(shí)．

①求拋物線解析式；

②直接寫出當(dāng)y1＞y2，時(shí)x的取值范圍；

（2）設(shè)y＝y(tǒng)1﹣y2，當(dāng)x＝m時(shí)y＝M，x＝n時(shí)y＝N，當(dāng)m+n＝1（m≠n）時(shí)，M＝N．求證：a+b＝1．

第5頁(yè)共10頁(yè).

10．（2022?路橋區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常數(shù)）．

（1）求證：不論m取何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)A（2m+1，7）在該二次函數(shù)的圖象上，求該二次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線y＝x2﹣（m+2）x+m與直線y＝x+t（t是常數(shù)）在第四象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，

請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

11．（2022?安徽模擬）已知：拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與直線x＝﹣2交于點(diǎn)P．

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，﹣2）時(shí)，求拋物線解析式；

（2）設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yp，當(dāng)yp取最小值時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比較

y1與y2的大??；

（3）若線段AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，2），當(dāng)拋物線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取

值范圍．

12．（2022?富陽(yáng)區(qū)一模）已知拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣）．

（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)（2，1），求拋物線的解析式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；

當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，試判斷點(diǎn)（2，﹣9）在不在此拋物線上；

（3）拋物線上有兩點(diǎn)E（0，n）、F（b，m），當(dāng)b≤﹣2時(shí)，m≤n恒成立，試求a的取值范圍．

第6頁(yè)共10頁(yè).

13．（2022?河?xùn)|區(qū)二模）已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣4）與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2）．

（Ⅰ）求拋物線y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)拋物線與x軸的正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D滿足∠DPA＝90°，PD＝PA．

（i）若點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（ii）點(diǎn)E（2，﹣）在拋物線上，連接PE，當(dāng)PE平分∠APD時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

14．（2022?長(zhǎng)春模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c（b、c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）和（2，

7），點(diǎn)A在這個(gè)拋物線上，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)B在這個(gè)拋物線上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1﹣2m．

①當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，求OABC的面積．

②將此拋物線A、B兩點(diǎn)之間的部分（包括A、B兩點(diǎn)）記為圖象G，當(dāng)頂點(diǎn)C在圖象G上，記圖象G最高

點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，2﹣m），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1﹣m，2﹣m），點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi)，以A、D、E、F為

頂點(diǎn)構(gòu)造矩形，當(dāng)此拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

第7頁(yè)共10頁(yè).

15．（2022?長(zhǎng)春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于

y軸．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；

（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，

y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．

①當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若對(duì)于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范圍；

（3）當(dāng)圖象G與直線y＝m+2恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

2

16．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)一模）已知：拋物線C1：y＝ax+bx+c（a＞0）．

（1）若頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求b和c的值（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)c＜0時(shí)，求函數(shù)y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；

（3）若不論m為任何實(shí)數(shù)，直線與拋物線C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a，b，c的值；此時(shí)，

若k≤x≤k+1時(shí)，拋物線的最小值為k，求k的值．

17．（2022?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），該圖象與直線x＝2相交于點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)c＞0時(shí)，求該函數(shù)的圖象頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；

（3）點(diǎn)M（m，0）、N（n，0）是該函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)m＞﹣2，n＜3時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象分析a

的取值范圍．

第8頁(yè)共10頁(yè).

18．（2022?江都區(qū)一模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，

那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝

﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．

（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函數(shù)的為（只填序號(hào)即可），其上確界

為；

（2）若反比例函數(shù)y＝（a≤x≤b，a＞0）的上確界是b+1，且該函數(shù)的最小值為2，求a、b的值；

（3）如果函數(shù)y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

19．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線y＝ax2﹣（3a﹣1）x