2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?涼州區(qū)一模）將含有30°角的直角三角板OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若AB=23，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為2．（2024?吉安三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是BC上一點，連接AE，將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DF、CF，若DC＝CF，則△EFC的面積為．3．（2024?珠暉區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，若點B的對應(yīng)點B′落在邊CD上，則B′C的長為．4．（2024?西平縣三模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點P在AB上，且BP=32，將BP繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，CQ．當(dāng)QA＝QC時，AQ的長為5．（2024?泌陽縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，點D在BC邊上，將點A繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E，連接DE，CE．當(dāng)△DCE是等腰三角形時，BD的長為．6．（2024?安徽三模）如圖，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，且點E在AC上，連接BE，則BE的長是．7．（2024?大名縣校級三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E在CB邊上，DE的中點為G，EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EF，若CE＝x，則：（1）當(dāng)x＝6時，EF的長為；（2）在x的變化過程中，CF的最小值是．8．（2024?利川市模擬）如圖，等邊△ABC中，AB＝12，點D是BC邊上一動點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，點F是AC邊的中點，連接BF，EF，則BF+EF的最小值是．9．（2024?青龍縣模擬）如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，則∠AOB＝．10．（2024?銀川一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．將∠AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到∠A'OB'，并且點A′恰好落到線段AB上，則點A'的坐標(biāo)為．

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?涼州區(qū)一模）將含有30°角的直角三角板OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若AB=23，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為（3，﹣33）【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】（3，﹣33）．【分析】如圖，過點A′作A′H⊥OB于點H．解直角三角形求出OH，A′H可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A′作A′H⊥OB于點H．在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝23，∴OB＝43，OA＝6，∵將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴OA′＝OA＝6，∠A′OB′＝30°，在Rt△OA′H中，∠OHA′＝90°，∠A′OH＝60°，∴OH＝OA′?cos60°＝3，A′H＝33，∴A′（3，﹣33），故答案為：（3，﹣33）．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2024?吉安三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是BC上一點，連接AE，將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DF、CF，若DC＝CF，則△EFC的面積為2-1【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形的面積；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】2-1【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝EF，∠AEF＝90°，由“AAS”可證△ABE≌△EHF，可得AB＝EH，BE＝FH，即可求解．【解答】解：如圖，過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，∵將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠FEH，在△ABE和△EHF中，∠BAE=∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB＝EH，BE＝FH，∵AB＝BC，∴EH＝BC，∴BE＝CH，∴FH＝CH，∵AB＝CD＝CF＝2，∴FH＝CH=2∴EC＝2-2∴△EFC的面積=12×EC×FH=12×（故答案為：2-1【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2024?珠暉區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，若點B的對應(yīng)點B′落在邊CD上，則B′C的長為1．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】1．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，由勾股定理可求B'D的長，即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D=B'A2∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024?西平縣三模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點P在AB上，且BP=32，將BP繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，CQ．當(dāng)QA＝QC時，AQ的長為72或【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】分類討論；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】72或31【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC＝AC＝2，AH＝CH＝1，BH=3AH=3，分兩種情況討論，先求出【解答】解：如圖，延長BQ交AC于H，如圖：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∴B在AC的垂直平分線上，∵AQ＝CQ，∴Q在AC的垂直平分線上，∴BQ垂直平分AC，∴AH＝CH＝1，∠ABH＝30°，∴BH=3AH=∵將BP繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，∴BP＝BQ=3當(dāng)點Q在線段BH上時，如圖：QH=3∴AQ=A當(dāng)點Q在線段HB的延長線上時，QH=3∴AQ=A故答案為：72或31【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．5．（2024?泌陽縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，點D在BC邊上，將點A繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E，連接DE，CE．