2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?東湖區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位數(shù)為32 B．從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率是1591C．已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，則n＝40 D．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，則P（ξ＜3）＝1﹣p（多選）2．（2024?新鄭市校級一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p=2B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數(shù)為78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則P(-1≤ξ≤0)=D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人（多選）3．（2024?東莞市校級三模）下列選項中正確的有（）A．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1 B．在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高 C．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，則P（2＜X＜4）＝0.2 D．若數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為2（多選）4．（2024?香坊區(qū)校級模擬）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說法正確的是（）A．A?B B．事件B與事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=（多選）5．（2024?新縣校級模擬）下列說法正確的是（）A．已知隨機變量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，則P（X＞4）＝0.1 B．設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充要條件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14（多選）6．（2024?日照模擬）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A，“乙正面向上”為事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C，則下列判斷正確的是（）A．A與B相互獨立 B．A與B互斥 C．P(B|C)=23 D（多選）7．（2024?袁州區(qū)校級三模）同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同．下列說法正確的有（）A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立 C．事件A與事件C相互獨立 D．P（C）＝P（AB）（多選）8．（2024?鯉城區(qū)模擬）已知隨機變量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若數(shù)列{Pn}是等差數(shù)列，則（）A．若n為奇數(shù)，則P(X=n+1B．PnC．若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則nP1＜1 D．E(X)=（多選）9．（2024?城區(qū)校級模擬）已知某果園的每棵果樹生長的果實個數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布N（90，σ2），X小于70的概率為0.2，從該果園隨機選取10棵果樹，其中果實個數(shù)在[90，110]的果樹棵數(shù)記作隨機變量Y，則下列說法正確的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1（多選）10．（2024?樊城區(qū)校級模擬）下列結(jié)論正確的是（）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）都在直線y＝0.95x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95 B．已知隨機變量ξ～N（3，4），若ξ＝2η+1，則D（η）＝1 C．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來的2倍，則χ2也變成原來的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，B＝“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則A，B互為獨立事件

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?東湖區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位數(shù)為32 B．從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率是1591C．已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，則n＝40 D．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，則P（ξ＜3）＝1﹣p【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；百分位數(shù)；二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】BC【分析】由百分位數(shù)的定義進行判斷A項，由超幾何分布公式求概率判斷B項，由二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)判斷C項，由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D項．【解答】解：對數(shù)據(jù)排列：27，30，31，32，38，40，50，54，因為8×25%＝2，所以第25百分位數(shù)=30+312，故對于B，從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為p=C42對于C，X～B（n，p），得np=20np(1-p)=10，解得n=40p=1對于D，∵ξ～N（2，σ2），則正態(tài)曲線的對稱軸為ξ＝2，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得P（ξ＞1）＝P（ξ＜3）＝p，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查百分位數(shù)的定義，超幾何分布，二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）2．（2024?新鄭市校級一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p=2B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數(shù)為78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則P(-1≤ξ≤0)=D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；n重伯努利試驗與二項分布；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；分層隨機抽樣．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】BCD【分析】根據(jù)二項分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得p=13，知A錯誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知【解答】解：對于A，∵X～B（n，p），∴E(X)=np=30D(X)=np(1-p)=20∴1-p=23，解得對于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序為64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%＝4.5，∴45%分位數(shù)為第5個數(shù)，即78，故B正確；對于C，∵ξ～N（0，1），∴P(-1≤ξ≤0)=12對于D，∵抽樣比為20400∴高二應(yīng)抽取360×120=18人，則高三應(yīng)抽取57﹣20﹣18＝故選：BCD．【點評】本題主要考查離散型隨機變量期望與方差，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）3．（2024?東莞市校級三模）下列選項中正確的有（）A．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1 B．在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高 C．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，則P（2＜X＜4）＝0.2 D．若數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為2【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；變量間的相關(guān)關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】對于A，B，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，殘差的定義，即可求解；對于C，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解；對于D，結(jié)合方差的線性公式，即可求解．