專題5 選擇題重點出題方向二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)專項訓(xùn)練（解析版）

專題5選擇題重點出題方向二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)專項訓(xùn)練

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1．（2022?淄博）若二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過P（1，3），Q（m，n）兩點，則代數(shù)式n2﹣4m2﹣4n+9

的最小值為（）

A．1B．2C．3D．4

思路引領(lǐng)：利用非負數(shù)的性質(zhì)，利用配方法解決問題即可．

解：∵二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過P（1，3），

∴3＝a+2，

∴a＝1，

∴y＝x2+2，

∵Q（m，n）在y＝x2+2上，

∴n＝m2+2，

∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，

∵（m2﹣2）2≥0，

∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為1．

故選：A．

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)圖像上的點的坐標特征，非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用配

方法解決問題．

2．（2022?阜新）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（）

A．點（0，2）在函數(shù)圖象上B．開口方向向上

C．對稱軸是直線x＝1D．與直線y＝3x有兩個交點

思路引領(lǐng)：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函數(shù)值再與點的縱坐標進行比較；

B、化簡二次函數(shù)：y＝﹣3x2+3x+6，根據(jù)a的取值判斷開口方向；

C、根據(jù)對稱軸公式計算；

D、把函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，根據(jù)判別式的取值來判斷．

解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），

得y＝6≠2，

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∴A錯誤；

B、化簡二次函數(shù)：y＝﹣3x2+3x+6，

∵a＝﹣3＜0，

∴二次函數(shù)的圖象開口方向向下，

∴B錯誤；

C、∵二次函數(shù)對稱軸是直線x

?

=?

，2?

1

∴=C2錯誤；

D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，

∴﹣3x2+3x+6＝3x，

∴﹣3x2+6＝0，

∵b2﹣4ac＝72＞0，

∴二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個交點，

∴D正確；

故選：D．

總結(jié)提升：此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、

正比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握這幾個知識點的應(yīng)用，其中函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題是解題關(guān)鍵．

3．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值

為（）

A．或4B．或C．或4D．或4

14141

???

思路2引領(lǐng)：分兩種情況討論3：當(dāng)2a＞0時，﹣a＝﹣43，解得a＝4；當(dāng)a＜02時，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣

4，解得a．

1

解：y＝a（=x?﹣21）2﹣a的對稱軸為直線x＝1，

頂點坐標為（1，﹣a），

當(dāng)a＞0時，在﹣1≤x≤4，函數(shù)有最小值﹣a，

∵y的最小值為﹣4，

∴﹣a＝﹣4，

∴a＝4；

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當(dāng)a＜0時，在﹣1≤x≤4，當(dāng)x＝4時，函數(shù)有最小值，

∴9a﹣a＝﹣4，

解得a；

1

=?

綜上所述：2a的值為4或，

1

故選：D．?2

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，

在指定的范圍內(nèi)準確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．

類型二二次函數(shù)的字母系數(shù)相關(guān)問題

4．（2022?煙臺）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x，且與x軸

1

的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結(jié)論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關(guān)于=x?的2一元二次方

程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號是（）

A．①③B．②④C．③④D．②③

思路引領(lǐng)：根據(jù)對稱軸、開口方向、與y軸的交點位置即可判斷a、b、c與0的大小關(guān)系，然后將由對

稱軸可知a＝b．圖象過（﹣2，0）代入二次函數(shù)中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函數(shù)最小值小于0，從

而可判斷ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解．

解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，

?

∴b＞0，?2?