當(dāng)△DCE是等腰三角形時，BD的長為53或43【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】53或4【分析】分當(dāng)CD＝DE和CD＝CE時兩種情況討論，分別利用勾股定理列式計算即可求解．【解答】解：設(shè)BD＝x，則CD＝6﹣x，當(dāng)CD＝DE時，由題意得AD＝CD＝DE＝6﹣x，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即42+x2＝（6﹣x）2，解得x=53，即當(dāng)CD＝CE時，作EF⊥BC于點F，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝∠EDF，∴△BAD≌△FDE（AAS），∴AB＝DF＝4，BD＝EF＝x，∴CF＝DF﹣CD＝4﹣（6﹣x）＝x﹣2，在Rt△CEF中，CD＝CE＝6﹣x，CF2+EF2＝CE2，即（x﹣2）2+x2＝（6﹣x）2，整理得x2+8x﹣32＝0，解得x=±43綜上，BD的長為53或4【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分類討論．6．（2024?安徽三模）如圖，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，且點E在AC上，連接BE，則BE的長是655【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)．【專題】計算題；運算能力．【答案】65【分析】由∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，得AE＝AB＝3，EF＝BC＝4，AC＝AF＝5，得ABAE=ACAF，∠BAC＝∠EAF，CF=EC2+EF2=(5-3【解答】解：由∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，得AE＝AB＝3，EF＝BC＝4，AC＝AF＝5，得ABAE=ACAF，∠BAC＝∠EAF，CF得△ABE∽△ACF，得BECF=AB得BE=6故答案為：65【點評】本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)．7．（2024?大名縣校級三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E在CB邊上，DE的中點為G，EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EF，若CE＝x，則：（1）當(dāng)x＝6時，EF的長為5；（2）在x的變化過程中，CF的最小值是455【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）5；（2）45【分析】（1）首先關(guān)鍵旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知條件可以得到EF=12DE，然后利用勾股定理可以求出（2）過點G作GM⊥CD于點M，過點F作FN⊥EC，交EC的延長線于點N．證得△DMG≌△ENF（AAS），得到GM＝FN=12EC，DM＝EN＝4，設(shè)FN＝GM＝m，則CN＝4﹣2m，利用勾股定理CF2＝CN2+FN2，求得CF2＝5（m-85【解答】解：（1）當(dāng)CE＝6時，∵DE的中點為G，EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EF，∴EF=12∵正方形ABCD的邊長為8，∴在Rt△DCE中，DE=CD∴EF＝5，故答案為：5；（3）如圖，過點G作GM⊥CD于點M，過點F作FN⊥EC，交EC的延長線于點N．∵DG＝EG＝EF，∠MDG＝∠NEF，∠DMG＝∠ENF＝90°，∴△DMG≌△ENF（AAS），∴GM＝FN=12EC，DM＝EN＝設(shè)FN＝GM＝m，則EC＝2m，∴CN＝4﹣2m，∴CF2＝CN2+FN2，即（4﹣2m）2+m2＝5m2﹣16m+16＝5（m-85）2∵5＞0，∴CF2有最小值，最小值=16∴CF=4故答案為：45【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（2024?利川市模擬）如圖，等邊△ABC中，AB＝12，點D是BC邊上一動點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，點F是AC邊的中點，連接BF，EF，則BF+EF的最小值是93【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱﹣最短路線問題．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】93【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ABD與△ACE全等，得出∠ACE＝60°，進(jìn)而得出點E的運動軌跡，再過點F作CE的垂線可解決問題．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ACE＝60°，則點E在以C為頂點，且與AC夾角為60°的直線上運動．過點F作CE的垂線，垂足為M，當(dāng)點E在點M處時，EF取得最小值，即為FM的長．∵點F是AC邊的中點，∴AF＝CF=1在Rt△ABF中，BF=1在Rt△CFM中，sin∠FCM=FM∴FM=3∴BF+FM=93則BF+EF的最小值為93故答案為：93【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及軸對稱﹣最短路線問題，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及通過全等三角形的性質(zhì)得出點E的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．9．（2024?青龍縣模擬）如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，則∠AOB＝150°．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OO′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，可判斷△BOO′為等邊三角形，由△ABC為等邊三角形得到BA＝BC，∠ABC＝60°，則∠O′BA＝∠OBC，然后根據(jù)“SAS”可證明△O′BA≌△OBC，則O′A＝OC＝5在△AOO′中，由于OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，則OA2+OO′2＝O′A2，于是可根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOO′＝90°，加上△BOO′為等邊三角形得∠BOO′＝60°，所以∠AOB＝60°+90°＝150°．【解答】解：連接OO′，如圖，∵線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中O'∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，故答案為：150°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．10．（2024?銀川一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．將∠AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到∠A'OB'，并且點A′恰好落到線段AB上，則點A'的坐標(biāo)為（-32【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】（-3【分析】過點A′作x軸的垂線，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AOA′是等邊三角形即可解決問題．【解答】解：過點A′作x軸的垂線，垂足為M，∵點B坐標(biāo)為（0，3），∴OB＝3．在Rt△ABO中，tan∠ABO=AO∴AO=3由旋轉(zhuǎn)可知，OA′＝OA=3又∵∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∴△OAA′是等邊三角形，∴∠A′OM＝60°．在Rt△A′MO中，sin∠A′OM=A'M∴A′M=3同理可得，MO=3∴點A′的坐標(biāo)為（-3故答案為：（-3【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．3．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．4．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；