【教案】定義、命題、定理（教學(xué)設(shè)計(jì)）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版2024）

7.3定義、命題、定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章“相交線與平行線”7.3定義、命題、定理，內(nèi)容包括：通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理的意義；結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論；知道證明的意義和證明的必要性；會(huì)用綜合法的證明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．2.內(nèi)容解析本節(jié)課從以往的學(xué)習(xí)內(nèi)容出發(fā)，指出了數(shù)學(xué)對(duì)象的定義和命題的概念，包括命題的結(jié)構(gòu)和命題的真假；再?gòu)恼婷}出發(fā)，指出了定理和證明的概念，并以“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，呈現(xiàn)了一個(gè)完整的用符號(hào)語(yǔ)言表述的證明過(guò)程，來(lái)說(shuō)明什么是證明．并結(jié)合一個(gè)反例，說(shuō)明“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，讓學(xué)生理解通過(guò)反例判斷假命題的方法．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：對(duì)命題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解證明要步步有據(jù).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理的意義；結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.（2）知道證明的意義和證明的必要性；知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯；會(huì)用綜合法的證明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．（3）經(jīng)歷幾何命題的證明過(guò)程，增強(qiáng)推理能力，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；經(jīng)歷確立幾何命題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．2.目標(biāo)解析（1）從學(xué)生以往的學(xué)習(xí)內(nèi)容出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，歸納出定義和命題的特征，通過(guò)對(duì)不同命題的分析，讓學(xué)生準(zhǔn)確指出題設(shè)和結(jié)論，加深對(duì)命題結(jié)構(gòu)的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)命題的真假判斷和證明奠定基礎(chǔ).（2）以簡(jiǎn)單的幾何命題證明為例，詳細(xì)講解綜合法的證明格式，從題設(shè)出發(fā)，一步步推導(dǎo)出結(jié)論，使學(xué)生理解證明的邏輯過(guò)程和書(shū)寫(xiě)規(guī)范.同時(shí)，通過(guò)給出一些假命題，讓學(xué)生尋找反例，明白反例在判斷命題真假中的作用，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.（3）通過(guò)鞏固練習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的證明過(guò)程，從已知條件出發(fā)，運(yùn)用已學(xué)的定理、定義進(jìn)行推理，逐步提升學(xué)生的邏輯推理能力.在命題的提出和證明過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確、精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.證明思路的構(gòu)建：在證明過(guò)程中，學(xué)生往往難以從已知條件出發(fā)，找到合適的定理和方法來(lái)推導(dǎo)結(jié)論，缺乏邏輯推理的方向感.尤其是對(duì)于較為復(fù)雜的幾何圖形，學(xué)生可能無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別圖形中的隱含條件和等量關(guān)系，導(dǎo)致證明過(guò)程中斷.2.反例的構(gòu)造：對(duì)于假命題，學(xué)生可能不知道如何快速、有效地構(gòu)造反例，缺乏對(duì)反例本質(zhì)的理解，即找到滿足題設(shè)但不滿足結(jié)論的具體情況.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：掌握綜合法證明的邏輯順序和方法，能夠清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行書(shū)面證明表達(dá).四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入問(wèn)題根據(jù)以往學(xué)過(guò)的內(nèi)容填空.（1）規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸；（2）使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作方程的解；（3）從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫作這個(gè)角的平分線；（4）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫作點(diǎn)到直線的距離.這樣的描述稱為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義.它揭示了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征.追問(wèn)你能再舉出一些學(xué)過(guò)的定義的例子嗎？（1）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對(duì)值.（2）求幾個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪.（3）由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式，叫作單項(xiàng)式.（4）含有未知數(shù)的等式叫作方程.（5）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角.（6）兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生舉出一些學(xué)過(guò)的定義的例子，能促使學(xué)生進(jìn)一步理解定義所揭示的數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，強(qiáng)化對(duì)定義概念的認(rèn)識(shí).同時(shí)，舉例的過(guò)程是對(duì)已學(xué)知識(shí)的一次回顧和鞏固.學(xué)生所舉的例子也是教師了解學(xué)生對(duì)定義掌握程度的一個(gè)重要依據(jù).（二）合作探究探究1判斷下列語(yǔ)句是否正確.（1）等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等；（√）（2）對(duì)頂角相等；（√）（3）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（√）（4）兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（√）（5）如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除.（×）像這樣可以判斷為正確(或真)或錯(cuò)誤(或假)的陳述語(yǔ)句叫作命題.被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題，被判斷為錯(cuò)誤(或假)的命題叫作假命題.追問(wèn)1判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是，請(qǐng)判斷它們的真假.（1）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.（真命題）（2）取線段AB的中點(diǎn)C.（不是命題）（3）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角.（假命題）（4）兩點(diǎn)確定一條直線.（真命題）（5）當(dāng)直線a，b不相交時(shí)，我們說(shuō)直線a與b互相平行.（假命題）（6）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.（不是命題）（7）對(duì)頂角相等嗎？（不是命題）追問(wèn)2你能再舉出一些學(xué)過(guò)的真命題的例子嗎？（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.（2）兩點(diǎn)之間，線段最短.（3）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（4）同位角相等，兩直線平行.（5）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.......探究2請(qǐng)同學(xué)們觀察下列命題，并思考命題是由幾部分組成的.與同伴交流.（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除；（3）兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（4）同位角相等，兩直線平行.（5）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角.數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫?xiě)成“如果......