專題05 二次函數(shù)-線段最大值問題（解析版）

第五講二次函數(shù)--線段最大值問題

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一單個線段的最大值.............................................................................................................................1

考點二線段之和的最大值.............................................................................................................................6

考點三線段之差的最大值...........................................................................................................................24

考點四線段之比的最大值...........................................................................................................................27

知識導(dǎo)航

必備知識點

考點一單個線段的最大值

1．如圖1，拋物線y＝﹣+bx+c過點A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點，點C在

y軸上，點B的縱坐標(biāo)為﹣．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為

對稱軸上一動點，當(dāng)線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；

第1頁共31頁.

【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+交于C點，點C在y軸上，

∴C（0，），

將點A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣+x+；

（2）設(shè)D（t，﹣t2+t+），則E（t，﹣t+），

∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，

∴當(dāng)t＝2時，DE的長度最大為2，

此時D（2，），

∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的解析式為直線x＝1，

∵C（0，），

∴C點、D點關(guān)于直線x＝1對稱，

連接AC交對稱軸于點P，

∴PD＝PC，

∴PD+PA＝PC+PA≥AC，

∴當(dāng)C、P、A三點共線時，PA+PD的值最小，

第2頁共31頁.

∴AC＝，

∴PA+PD的最小值為；

2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值

及此時點D的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，

2）．

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；

（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，如圖．

第3頁共31頁.

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝x+2．

設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，

∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2

∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，

∵DE⊥AC，DH⊥AB，

∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，

∵∠DGE＝∠AGH，

∴∠EDG＝∠CAO，

∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，

∴，

∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，

∴當(dāng)m＝﹣2時，點D到直線AC的距離取得最大值．

2

此時yD＝﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）+2＝2，

即點D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；

第4頁共31頁.

2

3．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左

側(cè)），與y軸交于點C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式；

（2）若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PE∥x軸交BC于點E，求PE的最大值及此

時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，

∴C（0，3），OC＝3，

∵tan∠CAO＝2，

∴，

∴AO＝，

∴，

∵B（4，0），

∴設(shè)，

將C（0，3）代入得：，

∴，即，

（2）過點P作PF∥y軸交直線BC于點F，如圖：

第5頁共31頁.

∵PE∥x軸，PF∥y軸，

∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，

∴△CBO～△FEP，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，

由B（4，0）、C（0，3）得直線BC解析式為：，

∴，

∵PF＝y(tǒng)P﹣yF，

∴，

∴＝﹣（m﹣2）2+，

∴，此時；

考點二線段之和的最大值

4．如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、點B（點A在點B左側(cè)），與

y軸交于點C（0，3），tan∠CBO＝．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點E，

求PD+BE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

第6頁共31頁.

【解答】解：（1）∵點C的坐標(biāo)為（0，3），

∴OC＝3，

∵tan∠CBO＝＝，

∴OB＝6，

∴點B的坐標(biāo)為（6，0），

由拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（6，0）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），

將點C（0，3）代入解析式為a×（0+2）×（0﹣6）＝3，

∴a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．

（2）過點P作PF∥x軸交BC于點F，

∵PE∥BC，

∴四邊形PEBF為平行四邊形，

∴PF＝BE，

∴PD+BE＝PD+PF，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+3），則點D的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），

∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，

∵PF∥x軸，

∴點F和點P的縱坐標(biāo)相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，

第7頁共31頁.

∴x＝m2﹣2m，

∴點F的坐標(biāo)為（m2﹣2m，﹣m2+m+3），

∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，

∴當(dāng)m＝3時，PD+BE的最大值為，

此時，點P的坐標(biāo)為（3，）；

5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點（點A在

點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；

（2）連接AC，點P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動點，過點P作PD⊥AC

交AC于點D，PE⊥x軸交AC于點E，求PD+DE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）在中，

令x＝0，．

∴C，

令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，

∵xA＜xB，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）∵PE⊥x軸，y⊥x軸，

∴PE∥y軸，

第8頁共31頁.