∴abc＜0，故①不符合題意．

②由題意可知：，

?1

∴b＝a，故②符?合2題?意=．?2

③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，

∴4a﹣2b+c＝0，

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∵a＝b，

∴2a+c＝0，故③符合題意．

④由圖象可知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值小于0，

令y＝1代入y＝ax2+bx+c，

∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．

故選：D．

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確地由圖象得出a、b、c的數(shù)量關(guān)

系，本題屬于基礎(chǔ)題型．

5．（2022?郴州）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+5，下列說法正確的是（）

A．函數(shù)圖象的開口向下

B．函數(shù)圖象的頂點坐標是（﹣1，5）

C．該函數(shù)有最大值，最大值是5

D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大

思路引領(lǐng)：通過分析二次函數(shù)頂點式判斷函數(shù)圖象開口方向、頂點坐標、最值以及增減性即可求解．

解：y＝（x﹣1）2+5中，

x2的系數(shù)為1，1＞0，函數(shù)圖象開口向上，A錯誤；

函數(shù)圖象的頂點坐標是（1，5），B錯誤；

函數(shù)圖象開口向上，有最小值為5，C錯誤；

函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，x＜1時y隨x的增大而減??；x＞1時，y隨x的增大而增大，D正確．

故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象的基本知識和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．

6．（2022?梧州）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x＝﹣1，直線l∥x軸，且交拋物線于點

P（x1，y1），Q（x2，y2），下列結(jié)論錯誤的是（）

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A．b2＞﹣8a

B．若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm

C．3a﹣2＞0

D．當(dāng)y＞﹣2時，x1?x2＜0

思路引領(lǐng)：根據(jù)函數(shù)圖象可知a＞0，由此可判斷出A；根據(jù)拋物線的對稱軸可得出b＝2a，也可得出函

數(shù)的最小值，在x＝﹣1處取到，由此可判斷B；令x＝0，則y＝﹣2，即拋物線與y軸交于點（0，﹣2），

根據(jù)函數(shù)圖象可直接判斷D；C沒有直接條件判斷．

解：根據(jù)函數(shù)圖象可知a＞0，根據(jù)拋物線的對稱軸公式可得x1，

?

∴b＝2a，=?2?=?

∴b2＞0，﹣8a＜0，

∴b2＞﹣8a．故A正確，不符合題意；

∵函數(shù)的最小值在x＝﹣1處取到，

∴若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若實數(shù)m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm．故B正確，不符合

題意；

∵l∥x軸，

∴y1＝y(tǒng)2，

令x＝0，則y＝﹣2，即拋物線與y軸交于點（0，﹣2），

∴當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞﹣2時，x1＜0，x2＞0．

∴當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞﹣2時，x1?x2＜0．故D正確，不符合題意；

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∵a＞0，

∴3a＞0，沒有條件可以證明3a＞2．故C錯誤，符合題意；

故選：C．

總結(jié)提升：本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想等知識，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵．

7．（2022?涼山州）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0）和點（0，﹣3），且對稱軸在y軸的左側(cè)，則

下列結(jié)論錯誤的是（）

A．a(chǎn)＞0

B．a(chǎn)+b＝3

C．拋物線經(jīng)過點（﹣1，0）

D．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個不相等的實數(shù)根

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意做出拋物線y＝ax2+bx+c的示意圖，根據(jù)圖象的性質(zhì)做出解答即可．

解：由題意作圖如下：

由圖知，a＞0，

故A選項說法正確，不符合題意，

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0）和點（0，﹣3），

∴a+b+c＝0，c＝﹣3，

∴a+b＝3，

故B選項說法正確，不符合題意，

∵對稱軸在y軸的左側(cè)，

∴拋物線不經(jīng)過（﹣1，0），

故C選項說法錯誤，符合題意，

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由圖知，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個交點，故關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩

個不相等的實數(shù)根，

故D選項說法正確，不符合題意，

故選：C．

總結(jié)提升：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8．（2022?安順）在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點．例如：點

（1，1），（，），（，），……都是和諧點．

11

?2?2

（1）判斷函數(shù)2y＝22x+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；

（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（，）．

55

①求a，c的值；22

②若1≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實數(shù)m的取值范圍．

1

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)函數(shù)y＝2x+1的和+諧4點為（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；

（2）將點（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一個根，Δ＝25﹣4ac＝0，兩個方程

55

聯(lián)立即可求a2、c2的值；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，當(dāng)x＝1時，y＝﹣1，當(dāng)x＝3時，y＝3，當(dāng)x＝5時，y＝

