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第第頁人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.9點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系》同步測試題及答案考試時(shí)間:60分鐘;滿分:100分學(xué)校:___________班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱2.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱3.兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(4)幾種特殊位置的對(duì)稱:4.直線關(guān)于直線的對(duì)稱【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是對(duì)稱問題中最基本的問題,是解決其他對(duì)稱問題的基礎(chǔ),一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種對(duì)稱問題.【例1】(2021·四川·高二期中(文))若A(4,0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則B點(diǎn)坐標(biāo)為(
)A.(0,4) B.(0,2) C.(?2,4) D.(4,?2)【變式1-1】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式1-2】(2021·全國·高二專題練習(xí))點(diǎn)A(5,8),B(4,1),則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【變式1-3】(2021·江西·高二階段練習(xí)(理))已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(?2,?3),則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是.【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】【例2】(2022·河南·高二階段練習(xí))直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱的直線方程為(
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0【變式2-1】(2020·山東·高考真題)直線2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的直線方程是(
)A.3x?2y?10=0 B.3x?2y?23=0C.2x+3y?4=0 D.2x+3y?2=0【變式2-2】(2022·浙江紹興·高二期末)直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則a,b的值是A.a(chǎn)=?1,b=?9 B.a(chǎn)=?1,b=9C.a(chǎn)=1,b=?9 D.a(chǎn)=1,b=9【變式2-3】(2022·全國·高二單元測試)直線ax+y+3a-1=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為(
)A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題有三種情況:【例3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
)A.(?1,?3) B.(?1,?4) C.(4,1) D.(2,3)【變式3-1】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
)A.(1,?2) B.(2,1)C.(2,?1) D.(?1,2)【變式3-2】(2022·全國·高三專題練習(xí))已知A(4,-3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,5),則直線l的方程是(
)A.3x+4y-7=0 B.3x-4y+1=0C.4x+3y-7=0 D.3x+4y-1=0【變式3-3】(2021·全國·高二專題練習(xí))已知點(diǎn)A(1,﹣2),B(m,n),關(guān)于直線x+2y﹣2=0對(duì)稱,則m+n的值是()A.﹣2 B.3 C.5 D.7【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】【例4】(2022·全國·高三專題練習(xí))直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線方程為(
)A.x?3y+1=0 B.x?3y?1=0 C.x?2y?1=0 D.x?2y+1=0【變式4-1】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))兩直線l1:2x?y+1=0,l2:y=x,則直線lA.2x?y+1=0 B.x?3y+1=0 C.2x?3y+2=0 D.x?2y?1=0【變式4-2】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))求直線x+2y-1=0關(guān)于直線x+2y+1=0對(duì)稱的直線方程(
)A.x+2y-3=0 B.x+2y+3=0C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0【變式4-3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))若兩條平行直線l1:x?2y+m=0m>0與l2:2x+ny?6=0之間的距離是25,則直線l1A.x?2y?13=0 B.x?2y+2=0C.x?2y+4=0 D.x?2y?6=0【題型5光的反射問題】【方法點(diǎn)撥】光的反射問題,在這里主要是研究一條光線經(jīng)過點(diǎn)P射到直線l上,然后反射經(jīng)過點(diǎn)Q,求入射光線或反射光線所在直線方程等問題,關(guān)鍵是利用光學(xué)知識(shí)得到入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于直線l對(duì)稱,然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(或直線)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.【例5】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))若一束光線從點(diǎn)A1,0射入,經(jīng)直線y=?x+3反射到直線y=x+3上的點(diǎn)B,再經(jīng)直線y=x+3反射后經(jīng)過點(diǎn)C?1,0,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(A.?2,1 B.0,3 C.?1,2 D.?1,1【變式5-1】(2023·全國·高三專題練習(xí))一條光線從點(diǎn)A2,4射出,傾斜角為60°,遇x軸后反射,則反射光線的直線方程為(A.3x?y+4?23=0C.3x+y+4?23=0【變式5-2】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),一束光線從點(diǎn)A(1,2)出發(fā),被直線y=x反射后到達(dá)點(diǎn)B(3,6),則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為(