∴∠PED＝∠ACO，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴△PED∽△ACO，

∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，

在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，

∴，

∴，

∴，，

∴，

當(dāng)PE最大時，PD+DE最大，

設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，

∵A（﹣3，0），，

∴，

∴直線．

設(shè)，﹣3＜m＜0，

∴，

∴，

∵，﹣3＜m＜0，

∴時，，

∴，

∴．

6．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，交y軸于點C

（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

第9頁共31頁.

（2）如圖2，點P為直線AC上方且拋物線對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，過點P作x軸的平行線

交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求PD+PH的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）由題意可設(shè)二次函數(shù)的交點式為y＝a（x+4）（x﹣1），

將點C（0，3）代入函數(shù)解析式，得﹣4a＝3，

∴a＝﹣，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+3；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則

，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝x+3，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣x+3），則點D的坐標(biāo)為（﹣3﹣x，﹣x2﹣x+3），點H的坐

標(biāo)為（x，x+3），

∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣5x﹣3＝﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x＝﹣時，PD+PH有最大值，

此時，點P的坐標(biāo)為（﹣，）；

7．已知，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（﹣8.0）、B（2，0）（點A在點B的左側(cè)），

與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點E、G是直線AC上方拋物線上的點，點E位于拋物線對稱軸的左側(cè)，設(shè)點G的

橫坐標(biāo)為g，則點E的橫坐標(biāo)比點G的橫坐標(biāo)g小2．過E作EF∥x軸，交拋物線于點F，過G

第10頁共31頁.

作GH∥x軸，交直線AC于點H，當(dāng)EF+2GH的值最大時，求EF+2GH的最大值及此時點E的

坐標(biāo)；

【解答】解：（1）把A（﹣8.0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4；

（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，

∴C（0，4），

由A（﹣8，0），C（0，4）得直線AC解析式為y＝x+4，

∵點G的橫坐標(biāo)為g，

∴G（g，﹣g2﹣g+4），

在y＝x+4中，令y＝﹣g2﹣g+4得x＝﹣g2﹣3g，

∴H（﹣g2﹣3g，﹣g2﹣g+4），

∴GH＝﹣g2﹣3g﹣g＝﹣g2﹣4g，

∵點E的橫坐標(biāo)比點G的橫坐標(biāo)g小2，

∴xE＝g﹣2，

∵拋物線y＝﹣x2﹣x+4對稱軸為直線x＝﹣3，

∴EF＝2[﹣3﹣（g﹣2）]＝﹣2﹣2g，

第11頁共31頁.

∴EF+2GH＝﹣2﹣2g+2（﹣g2﹣4g）＝﹣g2﹣10g﹣2＝﹣（g+5）2+23，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)g＝﹣5時，EF+2GH最大值為23，

此時xE＝g﹣2＝﹣5﹣2＝﹣7，

在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝﹣7得y＝，

∴E（﹣7，）；

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（，0），直線y＝x+

與拋物線交于C，D兩點，點P是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個動點．過點P作PG⊥CD，

垂足為G，PQ∥y軸，交x軸于點Q．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PG+PQ取得最大值時，求點P的坐標(biāo)和PG+PQ的最大值；

【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（，0）兩點，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣．

（2）如圖，過點P作PE∥x軸交CD于點E，

第12頁共31頁.

∴∠DEP＝45°，

∴△PGE是等腰直角三角形，

∴PE＝PG，

設(shè)點P（t，t2﹣t﹣），則Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），

∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴PG+PQ＝PE+PQ

＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）

＝﹣2（t﹣1）2+，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)點P（1，﹣3）時，PG+PQ的最大值為．

9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于

點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上有一動點M，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，交直線BC于

點D；是否存在點M，使得MD+DC取得最大值，若存在請求出它的最大值及點M的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由；

第13頁共31頁.

【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，

∴﹣＝﹣，

∴b＝3a，

∴y＝ax2+3ax+c，

將A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，

∴，

∴，

∴y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）存在點M，使得MD+DC取得最大值，理由如下；

令y＝0，則﹣x2﹣3x+4＝0，

∴x＝﹣4或x＝1，

∴B（﹣4，0），

∵OB＝OC＝4，

∴∠CBO＝45°，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x+4，

設(shè)M（m，﹣m2﹣3m+4），則D（m，m+4），

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴MD＝﹣m2﹣4m，

第14頁共31頁.