﹣1，則3≤m≤5時滿足題意．

解：（1）存在和諧點，理由如下，

設(shè)函數(shù)y＝2x+1的和諧點為（x，x），

∴2x+1＝x，

解得x＝﹣1，

∴和諧點為（﹣1，﹣1）；

（2）①∵點（，）是二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的和諧點，

55

∴a+15+c2，2

525

=

∴c24a，

2525

∵二=次?函4數(shù)?y＝2ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點，

∴ax2+6x+c＝x有且只有一個根，

∴Δ＝25﹣4ac＝0，

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∴a＝﹣1，c；

25

②由①可知=y?＝﹣4x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，

當(dāng)x＝1時，y＝﹣1，

當(dāng)x＝3時，y＝3，

當(dāng)x＝5時，y＝﹣1，

∵函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1；

當(dāng)3≤m≤5時，函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1．

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，并與二次函

數(shù)的性質(zhì)結(jié)合解題是關(guān)鍵．

類型三拋物線的旋轉(zhuǎn)、平移

9．（2022?通遼）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向

下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（）

A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1

思路引領(lǐng)：根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．

解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物

線的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．

故選：D．

總結(jié)提升：主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求

函數(shù)解析式．

類型四拋物線與方程（組）、不等式（組）之間的關(guān)系

10．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），拋物線的

對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④

點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

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A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領(lǐng)：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．

解：根據(jù)函數(shù)的對稱性，拋物線與x軸的另外一個交點的坐標為（3，0）；

①函數(shù)對稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c已經(jīng)修改＞0，故abc＜0，

故①正確，符合題意；

②∵x1，即b＝﹣2a，

?

而x＝﹣=?1時2?，=y＝0，即a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0．

∴②正確，符合題意；

③由圖象知，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，

∴③錯誤，不符合題意；

④從圖象看，當(dāng)x＝﹣2時，y1＜0，

當(dāng)x＝2時，y2＞0，

∴有y1＜0＜y2，

故④正確，符合題意；

故選：C．

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總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a

決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系

數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b

異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；

拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，

拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．

11．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，且經(jīng)過點（﹣3，0），

則下列結(jié)論正確的是（）

A．b＞0B．c＜0C．a(chǎn)+b+c＞0D．3a+c＝0

思路引領(lǐng)：根據(jù)拋物線的開口方向及對稱軸位置判斷選項A；根據(jù)對稱軸x＝﹣1及過點（﹣3，0）求出

拋物線與x軸的另一個交點，據(jù)此來判斷選項B；當(dāng)x＝1時，二次函數(shù)的值y＝a+b+c，據(jù)此判斷選項C；

根據(jù)對稱軸得出a，b之間的關(guān)系，并代入y＝a+b+c中，據(jù)此判斷選項D．

解：選項A：∵拋物線開口向下，

∴a＜0．

∵對稱軸為直線x＝﹣1，

∴1．

?

∴b?＝2?2a=．?

∴b＜0．故選項A錯誤；

選項B：設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為（x1，0），

則拋物線的對稱軸可表示為x（x1﹣3），

1

=2

∴﹣1（x1﹣3），解得x1＝1，

1

∴拋物=線2與x軸的兩個交點為（1，0）和（﹣3，0）．

又∵拋物線開口向下，

∴拋物線與y軸交于正半軸．

∴c＞0．故選項B錯誤．

選項C：∵拋物線過點（1，0）．

∴a+b+c＝0．故選項C錯誤；

選項D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，

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∴3a+c＝0．故選項D正確．

故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的位置與有關(guān)系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵．

12．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物

線都經(jīng)過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上

1

22

的兩個點，則y1＜y2；④方程ax+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時2，函數(shù)y＝ax+（b

﹣k）x有最大值．其中正確的個數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

思路引領(lǐng)：利用圖象的信息與已知條件求得a，b的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)對每個結(jié)

論進行逐一判斷即可得出結(jié)論．

解：∵拋物線的開口方向向下，

∴a＜0．

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴1，

?