)A.25 B.26 C.4 【變式5-3】(2022·山東淄博·高二期末)已知:A0,4,B0,?4,C4,0,E0,2,F(xiàn)0,?2,一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后,再經(jīng)AC反射,落到線段AEA.?∞,?14 B.?14【題型6將軍飲馬問題】【方法點(diǎn)撥】將軍飲馬問題主要是點(diǎn)、線間的對(duì)稱問題,借助題干條件,找出其中蘊(yùn)含的對(duì)稱關(guān)系,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】(2022·江蘇·高二階段練習(xí))唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為B?1,?4,若將軍從點(diǎn)A?1,2處出發(fā),河岸線所在直線方程為x+y=3.則“將軍飲馬“的最短總路程為(A.13 B.17 C.217 D.【變式6-1】(2021·遼寧沈陽·高二期中)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為B?4,?4,若將軍從點(diǎn)A?2,0處出發(fā),河岸線所在直線方程為x+y=2,則“將軍飲馬”的最短總路程為(A.13 B.5 C.210 D.【變式6-2】(2022·河南·高二階段練習(xí))在唐詩“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)閤+12+y?12≤1,若將軍從點(diǎn)1,0A.12x+5y?12=0 B.21x+2y?21=0C.4x+y?4=0 D.11x+2y?11=0【變式6-3】(2023·全國·高三專題練習(xí))唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”,其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,已知軍營所在的位置為B?2,0,若將軍從山腳下的點(diǎn)A13,0處出發(fā),河岸線所在直線方程為A.1453 B.5 C.1353 參考答案【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是對(duì)稱問題中最基本的問題,是解決其他對(duì)稱問題的基礎(chǔ),一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種對(duì)稱問題.【例1】(2021·四川·高二期中(文))若A(4,0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則B點(diǎn)坐標(biāo)為(
)A.(0,4) B.(0,2) C.(?2,4) D.(4,?2)【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【解答過程】解:設(shè)Ba,b,由題知,點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為2,14+a2=20+b2所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2故選:B.【變式1-1】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6).【解題思路】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可【解答過程】設(shè)點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)為B(x,y),則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).∴3=解得x=5y=6∴點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6).故答案為:(5,6).【變式1-2】(2021·全國·高二專題練習(xí))點(diǎn)A(5,8),B(4,1),則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,?6.【解題思路】設(shè)出A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo),然后直接代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算.【解答過程】設(shè)C(x,y),由A(5,8),B(4,1)且B點(diǎn)是A,C的中點(diǎn),所以x+52=4y+8所以C的坐標(biāo)為3,?6.故答案為:3,?6.【變式1-3】(2021·江西·高二階段練習(xí)(理))已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(?2,?3),則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是17.【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x?22=1,且解得x=4,y=1,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1),則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離d=(4?0)故答案為:17.【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】【例2】(2022·河南·高二階段練習(xí))直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱的直線方程為(
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0【解題思路】首先設(shè)對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)Px,y,得到Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱點(diǎn)為2?x,2?y【解答過程】設(shè)直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)P則Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱點(diǎn)為又因?yàn)??x,2?y在4x+3y?2=0上,所以42?x+32?y故選:B.【變式2-1】(2020·山東·高考真題)直線2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的直線方程是(
