2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：函數(shù)應(yīng)用（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：函數(shù)應(yīng)用（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?天心區(qū)校級模擬）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生β衰變，其半衰期是12.43年．樣本中氚的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=N0?2-t12.43，其中NA．t=12.43loB．經(jīng)過24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失 C．經(jīng)過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?32D．若x年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0，則x＞16（多選）2．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱 B．f（x）的值域為[﹣1，2] C．若方程f(x)=-14在（0，m）上有6個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)mD．若方程[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1（a∈R）在（0，2π）上有6個不同的實(shí)根ii（i＝1，2，?，6），則ai=16xi的取值范圍是（（多選）3．（2024?天河區(qū)校級二模）對于任意兩個正數(shù)u，v（u＜v），記曲線y=1x直線x＝u，x＝v，x軸圍成的曲邊梯形的面積為L（u，v），并約定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)L（1，x）＝lnx．關(guān)于L（u，A．L(1B．L（440，380）＝80L（2，3） C．2L(u，D．L（uu，vu）＞v﹣u（多選）4．（2024?新鄭市校級三模）已知f（x）＝|sinx|cosx+sin2x，則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2B．f（x）的值域為[-C．f（x）在區(qū)間（0，50）上有33個零點(diǎn) D．若方程f(x)=34在（0，t）（t＞0）有4個不同的解xi（i＝1，2，3，4），其中xi＜xi+1（i＝1，2，3），則x1+x2+x3+x4+t（多選）5．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)f(x)=2xA．f（x）的定義域為R B．f（x）是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)f（x+2024）的零點(diǎn)為0 D．當(dāng)x＞0時，f（x）的最大值為1（多選）6．（2024?定西模擬）已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|﹣a，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a，則（）A．當(dāng)g（x）有2個零點(diǎn)時，f（x）只有1個零點(diǎn) B．當(dāng)g（x）有3個零點(diǎn)時，f（x）只有1個零點(diǎn) C．當(dāng)f（x）有2個零點(diǎn)時，g（x）有2個零點(diǎn) D．當(dāng)f（x）有2個零點(diǎn)時，g（x）有4個零點(diǎn)（多選）7．（2024?畢節(jié)市模擬）函數(shù)f(x)=-x2+2x，A．?b∈R，使得g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，則方程g（x）＝0有大于2的實(shí)根 C．若0＜a≤1，b＝1，則方程g（x）＝0至少有兩個實(shí)根 D．若a≥1，b＜1，則方程g（x）＝0有三個實(shí)根（多選）8．（2024?茂名模擬）已知x1為方程x3+x﹣1＝0的根，x2為方程x5+x﹣1＝0的根，則（）A．1+x1x2＜x1+x2 B．2＜C．x1＜x2 D．x（多選）9．（2024?雁峰區(qū)校級一模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠πA．當(dāng)x∈(0，π2)B．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，則x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0（多選）10．（2024?菏澤二模）函數(shù)f（x）＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)f（x）＝[x]與函數(shù)h（x）＝x﹣1無公共點(diǎn) B．若x∈（0，1），則f(-C．k=123D．所有滿足f(m)=f(n)(m，n∈[0，10