∴b?＝2?2a=，?b＜0．

∵a＜0，b＜0，

∴ab＞0，

∴①的結(jié)論正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣3，0），

∴9a﹣3b+c＝0，

∴9a﹣3×2a+c＝0，

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∴3a+c＝0．

∴4a+c＝a＜0，

∴②的結(jié)論不正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴點（﹣2，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的對稱點為（0，y1），

∵a＜0，

∴當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。?/p>

∵＞0＞﹣1，

1

∴2y1＞y2．

∴③的結(jié)論不正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線經(jīng)過點（﹣3，0），

∴拋物線一定經(jīng)過點（1，0），

∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標為﹣3，1，

2

∴方程ax+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1，

∴④的結(jié)論正確；

∵直線y＝kx+c經(jīng)過點（﹣3，0），

∴﹣3k+c＝0，

∴c＝3k．

∵3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴3k＝﹣3a，

∴k＝﹣a．

∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x

＝ax2+（2a+a）x

＝ax2+3ax

＝aa，

329

∵a＜(?0+，2)?4

∴當(dāng)x時，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，

3

=?2

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∴⑤的結(jié)論不正確．

綜上，結(jié)論正確的有：①④，

故選：A．

總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次

函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，利用圖象的信息與已知條件求得a，b的

關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

13．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，0＜a＜c）經(jīng)過點（1，0），有下列結(jié)論：

①2a+b＜0；

②當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；

③關(guān)于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數(shù)根．

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

思路引領(lǐng)：根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0）、結(jié)合題意判斷①；根據(jù)拋物線的對稱性判斷②；

根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷③．

解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），

∴a+b+c＝0，

∵a＜c，

∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小題結(jié)論正確；

②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，

∴b＜0，

∴對稱軸x＞1，

?

=?

∴當(dāng)1＜x＜2?時，y隨x的增大而減小，本小題結(jié)論錯誤；

?

③∵a+b+c＝?02，?

∴b+c＝﹣a，

對于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，

∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，本小題結(jié)論正確；

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點，

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熟記二次函數(shù)的對稱軸、增減性以及一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．

類型五二次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合運用

14．（2022?自貢）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運

動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：

①c≥﹣2；

②當(dāng)x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；

③若點D橫坐標的最小值為﹣5，則點C橫坐標的最大值為3；

④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，a．

1

其中正確的是（）=2

A．①③B．②③C．①④D．①③④

思路引領(lǐng)：根據(jù)頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到

①正確；當(dāng)頂點運動到y(tǒng)軸右側(cè)時，根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②錯誤；當(dāng)頂點在A點時，D能取

到最小值，當(dāng)頂點在B點時，C能取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時點C的橫坐標，即

可判斷③正確；令y＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據(jù)平行

四邊形的對邊平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．

解：∵點A，B的坐標分別為（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），

∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，﹣2），

又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），

∴c≥﹣2，（頂點在y軸上時取“＝”），故①正確；

∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，

∴當(dāng)x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；

若點D的橫坐標最小值為﹣5，則此時對稱軸為直線x＝﹣3，C點的橫坐標為﹣1，則CD＝4，

∵拋物線形狀不變，當(dāng)對稱軸為直線x＝1時，C點的橫坐標為3，

∴點C的橫坐標最大值為3，故③正確；

令y＝0，則ax2+bx+c＝0，

CD2＝（）2﹣4，

2

????4??

2

??×?=?

根據(jù)頂點坐標公式，2，

2

4????

=?

∴8，即4?8，

22

4??????4??

=?=

??

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∴CD28，

18

∵四邊=形?A×BC=D?為平行四邊形，

∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，

∴42＝16，

8

=

解得?a，故④正確；

1

綜上所=述2，正確的結(jié)論有①③④．

故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的對稱性，根

與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，①要注意頂點在y軸上的情況．

模塊二2023中考壓題預(yù)測

15．（2023?徐匯區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點P在x軸的正半軸上，且OP

＝1，下列選項中正確的是（）

A．a(chǎn)＞0B．c＜0C．a(chǎn)+b+c＞0D．b＜0

思路引領(lǐng)：由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可判斷．

解：A、二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像開口向下，a＜0，故A不符合題意；

B、當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，故B不符合題意；

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C、當(dāng)x＝1時y＝a+b+c＜0，故C不符合題意；

D、拋物線的對稱軸是直線x＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合題意．

?

