九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤12．（3分）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一個根，則a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m=0總有實數(shù)根，則m應(yīng)滿足的條件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤15．（3分）設(shè)α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個根，則αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣16．（3分）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5000cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么滿足的方程是（）A．x2+130x﹣1400=0 B．x2﹣130x﹣1400=0C．x2+65x﹣250=0 D．x2﹣65x﹣250=07．（3分）已知，如圖，在△ABC中，∠ADE=∠C，則下列等式成立的是（）A．= B．= C．= D．=8．（3分）對于兩個不相等的實數(shù)a、b，我們規(guī)定符號max{a，b}表示a、b中較大的數(shù)，如：max{2，4}=4．按照這個規(guī)定．方程max{x，﹣x}=的解為（）A． B． C．或 D．或﹣1二．填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）化簡：=．10．（3分）計算：（﹣2）2014（+2）2015=．11．（3分）若m：n=5：4，則=．12．（3分）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣12x+35=0的根，則該三角形的周長為．13．（3分）某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元．如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應(yīng)為．14．（3分）畢業(yè)之際，某校九年級數(shù)學(xué)性趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個同學(xué)都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為人．15．（3分）如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么還要補(bǔ)充的一個條件是．（只要求寫出一個條件即可）16．（3分）如圖，△ABC與△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E．AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①△ABC≌△AEF；②∠AFC=∠C；③DF=CF；④△ADE∽△FDB其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．三、解答題：本大題共8個題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）計算（1）2+6﹣3（2）÷（﹣）×．18．（10分）解方程：（1）4x（1﹣x）=1（2）x2+3x+1=0（公式法）19．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3=0（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．20．（8分）如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F．在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明．21．（8分）如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．22．（8分）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．23．（10分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利50元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價10元，商場平均每天可多售出20件．（1）若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（2）怎樣定價能獲得最大利潤，最大利潤是多少？24．（10分）如圖1將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．（1）求證：△OCP∽△PDA；（2）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．探究：當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）（2012?廈門）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵二次根式有意義，∴x﹣1≥0，∴x≥1．故選B．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式是解答此題的關(guān)鍵．2．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，可得答案．【解答】解：A、被開方數(shù)含開得盡的因數(shù)，故A錯誤；B、被開方數(shù)含開得盡的因數(shù)，故B錯誤；C、被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)不含分母，故C正確；D、被開方數(shù)不含分母，故D錯誤；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式，被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)不含分母．3．（3分）（2016?山西模擬）已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一個根，則a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，列出關(guān)于a的方程，通過解該方程求得a值即可．【解答】解：∵x=1是關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一個根，∴x=1滿足關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，∴2×12﹣1+a=0，即1+a=0，解得，a=﹣1；故選D．【點評】本題考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解均滿足該方程的解析式．4．（3分）（2014?益陽）一元二次方程x2﹣2x+m=0總有實數(shù)根，則m應(yīng)滿足的條件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1【分析】根據(jù)根的判別式，令△≥0，建立關(guān)于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0總有實數(shù)根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故選：D．【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．5．（3分）（2016?江西）設(shè)α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個根，則αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根據(jù)α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可以求得αβ的值，本題得以解決．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個根，∴αβ==，故選D．【點評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比值．6．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5000cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么滿足的方程是（）A．x2+130x﹣1400=0 B．x2﹣130x﹣1400=0C．x2+65x﹣250=0 D．x2﹣65x﹣250=0【分析】掛圖長為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm，根據(jù)整個掛圖的面積是5000cm2，即長×寬=5000，列方程進(jìn)行化簡即可．【解答】解：掛圖長為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x﹣1000=0．即x2+65x﹣250=0．故選C．【點評】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，運(yùn)用面積列方程，展開時注意符號易出錯．7．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）已知，如圖，在△ABC中，∠ADE=∠C，則下列等式成立的是（）A．= B．= C．= D．=【分析】先根據(jù)相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根據(jù)其對應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=．故選C．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）（2016?蘇州模擬）對于兩個不相等的實數(shù)a、b，我們規(guī)定符號max{a，b}表示a、b中較大的數(shù)，如：max{2，4}=4．按照這個規(guī)定．方程max{x，﹣x}=的解為（）A． B． C．或 D．或﹣1【分析】分x＜﹣x和x＞﹣x兩種情況將所求方程變形，求出解即可．【解答】解：當(dāng)x＜﹣x，即x＜0時，所求方程變形為﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得：x1=x2=﹣1，經(jīng)檢驗x=﹣1是分式方程的解；當(dāng)x＞﹣x，即x＞0時，所求方程變形為x=，去分母得：x2﹣2x﹣1=0，代入公式得：x==1±，解得：x3=1+，x4=1﹣（舍去），經(jīng)檢驗x=1+是分式方程的解，綜上，所求方程的解為1+或﹣1．故選D【點評】此題考查了分式方程的解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）QUOTEQUOTE9．（3分）（2012?哈爾濱）化簡：=3．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出即可．【解答】解：=3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，是基礎(chǔ)題型，比較簡單．10．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）計算：（﹣2）2014（+2）2015=+2．