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：函數(shù)應(yīng)用（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?天心區(qū)校級模擬）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生β衰變，其半衰期是12.43年．樣本中氚的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=N0?2-t12.43，其中NA．t=12.43loB．經(jīng)過24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失 C．經(jīng)過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?32D．若x年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0，則x＞16【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】CD【分析】對于A，由N=N0?2-t12.43對于B，將t＝24.86代入N=N對于C，將t＝62.15代入N=N對于D，由題意可得-x12.43=log20.4【解答】解：對于A，由N=N0?所以-t12.43=log2NN0，t對于B，將t＝24.86代入N=N0?2-t12.43，得N＝N0?所以經(jīng)過24.86年后，樣本中的氚元素是原來的14對于C，將t＝62.15代入N=N0?2-t12.43，得N＝N0?所以經(jīng)過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?32對于D，因為x年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0，所以N0?2-x12.43=即2-x12.43=0.4，-x12.43=log20.4＝log225=1﹣log25所以x≈﹣12.43×（﹣1.322）≈16.557＞16，故正確．故選：CD．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，考查了對數(shù)與指數(shù)的基本運(yùn)算及互化，屬于基礎(chǔ)題．（多選）2．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱 B．f（x）的值域為[﹣1，2] C．若方程f(x)=-14在（0，m）上有6個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)mD．若方程[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1（a∈R）在（0，2π）上有6個不同的實(shí)根ii（i＝1，2，?，6），則ai=16xi的取值范圍是（【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【專題】分類討論；對應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】對于A，判斷f（2π﹣x）＝﹣f（x）是否成立，即可判斷；對于B，分sinx≥0、sinx＜0去絕對值，即可判斷；對于C，分sinx≥0、sinx＜0求解即可；對于D，由題意可得f（x）＝a﹣1或f（x）＝a+1，f（x）＝a﹣1有4個不同的實(shí)根，f（x）＝a+1有2個不同的實(shí)根，列出不等式組，可得a的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的對稱性求解即可．【解答】解：因為f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，所以f（2π﹣x）＝﹣sinx|sinx|﹣cos2x≠﹣f（x），所以f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱，A錯誤；當(dāng)sinx≥0時f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣（1﹣2sin2x）＝3sin2x﹣1，所以﹣1≤3sin2x﹣1≤2，當(dāng)sinx＜0時，f（x）＝﹣sin2x﹣cos2x＝﹣sin2x﹣（1﹣2sin2x）＝sin2x﹣1，所以﹣1＜sin2x﹣1≤0，綜上得﹣1≤f（x）≤2，B正確；當(dāng)sinx≥0時，由f(x)=-14當(dāng)sinx＜0時，由f（x）=-14所以方程f(x)=-14在（0，+∞）上的前7所以17π6＜m≤由[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1，即[f（x）﹣a]2＝1，f（x）﹣a＝1或f（x）﹣a＝﹣1，得f（x）＝a﹣1或f（x）＝a+1，所以f（x）＝a﹣1有4個不同的實(shí)根，f（x）＝a+1有2個不同的實(shí)根，所以-1所以0＜a＜1，設(shè)x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，則x1+x4＝x2+x3＝π，x5+x6＝3π，所以i=16所以ai=16xi的取值范圍是（0，故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．（多選）3．（2024?天河區(qū)校級二模）對于任意兩個正數(shù)u，v（u＜v），記曲線y=1x直線x＝u，x＝v，x軸圍成的曲邊梯形的面積為L（u，v），并約定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)L（1，x）＝lnx．關(guān)于L（u，A．L(1B．L（440，380）＝80L（2，3） C．2L(u，D．