故選：D．=?2?

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)．

16．（2022?巴州區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3（其中x是自變量）的圖象與

x軸有公共點，且當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)＜2B．＞C．＜D．

111

思路引領(lǐng)：先將所給的二次?函數(shù)?整5理，再根據(jù)圖象?與5≤x軸?有2公共點，得?出5判≤別?式≤Δ2≥0，從而解得a＜2；

然后求出拋物線的對稱軸，結(jié)合拋物線開口向上，且當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，可得a，

1

從而得出選項．≥?5

解：y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3＝x2+2ax+a2﹣5a﹣1，

∵圖象與x軸有公共點，

∴Δ＝（2a）2﹣4（a2﹣5a﹣1）≥0，

解得a；

1

≥?

∵拋物線的5對稱軸為直線xa，拋物線開口向上，且當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，

2?

∴a＜2，=?2=?

∴實數(shù)a的取值范圍是＜．

1

故選：C．?5≤?2

總結(jié)提升：本題考查了拋物線與x軸的交點，明確拋物線與x軸的交點個數(shù)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

17．（2022?鳳泉區(qū)校級一模）關(guān)于拋物線y＝﹣2x2+4x+1，下列說法正確的是（）

A．開口向上B．對稱軸是直線x＝2

C．頂點坐標是（1，3）D．x＞2時，y隨x增大而減小

思路引領(lǐng)：利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷．

解：拋物線y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，

﹣2＜0，開口向下，對稱軸x1，

?4

頂點坐標（1，3），當(dāng)x＞1時=?，2y?隨=x?增?大4=而減小，

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∴只有C選項正確．

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．

2

18．（2022?寧波模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax+bx+c（a≠0）與x軸交點的橫坐標為x1，x2與y軸正半軸

的交點為C，一1＜x1＜0，x2＝2，則下列結(jié)論正確的是（）

A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．a(chǎn)bc＞0D．a(chǎn)+b＞0

思路引領(lǐng)：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．

解：由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2﹣4ac＞0，

故A錯誤，不符合題意；

由圖象可知當(dāng)x＝3時，y＝9a+3b+c＜0，

故B錯誤，不符合題意；

∵拋物線開口方向向下，

∴a＜0．

∵拋物線與x軸的交點是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，

∴對稱軸x＞0，

?

∴b＞0．=?2?

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∴abc＜0，

故C錯誤，不符合題意；

∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，

∴1＜x1+x2＜2，

∴＜＜1，

1?1+?2

22

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∴＞，

?1

∴b?＞2?﹣a，2

即a+b＞0，

故D正確，符合題意．

故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要考查學(xué)生根據(jù)圖形進行推理和辨析的能力，用

了數(shù)形結(jié)合思想，題目比較好，但是難度偏大．

19．（2022?新興縣校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過（﹣1，m），（3，m）兩點，下列結(jié)論：①

2

b﹣4ac＞0；②拋物線在x＝1處取得最值；③無論m取何值，均滿足3a+c＝m；④若（x0，y0）為該

拋物線上的點，當(dāng)x＜﹣1時，y0＜m一定成立．正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領(lǐng)：由于m的值不確定，無法判斷拋物線與x軸有沒有交點，故可以判斷①；根據(jù)拋物線y＝

ax2+bx+c經(jīng)過（﹣1，m），（3，m）兩點，可以求出拋物線對稱軸為x＝1，故可以判斷②；根據(jù)拋物

經(jīng)過（﹣1，m），（3，m）兩點線③；根據(jù)a＞0和a＜0時，由函數(shù)的性質(zhì)可以判斷④．

解：當(dāng)m＝0時，拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2﹣4ac＞0，

∵m的值不確定，

∴b2﹣4ac＞0不一定成立，

故①錯誤；

∵拋物線過（﹣1，m），（3，m）兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x1，

?1+3

∴當(dāng)x＝1時，拋物線取得最=值，2=

故②正確；

∵（﹣l，m），（3，m）兩點均在拋物線上，

∴，

???+?=?