如圖1，過點D作DG⊥y軸交于點G，

∵∠DCG＝45°，

∴CD2＝2DG2，

∴DG＝CD，

∵DG＝﹣m，

∴MD+DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，

∴當(dāng)m＝﹣時，MD+DC有最大值，

此時M（﹣，）；

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交

于點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC下方的拋物線上有一動點P，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，交直線BC于

點N，求PN+CN的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)；

第15頁共31頁.

【解答】解：（1）將點A（1，0），C（0，﹣3）分別代入y＝ax2+bx+c得，

，解得：b＝﹣a+3，

∵函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴﹣＝﹣1，即b＝2a，

∴﹣a+3＝2a，

∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3．

（2）當(dāng)y＝0時，x2+2x﹣3＝0，

解得：x＝1或x＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

過點C作直線PM的垂線，垂足為點H，

∵點B（﹣3，0），點C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴△CHN是等腰直角三角形，

∴CN＝CH，

∴PN+CN＝PN+2CH，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點N的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），

第16頁共31頁.

∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，

∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，

∴PN+CN的最大值為，此時點P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B

兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標(biāo)為，直線BC的解析式為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為線段BC上方拋物線上的任意一點，過點P作PD∥y軸，交BC于點D，過點D作

DE∥AC交x軸于點E．求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵，令x＝0，y＝4；令y＝0，得x＝2，

∴B（2，0），C（0，4），

將A（，0），B（2，0），C（0，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c，

得，解得，

第17頁共31頁.

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4．

（2）如圖，延長PD交x軸于點F，

設(shè)P（t，﹣t2+t+4），D（t，﹣t+4），

∴PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，

DF＝﹣t+4，

在Rt△AOC中，OA＝，OC＝4，

∴AC＝3，

∴sin∠CAO＝＝＝，

∵PD∥y軸，DE∥AC，

∴∠DEF＝∠CAO，

∴sin∠DEF＝sin∠CAO＝，

∴DE＝DF，

∴DE＝DF，

∴PD+＝（﹣t2+2t）+（﹣t+4）

＝﹣t2+t+6

＝﹣（t﹣）2+，

∴P（，）．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣6，0），B（4，0），與y

軸交于點C．

第18頁共31頁.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1，點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BD交y軸于點G，作直線OD，點P

為線段BD上方的拋物線上任意一點，過點P作PE∥y軸交BD于點E，過點P作PF⊥直線OD

于點F．當(dāng)PE+PF為最大時，求這個最大值及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣6，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴該拋物線的解析式為y＝x2x+4；

（2）在y＝x2x+4中，令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4），

∵拋物線y＝x2x+4的對稱軸為直線x＝﹣1，且點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（﹣2，4），

設(shè)直線BD的解析式為y＝k（x﹣4），把D（﹣2，4）代入得，k（﹣2﹣4）＝4，

解得：k＝﹣，

∴直線BD的解析式為y＝x+，

同理，直線OD的解析式為y＝﹣2x，

設(shè)P（m，m2m+4），

∵PE∥y軸，

第19頁共31頁.

∴E（m，m+），

∴PE＝m2m+4﹣（m+）＝m2+m+，

如圖1，過點D作DW⊥x軸于點W，延長PE交直線DO于點H，

∵PH∥DG，

∴∠PHF＝∠ODW，

∵D（﹣2，4），

∴OW＝2，DW＝4，

在Rt△ODW中，OD＝＝＝2，

∵sin∠ODW＝＝＝，

∴sin∠PHF＝sin∠ODW＝，

∴＝，

∴PF＝PH，

∵H（m，﹣2m），

∴PH＝m2m+4﹣（﹣2m）＝m2+m+4，

∴PF＝（m2+m+4），

∴PE+PF＝m2+m++×（m2+m+4）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）

2+，

∵點P為線段BD上方的拋物線上任意一點，

∴﹣2＜m＜4，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝時，PE+PF的值最大，最大值為，

此時，點P的坐標(biāo)為（，）；

第20頁共31頁.