L（uu，vu）＞v﹣u【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】根據(jù)L（1，x）＝lnx確定出L（x，1）的結(jié)果，然后分類討論u＞1、v＜1、u＜1＜v、v＝1或u＝1時L（u，v）的結(jié)果，由此確定出L（u，v）的解析式，再根據(jù)解析式逐項分析即可．【解答】解：由題意L（1，x）＝﹣L（x，1）＝lnx，所以L（x，1）＝﹣lnx，當(dāng)u＞1時，L（u，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，當(dāng)v＜1時，L（u，v）＝L（u，1）﹣L（v，1）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，當(dāng)u＜1＜v時，L（u，v）＝L（u，1）+L（1，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，當(dāng)v＝1或u＝1時，L（u，v）＝lnv﹣lnu也成立，綜上所述，L（u，v）＝lnv﹣lnu；對于A：L(1所以L(110，對于B：L（440，380）＝ln380﹣ln440＝ln380﹣ln280＝80（ln3﹣ln2），且L（2，3）＝ln3﹣ln2，所以L（440，330）＝80L（2，3），故B正確；對于C：如圖，因為曲邊梯形的面積總小于對應(yīng)梯形的面積，所以L(u，即2L(u，v)＜對于D：取u＝1，v＝2，則L（uu，vu）＝L（1，2）＝ln2＜2﹣1＝1，故D錯誤．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)新定義，對學(xué)生分析與總結(jié)問題的能力要求較高，所以難題．（多選）4．（2024?新鄭市校級三模）已知f（x）＝|sinx|cosx+sin2x，則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2B．f（x）的值域為[-C．f（x）在區(qū)間（0，50）上有33個零點(diǎn) D．若方程f(x)=34在（0，t）（t＞0）有4個不同的解xi（i＝1，2，3，4），其中xi＜xi+1（i＝1，2，3），則x1+x2+x3+x4+t【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【專題】整體思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得f（π﹣x）＝﹣f（x），從而可對A判斷；由題意可得f（x+2π）＝f（x），則2π為f（x）的一個周期，不妨討論[0，2π]內(nèi)的值域情況，從而可對B判斷；令f（x）＝0，可得sinx＝0或cosx＝0，即x=12kπ（k∈Z），從而可對C判斷；根據(jù)f(x)=34分情況討論得到29π12＜t≤49π12，x1+x2+x【解答】解：對A：由f（π﹣x）＝|sin（π﹣x）|cos（π﹣x）+sin2（π﹣x）＝|sinx|×（﹣cosx）﹣（sin2x）＝﹣|sinx|cosx﹣sin2x＝﹣f（x），所以f（π﹣x）+f（x）＝0，則f（x）的圖象關(guān)于(π2，對B：由f（x）＝|sinx|cosx+sin2x＝|sinx|cosx+2sinxcosx，因為f（x+2π）＝|sin（x+2π）|cos（x+2π）+sin（2x+4π）＝|sinx|cosx+2sin2x＝f（x），所以f（x）的一個周期為2π，不妨討論[0，2π]一個周期的值域情況，當(dāng)0≤x≤π2，此時sinx≥0，則f(x)=|sinx|cosx+sin2x=1因為x∈[0，π2]，所以2x∈[0，π]，則sin2x∈當(dāng)π2＜x≤π，此時sinx≥0，cosx則f(x)=|sinx|cosx+sin2x=1因為x∈(π2，π]，所以2x∈（π，2π]，則sin2x∈[﹣當(dāng)π＜x≤3π2，此時sinx≤0，則f(x)=|sinx|cosx+sin2x=-因為x∈(π，3π2]，所以2x∈（2π，3π]，則sin2x∈當(dāng)3π2＜x≤2π，此時sinx≤0，cosx則f(x)=|sinx|cosx+sin2x=-因為x∈(3π2，2π]，所以2x∈（3π，4π]，則sin2x∈[﹣綜上所述f(x)∈[-對C：f（x）＝cosx（|sinx|+2sinx），令f（x）＝0得sinx＝0或cosx＝0，可得x=12kπ（k所以31π2＜50，32π2＞50，所以f（x）在（0，對D：f（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（0，π]時f(x)∈則f(x)=34在（0，π]上有2個實(shí)根x1，x2，且x1與x2關(guān)于x=π當(dāng)x∈（π，2π]時f(x)∈[-12，12]則f(x)=34在（2π，3π]上有2個實(shí)根x3，x4，且x3與x4關(guān)于9π4且x3=2π+π當(dāng)x∈（3π，4π]時f(x)∈[-12，12]當(dāng)x∈（4π，5π]時，f(x)=34有2個實(shí)根，但f（x）只需有所以29π12＜t≤49π12，又因為x1+x2+x3+x所以x1+x2+x3+x4+t的取值范圍是(89π12，故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，需要熟練掌握誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的圖像、二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．（多選）5．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)f(x)=2xA．f（x）的定義域為R B．