解得9?3a++3c＝?+m，?=?

故無論m取何值，均滿足3a+c＝m，

故③正確；

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當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，

∴在直線x＝1的左側(cè)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x0＜﹣1時，y0＞m；

當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，

∴在直線x＝1的左側(cè)，y隨x的增大而增大，

當(dāng)x0＜﹣1時，此時y0＜m，

故④錯誤．

故選B．

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的掌

握和運用．

20．（2022?大名縣校級四模）若拋物線y＝（x+1）（x﹣1）與x軸圍成封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)整點（點

的橫、縱坐標都是整數(shù)）的個數(shù)為k，則函數(shù)y＝kx（x＞0）的圖象是如圖所示的（）

A．L4B．L3C．L2D．L1

思路引領(lǐng)：找到函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點，得出k＝4，即可得出答案．

解：拋物線y＝（x+1）（x﹣1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣1，

當(dāng)y＝0時，x＝﹣1或x＝1，

則拋物線y＝（x+1）（x﹣1）與x軸圍成封閉區(qū)域（包括邊界）內(nèi)整點（點的橫、縱坐標都是整數(shù)）為

（﹣1，0）（0，0）（0，﹣1），（1，0）共有4個，

∴k＝4，

∴正比例函數(shù)的解析式為y＝4x，

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了拋物線與x軸的交點．二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決本

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題的關(guān)鍵是求出k的值．

21．（2022?威縣校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如圖所示．甲、乙、丙三人關(guān)于x的

一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情況判斷如下，其中正確的有（）

甲：當(dāng)m＝1時，該方程沒有實數(shù)根；

乙：當(dāng)m＝3時，該方程有兩個相等實數(shù)根；

丙：當(dāng)m＝5時，該方程有兩個不相等實數(shù)根

A．0個B．1個C．2個D．3個

思路引領(lǐng)：先把一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情況轉(zhuǎn)化為直線y＝﹣m與拋物線y＝ax2+bx+c

的交點問題，再根據(jù)拋物線的最大值為﹣2，然后結(jié)合圖形分類討論即可．

解：∵ax2+bx+c+m＝0，

∴ax2+bx+c＝﹣m，

由圖象可知，y＝ax2+bx+c的最大值為﹣2，

當(dāng)m＝1時，

∵﹣1＞﹣2，

∴直線y＝﹣m與拋物線y＝ax2+bx+c沒有公共點，

∴方程ax2+bx+c+m＝0無實數(shù)根，

故甲正確；

當(dāng)m＝3時，

∵﹣3＜﹣2，

∴直線y＝﹣m與拋物線y＝ax2+bx+c有兩個公共點，

∴方程ax2+bx+c+m＝0有兩個不等實數(shù)根，

故乙錯誤；

當(dāng)m＝5時，

∵﹣5＜﹣2，

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∴直線y＝﹣m與拋物線y＝ax2+bx+c有兩個公共點，

∴方程ax2+bx+c+m＝0有兩個不等實數(shù)根，

故丙正確；

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了拋物線與直線的交點問題，關(guān)鍵是把方程的解轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點問題．

2

22．（2022?嶧城區(qū)校級模擬）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線y＝﹣4x﹣24x+a上的

三點，則（）

A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2

思路引領(lǐng)：由于拋物線開口向下，當(dāng)x＝﹣3時，函數(shù)有最大值，再由拋物線上點與對稱軸的距離越遠，

對應(yīng)的y軸就越小，即可求解．

解：∵y＝﹣4x2﹣24x+a的對稱軸為直線x＝﹣3，

∴當(dāng)x＝﹣3時，函數(shù)有最大值，

∵|﹣2﹣（﹣3）|＝1，|1﹣（﹣3）|＝4，

∴y3＜y2，

∴y3＜y2＜y1，

故選：A．

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，拋物線上點與對稱軸的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