【解答】解：若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，故A錯誤；在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故B正確；隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），則P（2＜X＜4）＝P（X＜4）﹣P（X≤2）＝0.8﹣0.5＝0.3，故C錯誤；設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為m，數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則22×m＝8，解得m＝2，故D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎(chǔ)題．（多選）4．（2024?香坊區(qū)校級模擬）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說法正確的是（）A．A?B B．事件B與事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=【考點】互斥事件與對立事件；隨機事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】CD【分析】由已知先列舉出事件A，B，C包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗各選項即可判斷．【解答】解：由題意可得，A＝{（紅，紅），（綠，綠）}，B＝{（紅，紅），（綠，紅）}，C＝{（紅，紅），（紅，綠）}，則A?B，選項A錯誤；B∩C≠?，選項B錯誤；P（AB）=4×310×9=P（B+C）=4×3+6×4×210×9=故選：CD．【點評】本題主要考查了事件基本關(guān)系的判斷，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）5．（2024?新縣校級模擬）下列說法正確的是（）A．已知隨機變量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，則P（X＞4）＝0.1 B．設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充要條件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)條件概率公式可判斷C，根據(jù)獨立事件的定義可判斷D．【解答】解：對于A，∵X～N（2，σ2），且P（0＜X＜2）＝0.4，∴P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.5﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.4＝0.1，故A正確；對于B，設(shè)a＞0，b＞0，若logb3＞loga3，則a＞b＞1或0＜b＜a＜1，設(shè)a＞0，b＞0，若a＞b＞1，則log3a＞log3b＞0，所以loga3＜logb3，即設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充分不必要條件是“a＞b＞1”，故B錯誤；對于C，已知P(B|A)=12，P(AB)=38，則P（A）對于D，因為P（A）=13，所以P（A）所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A與B相互獨立，故D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及條件概率公式，屬于中檔題．（多選）6．（2024?日照模擬）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A，“乙正面向上”為事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C，則下列判斷正確的是（）A．A與B相互獨立 B．A與B互斥 C．P(B|C)=23 D【考點】條件概率；互斥事件與對立事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】AC【分析】根據(jù)獨立事件和互斥事件的定義判斷AB，利用條件概率公式判斷C，利用獨立事件的概率乘法公式判斷D．【解答】解：對于A，由題意可知，事件A與事件B相互獨立，故A正確；對于B，由題意可知，事件A與事件B有可能同時發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A與事件B不是互斥事件，故B錯誤；對于CD，P（C）＝1-12×12=3所以P（B|C）=P(BC)P(C)=23故選：AC．【點評】本題主要考查了獨立事件和互斥事件的定義，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024?袁州區(qū)校級三模）同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同．下列說法正確的有（）A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立 C．事件A與事件C相互獨立 D．P（C）＝P（AB）【考點】互斥事件與對立事件；隨機事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BC【分析】對于A，甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時發(fā)生，由對立事件的概念可判斷；對于B，計算出P（A）P（B），P（AB），根據(jù)P（AB）＝P（A）P（B）可以判定兩個事件是否相互獨立；對于C，計算出P（A）P（C），P（AC），根據(jù)P（AC）＝P（A）P（C）可以判定兩個事件是否相互獨立；對于D，由前面可知P（C），P（AB），即可判斷是否相等．【解答】解：由題意，得P(A)=12，P(B)=1對于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點，且乙為偶數(shù)點時，事件可以同時發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對立，故A錯誤；對于B，由題意知P(AB)=C31C31C61對于C，P(AC)=336=112，又P(A)P(C)=12對于D，由上知，P(C)=16＜故選：BC．【點評】本題主要考查了相互獨立，互斥及對立事件的判斷，屬于中檔題．（多選）8．（2024?鯉城區(qū)模擬）已知隨機變量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若數(shù)列{Pn}是等差數(shù)列，則（）A．若n為奇數(shù)，則P(X=n+1B．PnC．若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則nP1＜1 D．E(X)=【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】由分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和公式可得P1【解答】解：由數(shù)列Pn是等差數(shù)列且P1+P2+?+Pn＝1，得n(P1+對于A，當(dāng)n為奇數(shù)時，P(X=n+12)=對于B，由P1+Pn=對于C，若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則Pn-P1=2n-2由kPk=k[所以E（X）=k=1nkPk=n(n+1)2?（P1﹣d故選：ACD．【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望，等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）9．（2024?城區(qū)校級模擬）已知某果園的每棵果樹生長的果實個數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布N（90，σ2），X小于70的概率為0.2，從該果園隨機選取10棵果樹，其中果實個數(shù)在[90，110]的果樹棵數(shù)記作隨機變量Y，則下列說法正確的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)分析A，由二項分布的性質(zhì)分析BCD，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，X服從正態(tài)分布N（90，σ2），則有P（X＜70）＝P（X＞110），故P（X＞110）＝0.2，則有P（90≤x≤110）＝P（X≥90）﹣P（X≥110）＝0.5﹣0.2＝0.3，故選項A正確；由題意可知Y～B（10，0.3），則P（Y＝1）=C101×0.3×0.7Y～B（10，0.3），則E（Y）＝10×0.3＝3，D（Y）＝10×0.3×（1﹣0.3）＝2.1，故選項C錯誤，選項D正確．故選：AD．【點評】本題考查正態(tài)分布和二項分布的性質(zhì)，涉及概率的計算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024?樊城區(qū)校級模擬）下列結(jié)論正確的是（）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）都在直線y＝0.95x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95 B．已知隨機變量ξ～N（3，4），若ξ＝2η+1，則D（η）＝1 C．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來的2倍，則χ2也變成原來的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，B＝“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則A，B互為獨立事件【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù)；獨立性檢驗；命題的真假判斷與應(yīng)用；隨機事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】BCD【分析】根據(jù)統(tǒng)計的有關(guān)定義，公式逐項判斷即可．【解答】解：A選項，樣本點（xi，yi）都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1，故A錯誤；B選項，因為ξ～N（3，4），所以D（ξ）＝4，又ξ＝2n+1，所以D（ξ）＝4D（η）＝4，∴D（η）＝1，故B正確；C選項，由χ2公式可知，χ2也變成原來的2倍，故C正確；D選項，由于事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，故A，B互為獨立事件，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查統(tǒng)計的有關(guān)知識點，屬于中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．