那么......”的形式.命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論.探究2你能將下列命題寫(xiě)成“如果+題設(shè)，那么+結(jié)論”的形式嗎？（1）等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等；（2）對(duì)頂角相等；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；（4）絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（5）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.改寫(xiě)后：（1）如果在一個(gè)等式的兩邊加上同一個(gè)數(shù)，那么所得的結(jié)果仍相等；（真命題）（2）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；（真命題）（3）如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；（真命題）（4）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（假命題）（5）如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等.（真命題）追問(wèn)從題設(shè)和結(jié)論的角度，如何理解真命題和假命題？如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題就是真命題.如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題就是假命題.鞏固練習(xí)：指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論.（1）若a=b，則5a=5b.（2）如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°.（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.（4）兩直線平行，同位角相等.探究3下列真命題，它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的嗎？（1）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（關(guān)于平行線的基本事實(shí)）（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（經(jīng)過(guò)推理證實(shí)）（3）同位角相等，兩直線平行；（判定兩條直線平行的基本事實(shí)）（4）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.（經(jīng)過(guò)推理證實(shí)）(1)(3)的正確性是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐和驗(yàn)證，被公認(rèn)為正確且無(wú)需證明的，這樣的真命題叫作基本事實(shí).基本事實(shí)是推理的原始依據(jù).(2)(4)的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).追問(wèn)你能再舉出一些學(xué)過(guò)的基本事實(shí)和定理的例子嗎？基本事實(shí)：（1）等式兩邊可以交換.（2）相等關(guān)系可以傳遞.（3）兩點(diǎn)確定一條直線.（4）兩點(diǎn)之間線段最短.（5）同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.......定理：（1）同角(等角)的余角相等.（2）同角(等角)的補(bǔ)角相等.（3）對(duì)頂角相等.（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.（5）兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.......在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能做出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明.設(shè)計(jì)意圖：理解命題的結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生搭建起推理證明的邏輯框架.題設(shè)為學(xué)生提供了推理的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，結(jié)論則明確了推理的方向和終點(diǎn)，使學(xué)生在進(jìn)行推理證明時(shí)能夠有條不紊地組織思路，避免盲目猜測(cè)和無(wú)目的的嘗試，從而更高效地完成證明過(guò)程.（三）典例分析例1證明命題：“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”.轉(zhuǎn)化自然語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言如圖，已知直線a⊥b，b∥c.求證a⊥c.證明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定義），∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=90°（等式的基本事實(shí)）.∴a⊥c（垂直的定義）.例1圖例2圖證明的每一步推理都要有依據(jù)，不能想當(dāng)然.依據(jù)是已知條件、定義、基本事實(shí)、定理等.例2判斷命題“相等的角是對(duì)頂角”的真假，并說(shuō)明理由.解：“相等的角是對(duì)頂角”是假命題.反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角.判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.設(shè)計(jì)意圖：推理證明的過(guò)程需要學(xué)生依據(jù)已知條件、定理、定義等，按照一定的邏輯順序進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維會(huì)變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、有條理，并學(xué)會(huì)從復(fù)雜的問(wèn)題中梳理出清晰的思路，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力也會(huì)得到提升.（四）鞏固練習(xí)1.在下面的括號(hào)內(nèi)填上推理的依據(jù).如圖，∠A+∠B=180°，求證∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.∴∠C+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.2.命題“同位角相等”是正確的嗎？如果是，說(shuō)出理由，如果不是，請(qǐng)舉出反例.解：“同位角相等”是錯(cuò)誤的.反例：如圖，∠ABC和∠DEF是同位角，但它們不相等.3.完成下面的證明.（1）如圖（1），AB∥CD，BC∥ED.求證∠B+∠D=180°.證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵BC∥ED，∴∠C+∠D=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).∴∠B+∠D=180°.（2）如圖（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分別是∠ABC，∠A’B’C’的平分線.求證∠1=∠2.證明：∵BD，B’D’分別是∠ABC，∠A’B’C’的平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠A’B’C’(角平分線的定義又∠ABC=∠A’B’C’，∴12∠ABC=12∠A’B’C∴∠1=∠2(等式的基本事實(shí)).4.完成下面的證明．如圖，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求證：BC∥DE．證明：∵∠D＝∠E(已知)；∴CD∥EF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)；∵AB∥EF(已知)；∴AB∥CD(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)；∴∠B＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)；∵∠B+∠D＝180°(已知)；∴∠C+∠D＝180°(等式的基本事實(shí))；∴BC∥DE(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．設(shè)計(jì)意圖：以填空的形式引導(dǎo)學(xué)生書(shū)寫(xiě)幾何證明題的過(guò)程，相比直接讓學(xué)生寫(xiě)出完整的證明過(guò)程，具有降低難度，增強(qiáng)信心，引導(dǎo)思路，規(guī)范邏輯，及時(shí)反饋，突出重點(diǎn)，加深理解等優(yōu)勢(shì).歸納總結(jié)

感受中考1.(2022?梧州、盤(pán)錦、綏化)下列命題中，假命題是①⑤.①﹣2的絕對(duì)值是﹣2； ②對(duì)頂角相等；③如果直線a∥c，b∥c，那么直線a∥b；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；⑤如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等. 2.(2021?金華)某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（C）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)3.（2019?常州）判斷命題“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命題，只需舉出一個(gè)反例．反例中的n可以為（A）A．﹣2B．﹣1/2C．0D．1/2設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.（七）小結(jié)梳理設(shè)計(jì)意圖