23．（2022?新昌縣校級模擬）一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角

坐標系中的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

思路引領(lǐng)：利用一次函數(shù)的圖象位置與系數(shù)的的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象位置與系數(shù)的關(guān)系判斷．

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解：A選項，根據(jù)一次函數(shù)的位置可知，a＞0，拋物線應(yīng)該開口向上，A選項不符合題意；

B選項，根據(jù)一次函數(shù)的位置可知，a＜0，拋物線開口向下，一次函數(shù)y＝0時，x＜0，即＜0，拋物

?

?

線的對稱軸＜0，B選項符合題意；?

?

?

C選項，根據(jù)一2?次函數(shù)的位置可知，a＞0，拋物線應(yīng)該開口向上，一次函數(shù)y＝0時，x＜0，即＜0，

?

?

拋物線的對稱軸＜0，C選項不符合題意；?

?

?

D選項，根據(jù)一次函2?數(shù)的位置可知，a＜0，拋物線應(yīng)該開口向下，一次函數(shù)y＝0時，x＞0，即＞0，

?

?

拋物線的對稱軸＞0，D選項不符合題意；?

?

故選：B．?2?

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象位置與系

數(shù)的的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象位置與系數(shù)的關(guān)系．

24．（2022?東寶區(qū)校級模擬）設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝4x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連

接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為（）

A．B．C．D．1

112

22

思路4引領(lǐng)：分別作AE、BF8垂直于x軸于點E、F8，設(shè)OE＝a，OF＝b則AE＝4a，BF＝4b，作AH⊥

BF于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設(shè)點D（0，m），可證明△ADG∽△ABH，則m＝4ab．再

證明△AEO∽△OFB，可得ab，則m＝4ab，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，），點

111

==

C是在以DO為直徑的圓上運動，16當(dāng)點C到y(tǒng)軸距4離為DO時，點C到y(tǒng)軸的距離最大．4

11

=

解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，28

設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝4x2，

則AE＝4a2，BF＝4b2，

作AH⊥BF于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，

設(shè)點D（0，m），

∵DG∥BH，

∴△ADG∽△ABH，

∴，即，

2

??????4??

=22=

化簡??得：m?＝4ab．4??4??+?

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∵∠AOB＝90°，

∴∠AOE+∠BOF＝90°，

又∠AOE+∠EAO＝90°，

∴∠BOF＝∠EAO，

又∠AEO＝∠BFO＝90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴，即，

2

????4??

==2

化簡??得a?b?，?4?

1

=16

則m＝4ab，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，），

11

=

∵∠DCO＝940°，DO，4

1

∴點C是在以DO為直=徑4的圓上運動，

∴當(dāng)點C到y(tǒng)軸距離為DO時，點C到y(tǒng)軸的距離最大，

11

=

故選：B．28

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性

質(zhì)，確定C點的軌跡是解題的關(guān)鍵．

25．（2022?珙縣模擬）拋物線y＝x2+4x﹣1的頂點坐標向上平移一個單位后，再向右平移一個單位后的坐

標為（）

A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）

思路引領(lǐng)：先把y＝x2+4x﹣1配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣5），再把點（﹣2，﹣5）

向上平移一個單位長度，再向右平移一個單位長度得到點的坐標為（﹣1，﹣4）．

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解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣5），

把點（﹣2，﹣5）向上平移一個單位后，再向右平移一個單位后的坐標為（﹣1，﹣4）．

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平

移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)

法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．

26．（2022?海陵區(qū)校級三模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣

1，m），則以下結(jié)論：①若y≥c，則x≤﹣2或x≥0；②b+cm．其中正確的是（）

1

=2

A．①B．②C．都對D．都不對

思路引領(lǐng)：由題意可知對稱軸為：直線x＝﹣1，即，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c

?

并化簡得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2