【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行變形，再由平方差公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式=（﹣2）2014（+2）2014?（+2）=[（﹣2）（+2）]2014?（+2）=+2，故答案為+2．【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．11．（3分）（2015秋?宜賓期末）若m：n=5：4，則=．【分析】由于m：n=5：4，于是可設(shè)m=5k，n=4k，利用把m=5k，n=4k代入中進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可．【解答】解：∵m：n=5：4，∴可設(shè)m=5k，n=4k，∴==．故答案為．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)：內(nèi)項之積等于外項之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)．12．（3分）（2012秋?新都區(qū)期末）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣12x+35=0的根，則該三角形的周長為12．【分析】先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，得x1=5，x2=7，∵1＜第三邊＜7，∴第三邊長為5，∴周長為3+4+5=12．【點評】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意分類討論．13．（3分）（2015秋?簡陽市校級期末）某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元．如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應(yīng)為200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1000萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故答案為：200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．【點評】考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）畢業(yè)之際，某校九年級數(shù)學(xué)性趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個同學(xué)都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為6人．【分析】易得每個同學(xué)都要送給其他同學(xué)，等量關(guān)系為：小組的人數(shù)×（小組人數(shù)﹣1）=30，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人．x（x﹣1）=30，解得x1=6，x2=﹣5（不合題意，舍去），故答案是：6．【點評】此題考查一元二次方程的應(yīng)用；得到禮物總件數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15．（3分）（2007?婁底）如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么還要補(bǔ)充的一個條件是∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或．（只要求寫出一個條件即可）【分析】本題主要根據(jù)平行推出角的等量關(guān)系，再根據(jù)對應(yīng)邊的關(guān)系，利用兩三角形相似的判定定理，做題即可．【解答】解：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB∴當(dāng)∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．16．（3分）（2016秋?宜賓縣期中）如圖，△ABC與△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E．AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①△ABC≌△AEF；②∠AFC=∠C；③DF=CF；④△ADE∽△FDB其中正確的結(jié)論是①②④（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【分析】根據(jù)SAS可以證明△ABC≌△AEF，根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似可以證明△ADE∽△FDB，由此不難得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正確，∴AC=AF，∴∠C=∠AFC，故②正確，∵∠E=∠B，∠EDA=∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正確，無法證明DF=CF，故③錯誤．故答案為①②④．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．三、解答題：本大題共8個題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）（2016秋?宜賓縣期中）計算（1）2+6﹣3（2）÷（﹣）×．【分析】（1）先依次化簡為最簡二次根式，再合并；（2）把被開方數(shù)相乘除，得，再化成，得結(jié)果．【解答】解：（1）2+6﹣3，=2×+6×﹣3×4，=4+3﹣12，=﹣5；（2）÷（﹣）×，=﹣，=﹣，=﹣4．【點評】本題是二次根式的混合運(yùn)算，與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；對于二次根式的乘除法，要先確定其符號，再相乘除；注意二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．18．（10分）（2016秋?宜賓縣期中）解方程：（1）4x（1﹣x）=1（2）x2+3x+1=0（公式法）【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用公式法解方程；（2）先計算判別式的值，然后利用公式法解方程．【解答】解：（1）4x2﹣4x+1=0，△=（﹣4）2﹣4×4×1=0，x=，所以x1=x2=；（3）△=32﹣4×1×1=5，x=，所以x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．19．（8分）（2016秋?宜賓縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3=0（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)判別式△=（m﹣3）2+3＞0，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，把兩根之和代入滿足的等式，得到x1，再把x1代入方程可以求出m的值．【解答】解：（1）∵△=（m﹣2）2﹣4×（m﹣3）=（m﹣3）2+3＞0，∴無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：x1+x2=m﹣2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2﹣m=3，把x1代入方程有：9﹣3（m﹣2）+m﹣3=0解得m=．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．20．（8分）（2008?寧德）如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F．在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．【解答】解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在?ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）【點評】考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．21．（8分）（2014?沈陽校級模擬）如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=135°，BC=2；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）先在Rt△BCG中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠GBC的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數(shù)；在Rt△BCH中利用勾股定理即可求出BC的長．（2）利用格點三角形的知識求出AB，BC及CE，DE的長度，繼而可作出判斷．【解答】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，∴BC===2．故答案為：135°；2；（2）相似．理由如下：∵BC=2，EC=，∴==，==，∴=，又∵∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．【點評】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．22．（8分）（2014?襄陽）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【分析】根據(jù)x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化簡原式，代入求值即可．【解答】解：∵x=1﹣，y=1+，∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，xy=（1﹣）（1+）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）=7+4．【點評】本題考查了二次根式的化簡以及因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式．23．（10分）（2016秋?宜賓縣期中）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利50元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價10元，商場平均每天可多售出20件．（1）若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（2）怎樣定價能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）利用襯衣平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可；（2）根據(jù)（1）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，配方成頂點式即可得．【解答】解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元．根據(jù)題意，得（50﹣x）（20+2x）=1600整理，得x2﹣40x+300=0解得x1=10，x2=30