f（x）是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)f（x+2024）的零點(diǎn)為0 D．當(dāng)x＞0時，f（x）的最大值為1【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的奇偶性．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列式求出f（x）的定義域，從而判斷出A項的正誤；由函數(shù)奇偶性的定義，判斷出f（x）的奇偶性，從而判斷出B項的正誤；求出方程f（x+2004）＝0的根，從而判斷出C項的正誤；當(dāng)x＞0時，利用基本不等式求出f（x）的最大值，從而判斷出D項的正誤．【解答】解：對于A，函數(shù)f(x)=2xx2+9的自變量x滿足x2+9≠0，解得x∈R，故f（x）的定義域為對于B，因為f（﹣x）=-2x(-x)2+9=-2xx2+9=-f（對于C，f（x+2024）=2(x+2024)(x+2024)2+9，可知f（x+2024）＝0即函數(shù)f（x+2024）的零點(diǎn)為﹣2024，故C項不正確；對于D，當(dāng)x＞0時，f（x）=2x+9x≤22x?所以當(dāng)x＞0時，f（x）最大值為f（3）=13，故故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域與奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)的求法、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．（多選）6．（2024?定西模擬）已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|﹣a，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a，則（）A．當(dāng)g（x）有2個零點(diǎn)時，f（x）只有1個零點(diǎn) B．當(dāng)g（x）有3個零點(diǎn)時，f（x）只有1個零點(diǎn) C．當(dāng)f（x）有2個零點(diǎn)時，g（x）有2個零點(diǎn) D．當(dāng)f（x）有2個零點(diǎn)時，g（x）有4個零點(diǎn)【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】BD【分析】做出函數(shù)y＝|2x﹣1|y＝x2﹣4|x|+2的大致圖象，問題轉(zhuǎn)化為y＝a與這兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題．【解答】解：分別令函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|﹣a＝0，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a＝0，即|2x﹣1|＝a，x2﹣4|x|+2＝a，它們的根為y＝a分別與y＝|2x﹣1|和y＝x2﹣4|x|+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出y＝|2x﹣1|和y＝x2﹣4|x|+2的大致圖象，如圖所示：由圖可知，當(dāng)g（x）有2個零點(diǎn)時，f（x）無零點(diǎn)或只有1個零點(diǎn)，A錯誤；當(dāng)g（x）有3個零點(diǎn)時，f（x）只有1個零點(diǎn)，B正確；當(dāng)f（x）有2個零點(diǎn)時，g（x）有4個零點(diǎn)，C錯誤，D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．（多選）7．（2024?畢節(jié)市模擬）函數(shù)f(x)=-x2+2x，A．?b∈R，使得g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，則方程g（x）＝0有大于2的實(shí)根 C．若0＜a≤1，b＝1，則方程g（x）＝0至少有兩個實(shí)根 D．若a≥1，b＜1，則方程g（x）＝0有三個實(shí)根【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】由已知可得f（x）為奇函數(shù)，作出圖象，當(dāng)b＝0時，g（x）＝af（x）為奇函數(shù)，可判斷A；由已知可得g（x）＝﹣f（x）+b，依據(jù)y＝f（x）與y＝b的圖象交點(diǎn)個數(shù)可判斷B；由y＝af（x）與y＝﹣b至多有2個交點(diǎn)，可判斷C；當(dāng)a＝1，b＝﹣3時，可得y＝f（x）與y＝﹣b只有一交點(diǎn)，可判斷D．【解答】解：由f(x)=-x2+2x，x≥0對于A，當(dāng)b＝0時，g（x）＝af（x）為奇函數(shù)，故?b∈R，使得g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；對于B，若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，則g（x）＝﹣f（x）+b，由g（x）＝0，可得f（x）＝b，如圖，若y＝f（x）與y＝b有三個交點(diǎn)，存在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2，所以方程g（x）＝0有大于2的實(shí)根，故B正確；對于C，若0＜a≤1，b＝1，則由y＝f（x）圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍可得y＝af（x）的圖象，如圖，由g（x）＝0，可得af（x）＝﹣b，由圖象，若y＝af（x）與y＝﹣b至多有2個交點(diǎn)，所以方程g（x）＝0至多有兩個實(shí)根，故C錯誤；對于D，當(dāng)a＝1，b＝﹣3時，由g（x）＝0，可得f（x）＝﹣b，由圖象可得y＝f（x）與y＝﹣b只有一交點(diǎn)，故方程g（x）＝0只有一個實(shí)根，故D錯誤．