)A.3x?2y?10=0 B.3x?2y?23=0C.2x+3y?4=0 D.2x+3y?2=0【解題思路】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y,則其關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2?x,4?y),代入已知直線即可求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y,則其關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2?x,4?y),因?yàn)辄c(diǎn)(?2?x,4?y)在直線2x+3y?6=0上,所以2?2?x+34?y故選:D.【變式2-2】(2022·浙江紹興·高二期末)直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則a,b的值是A.a(chǎn)=?1,b=?9 B.a(chǎn)=?1,b=9C.a(chǎn)=1,b=?9 D.a(chǎn)=1,b=9【解題思路】直線ax+3y﹣9=0上任意取點(diǎn)(m,n),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣m,﹣n),分別代入已知的直線方程,即可求得結(jié)論.【解答過程】直線ax+3y﹣9=0上任意取點(diǎn)(m,n),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣m,﹣n),則am+3n?9=0∵點(diǎn)(m,n)是直線ax+3y﹣9=0上任意一點(diǎn)∴a=﹣1,b=﹣9故選A.【變式2-3】(2022·全國·高二單元測試)直線ax+y+3a-1=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為(
)A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0【解題思路】先求出定點(diǎn)M的坐標(biāo),再設(shè)出與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程,利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【解答過程】由ax+y+3a-1=0得x+3a+由x+3=0y?1=0,得x=?3y=1,∴設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x+3y+C=0C≠?6∴?6+3?64+9=?6+3+C4+9,解得:∴直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x+3y+12=0.故選:B.【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題有三種情況:【例3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
)A.(?1,?3) B.(?1,?4) C.(4,1) D.(2,3)【解題思路】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【解答過程】設(shè)點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則{b?0a?2×(?1)=?1所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(?1,?3)故選:A.【變式3-1】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
)A.(1,?2) B.(2,1)C.(2,?1) D.(?1,2)【解題思路】根據(jù)題意設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為a,b,從而可得b?1a+2【解答過程】設(shè)點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)為a,b,則b?1a+2=1a?22+故選:D.【變式3-2】(2022·全國·高三專題練習(xí))已知A(4,-3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,5),則直線l的方程是(
)A.3x+4y-7=0 B.3x-4y+1=0C.4x+3y-7=0 D.3x+4y-1=0【解題思路】求出AB的中點(diǎn),根據(jù)A,B兩點(diǎn)連線的斜率可求出直線l的斜率,即可求出直線方程.【解答過程】由題意得AB的中點(diǎn)C為(1,1),又A,B兩點(diǎn)連線的斜率為kAB所以直線l的斜率為34,因此直線l的方程為y?1=34(x?1),即3故選:B.【變式3-3】(2021·全國·高二專題練習(xí))已知點(diǎn)A(1,﹣2),B(m,n),關(guān)于直線x+2y﹣2=0對(duì)稱,則m+n的值是()A.﹣2 B.3 C.5 D.7【解題思路】先利用線段的中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo),再把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+2y﹣2=0,結(jié)合斜率關(guān)系列方程組,求得m,n,從而求得m+n的值.【解答過程】∵A(1,﹣2)和B(m,n)關(guān)于直線x+2y﹣2=0對(duì)稱,∴線段AB的中點(diǎn)C(1+m2,?2+n2)在直線x+2∴1+m2?2+∴m+2n=7,而n+2m?1×(?12)=﹣1,得2解方程組m+2n=72m?n=4,可得m=3,n∴m+n=5.故選:C.【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】【例4】(2022·全國·高三專題練習(xí))直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線方程為(
)A.x?3y+1=0 B.x?3y?1=0 C.x?2y?1=0 D.x?2y+1=0【解題思路】先聯(lián)立方程y=2x+1y=x得?1,?1,再求得直線y=2x+1的點(diǎn)0,1關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0,進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)?1,?1,1,0【解答過程】解:聯(lián)立方程y=2x+1y=x得?1,?1,即直線y=2x+1與直線y=x的交點(diǎn)為設(shè)直線y=2x+1的點(diǎn)0,1關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為x0所以x02=所以直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線過點(diǎn)?1,?1,1,0所以所求直線方程的斜率為12所以所求直線的方程為y=12故選:C.【變式4-1】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))兩直線l1:2x?y+1=0,l2:y=x,則直線lA.2x?y+1=0 B.x?3y+1=0 C.2x?3y+2=0 D.x?2y?1=0【解題思路】求出兩直線的交點(diǎn),在直線l1上任取一點(diǎn),求出其關(guān)于l【解答過程】聯(lián)立方程2x?y+1=0y=x,解得x=?1在直線l1:2x?y+1=0上任取一點(diǎn)0,1,其關(guān)于l2則直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱的直線方程為y=故選:D.【變式4-2】(2022·江蘇·高二專題練習(xí))求直線x+2y-1=0關(guān)于直線x+2y+1=0對(duì)稱的直線方程(