13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），與

y軸交于點C，連接AC

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，連接BC，點P為第一象限拋物線上一動點，過點P作PM∥x軸交直線BC于點M，

過點P作PN∥AC交x軸于點N，求PN+PM的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+x+4；

（2）設(shè)P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），

如圖，過點P作PG⊥x軸于點G，則∠PGN＝90°，PG＝t2+t+4，

∵拋物線y＝x2+x+4與y軸交于點C，

∴C（0，4），

第21頁共31頁.

∴OC＝4，

∵OA＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵PN∥AC，

∴∠PNG＝∠CAO，

∵∠PGN＝∠COA＝90°，

∴△PNG∽△CAO，

∴＝＝＝，

∴PG＝PN，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

∵PM∥x軸，

∴點M的縱坐標(biāo)為t2+t+4，

∴﹣x+4＝t2+t+4，

解得：x＝t2﹣t，

∴M（t2﹣t，t2+t+4），

∴PM＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+2t，

∴PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣1＜0，0＜t＜4，

∴當(dāng)t＝時，PN+PM有最大值，最大值為，此時點P的坐標(biāo)為（，）；

第22頁共31頁.

14．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y

軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P是直線上方拋物線上的一點，過點P作PD∥AC交BC于E，交x軸于點D，

求PE+BE的最大值以及此時點P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）如圖，過點E作x軸的平行線，過點P作PJ⊥x軸于J，并與過E點的平行線交點H，過

點B作BK⊥EH的延長線于K，

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則可得四邊形HKBJ為矩形，

由（1）可得C（0，3），

則有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，

∵AC∥DP，EK∥x軸，KB⊥x軸，CO⊥x軸，

∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，

∴，，

∴，，

∴PH＝，，

∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，

∵當(dāng)P在拋物線的頂點時，有PJ的最大值，

∴當(dāng)P在拋物線頂點時，有+最大值，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

求得拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4），

∵當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，4）時，PJ＝4，

∴當(dāng)+最大時，P點坐標(biāo)為（1，4），

∴＝2?（+）＝8，此時點P的坐標(biāo)為（1，4）．

考點三線段之差的最大值

15．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與

y軸交于點C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AC交x軸于點D，交BC于點E，求

第24頁共31頁.

BE的最大值及點P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，

∴AO＝＝2，A（﹣2，0），B（6，0），

∴，解得，

∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x+6．

（2）如圖1，作PH⊥x軸于點H，交BC于點J，作EI⊥PH于點I、EK⊥x軸于點K．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+6，則6k+6＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+6；

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝px+6，則﹣2p+6＝0，解得p＝3，

∴y＝3x+6．

設(shè)P（m，m2+2m+6），由PD∥AC，設(shè)直線PD的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x+n，

則m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，

∴y＝3xm2﹣m+6．

由，得，

∴E（，）．

∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，

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∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，

∴PE＝EI，

∴PE＝10EI＝10（m﹣﹣）＝m﹣m2，

∵BE＝BK，

∴BE＝2BK＝2（6﹣﹣）＝12﹣﹣，

∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2+8m﹣12＝﹣（m﹣4）2+4，

∴當(dāng)m＝4時，BE的最大值，最大值為4，此時P（4，6）．

16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，

已知A（﹣1，0），直線BC的解析式為y＝x﹣3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在線段BC上有一動點D，過點D作DE⊥BC交拋物線于點E，過點E作y軸的平行線交

BC于點F．求EF﹣DE的最大值，以及此時點E的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）對y＝x﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，當(dāng)y＝0時，x＝3，

∴B（3，0），C（0，3），

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∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

將點C（0，﹣3）代入得，﹣3a＝﹣3，

∴a＝1，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，

∵EF∥y，

∴∠EFD＝∠OCB＝45°，

∵ED⊥BC，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DE＝EF，

∴EF﹣＝EF﹣×EF＝EF，

∴當(dāng)EF取最大時，EF﹣DE取得最大值，

設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則點F的坐標(biāo)為（x，x﹣3），

∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）+，

∴x＝時，EF的最大值為，

∴EF﹣DE的最大值為×＝，點E的坐標(biāo)為（，﹣）；

考點四線段之比的最大值

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線