隨機事件【知識點的認(rèn)識】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．（或“偶然性事件”）2．特點：（1）隨機事件可以在相同的條件下重復(fù)進行；（2）每個試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先預(yù)測試驗的所有可能結(jié)果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機會是1；不可能事件發(fā)生的機會是0；隨機事件發(fā)生的機會在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．3．互斥事件與對立事件【知識點的認(rèn)識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做A．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發(fā)生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大D．事件A，B同時發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個包含關(guān)系．解答：根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關(guān)系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解兩個事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=12，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點評：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應(yīng)用．3．對立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因為對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認(rèn)識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．5．條件概率【知識點的認(rèn)識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點撥】典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊每人答對的概率都是2（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)6．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認(rèn)識】1、相關(guān)概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．7．離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識點的認(rèn)識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．8．n重伯努利試驗與二項分布【知識點的認(rèn)識】1、二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、獨立重復(fù)試驗：（1）獨立重復(fù)試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重復(fù)，且它們相互獨立，那么這類試驗叫做獨立重復(fù)試驗．（2）一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p（3）獨立重復(fù)試驗：若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的．（4）獨立重復(fù)試驗概率公式的特點：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次獨立重復(fù)試驗中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復(fù)試驗的次數(shù)，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p【解題方法點撥】獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．【命題方向】典例1：如果ζ～B（100，12），當(dāng)P（ζ＝k）取得最大值時，k＝50解：∵ζ～B（100，12當(dāng)P(ξ=k)=C由組合數(shù)知，當(dāng)k＝50時取到最大值．故答案為：50．典例2：一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當(dāng)m為何值時，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，∴每次中獎的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中獎的概率p=2∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為C3（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2+3p∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上單調(diào)遞增，在（13，∴p=13時，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2時，f（p）取得最大值．9．二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識點的認(rèn)識】二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：E(X)=n×p，其中n為試驗次數(shù)，﹣方差：D(X)=n×【解題方法點撥】﹣使用二項分布的均值和方差公式來計算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點考察二項分布的期望和方差計算，常用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析和預(yù)測問題．10．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認(rèn)識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)μ和σ（σ＞（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為12πσ，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12π（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．典例2：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點評：服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有x1+典例2：工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，19），問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個），即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．11．分層隨機抽樣【知識點的認(rèn)識】1．定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．2．三種抽樣方法比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成【解題方法點撥】分層抽樣方法操作步驟：（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分；（2）確定比例：計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進行抽樣（各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽?。?，綜合每層抽樣，組成樣本．【命題方向】（1）區(qū)分分層抽樣方法例：某交高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查．這種抽樣方法是（）A．簡單隨機抽樣法B．抽簽法C．隨機數(shù)表法D．分層抽樣法分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進行抽樣解答：總體由男生和女生組成，比例為500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故選D點評：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題．（2）求抽取樣本數(shù)例1：某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先計算每個個體被抽到的概率，再用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率，即得到該層應(yīng)抽取的個體數(shù)．解答：每個個體被抽到的概率等于1654+42=16，54×16故從一班抽出9人，從二班抽出7人，故選C．點評：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個體數(shù)．例2：某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A.35B.25C.15D.7分析：先計算青年職工所占的比例，再根據(jù)青年職工抽取的人數(shù)計算樣本容量即可．解答：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7：5：3，所以樣本容量為7715故選C．點評：本題考查分層抽樣的定義和方法，求出每個個體被抽到的概率，用個體的總數(shù)乘以每個個體被抽到的概率，就得到樣本容量n的值．12．用樣本估計總體的離散程度參數(shù)【知識點的認(rèn)識】用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個數(shù)據(jù)就叫極差．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