)A.x+2y-3=0 B.x+2y+3=0C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項(xiàng).【解答過程】設(shè)對(duì)稱直線方程為x+2y+c=0,1+11+22=c?1所以所求直線方程為x+2y+3=0.故選:B.【變式4-3】(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))若兩條平行直線l1:x?2y+m=0m>0與l2:2x+ny?6=0之間的距離是25,則直線l1A.x?2y?13=0 B.x?2y+2=0C.x?2y+4=0 D.x?2y?6=0【解題思路】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m,再由平行線間距離即可求解.【解答過程】因?yàn)橹本€l1:x?2y+m=0m>0與l2所以n=?2×2=?4,又兩條平行直線l1:x?2y+m=0m>0與l2:2x+ny?6=0所以|2m+6|4+16=2即直線l1:x?2y+7=0,l2:設(shè)直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱的直線方程為則|?3?7|5=|?3?c|故所求直線方程為x?2y?13=0,故選:A.【題型5光的反射問題】【方法點(diǎn)撥】光的反射問題,在這里主要是研究一條光線經(jīng)過點(diǎn)P射到直線l上,然后反射經(jīng)過點(diǎn)Q,求入射光線或反射光線所在直線方程等問題,關(guān)鍵是利用光學(xué)知識(shí)得到入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于直線l對(duì)稱,然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(或直線)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.【例5】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))若一束光線從點(diǎn)A1,0射入,經(jīng)直線y=?x+3反射到直線y=x+3上的點(diǎn)B,再經(jīng)直線y=x+3反射后經(jīng)過點(diǎn)C?1,0,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(A.?2,1 B.0,3 C.?1,2 D.?1,1【解題思路】由題可求A關(guān)于直線y=?x+3的對(duì)稱點(diǎn)為A'及C關(guān)于直線y=x+3的對(duì)稱點(diǎn)為C',可得直線A'【解答過程】設(shè)A關(guān)于直線y=?x+3的對(duì)稱點(diǎn)為A'則y12=?x1設(shè)C?1,0關(guān)于直線y=x+3的對(duì)稱點(diǎn)為C則y22=x2∴直線A'C'的方程為:y=2可得x=?1,故B?1,2故選:C.【變式5-1】(2023·全國·高三專題練習(xí))一條光線從點(diǎn)A2,4射出,傾斜角為60°,遇x軸后反射,則反射光線的直線方程為(A.3x?y+4?23=0C.3x+y+4?23=0【解題思路】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點(diǎn)A'【解答過程】點(diǎn)A2,4關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A又反射光線傾斜角為180°?60°=∴反射光線所在直線方程為:y+4=?3x?2,即故選:C.【變式5-2】(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),一束光線從點(diǎn)A(1,2)出發(fā),被直線y=x反射后到達(dá)點(diǎn)B(3,6),則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為(
)A.25 B.26 C.4 【解題思路】作出點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)C2,1,連接CB,利用光線關(guān)于直線對(duì)稱得到CB【解答過程】作出點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)C2,1連接CB,交直線y=x于點(diǎn)M,則CB即為光線經(jīng)過路程的最小值,且CB=此即光線從A到B所經(jīng)過的距離為26.故選:B.【變式5-3】(2022·山東淄博·高二期末)已知:A0,4,B0,?4,C4,0,E0,2,F(xiàn)0,?2,一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后,再經(jīng)AC反射,落到線段AEA.?∞,?14 B.?14【解題思路】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律,可先求F點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P,再求P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,由此可確定動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上的變動(dòng)范圍,進(jìn)而求的其斜率的取值范圍.【解答過程】由題意可知:直線BC的方程為y=x?4,直線AC的方程為y=?x+4,如圖:設(shè)F0,?2關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為P(a,b)則b+解得a=2b=?4,故P同理可求P2,?4關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M(8,2)連接MA,ME,ME交AC于N,而MN方程為y=2,聯(lián)立y=2y=?x+4得N點(diǎn)坐標(biāo)為N(2,2)連接PA,PN,分別交BC于H,G,PA方程為:y=?4x+4,和直線BC方程y=x?4聯(lián)立,解得H點(diǎn)坐標(biāo)為H(8PN的方程為x=2,和直線BC方程y=x?4聯(lián)立解得G(2,?2),連接FG,FH,則H,G之間即為動(dòng)點(diǎn)D點(diǎn)的變動(dòng)范圍,而kFG故FD斜率的取值范圍是(?1故選B.【題型6將軍飲馬問題】【方法點(diǎn)撥】將軍飲馬問題主要是點(diǎn)、線間的對(duì)稱問題,借助題干條件,找出其中蘊(yùn)含的對(duì)稱關(guān)系,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】(2022·江蘇·高二階段練習(xí))唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為B?1,?4,若將軍從點(diǎn)A?1,2處出發(fā),河岸線所在直線方程為x+y=3.則“將軍飲馬“的最短總路程為(A.13 B.17 C.217 D.【解題思路】作出圖形,求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo),在直線x+y=3上取點(diǎn)P,利用A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)PA+【解答過程】如下圖所示,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)為Ca,b由題意可得a?12+b?42=3在直線x+y=3上取點(diǎn)P,由對(duì)稱性可得PB=所以,PA+當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,因此,“將軍飲馬“的最短總路程為217故選:C.【變式6-1】(2021·遼寧沈陽·高二期中)唐代詩人李頎的詩《古從軍
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