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)形結(jié)合法在解決函數(shù)的零點(diǎn)問題的應(yīng)用，屬于難題．（多選）8．（2024?茂名模擬）已知x1為方程x3+x﹣1＝0的根，x2為方程x5+x﹣1＝0的根，則（）A．1+x1x2＜x1+x2 B．2＜C．x1＜x2 D．x【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】由題意可得x1、x2為函數(shù)y＝x3，y＝x5與直線y＝1﹣x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象，由冪函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)可得12＜x1＜x2＜1，從而可判斷C；用作差法判斷A；利用不等式的性質(zhì)判斷B；令f（x）=exx，1【解答】解：由x3+x﹣1＝0，可得x3＝1﹣x，由x5+x﹣1＝0，可得x5＝1﹣x，所以x1、x2為函數(shù)y＝x3，y＝x5的圖象與直線y＝1﹣x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又因為y＝x3，y＝x5均單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時，x3＞x5，如圖所示：由此可知0＜x1＜x2＜1，則x1＜x2，故C正確；又因為當(dāng)x=12時，y＝1﹣x=12，y＝所以12＜x1＜x2＜對于A，因為1+x1x2﹣（x1+x2）＝（1﹣x1）+x2（x1﹣1）＝（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，所以1+x1x2＞x1+x2，故錯誤；所以1＜1x所以2＜1x2+對于D，令f（x）=exx，12則f′（x）=(x-1)e所以f（x）在（12，1又因為12＜x1＜x2＜所以f（x1）＞f（x2），即ex1x1＞ex2故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查了冪函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．（多選）9．（2024?雁峰區(qū)校級一模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠πA．當(dāng)x∈(0，π2)B．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，則x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】A選項，作單位圓，利用面積得到tanα＞α；BC．畫出y1＝tanx與y2＝x的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷BC選項；D．不妨設(shè)x2＞x1，則3π2＞x2-π＞x1＞π，根據(jù)y=1cosx在(π，3π2)上單調(diào)遞減，得到1cosx1【解答】解：A．設(shè)∠AOB=α∈(0，π2)，作出單位圓，與x軸交于A過點(diǎn)A作AC垂直于x軸，交射線OB于點(diǎn)C，連接AB，由三角函數(shù)定義可知AC＝tanα，AB=α設(shè)扇形OAB的面積為S1，則S△OAC＞S1，即12tanα＞12α當(dāng)x∈(0，π2)時，有不等式tanB．畫出y1＝tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠由圖象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)C．y＝tanx的最小正周期為π，由圖象可知x2＞x1+π，故x2﹣x1＞π，C正確；D．不妨設(shè)x2＞x1，則3π2因為y=1cosx在所以1cosx1由x1＝tanx1，x2＝tanx2可知，x1所以x1因為x1∈(π，所以sinx1＜0，sinx2＞0，所以sinx1sinx2＜0，所以x1sinx2+x2sinx1＜0，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．（多選）10．（2024?菏澤二模）函數(shù)f（x）＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)f（x）＝[x]與函數(shù)h（x）＝x﹣1無公共點(diǎn) B．若x∈（0，1），則f(-C．k=123D．所有滿足f(m)=f(n)(m，n∈[0，10【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象．【答案】ABD【分析】作出函數(shù)f（x）＝[x]與函數(shù)h（x）＝x﹣1的圖像，即可判斷A；根據(jù)x的取值范圍，分別求出f(-x)+12，-(f(x)+12)的值，判斷B；對k的取值分類討論，即可判斷C；對m，【解答】解：函數(shù)f（x）＝[x]與函數(shù)h（x）＝x﹣1的圖像如圖所示，由圖可得函數(shù)f（x）＝[x]與函數(shù)h（x）＝x﹣1無公共點(diǎn)，A正確；若x∈（0，1），則﹣x∈（﹣1，0），則f(--(f(x)+12)=-(0+1當(dāng)k∈{k|1≤k≤6，k∈N}時，f(k當(dāng)k∈{k|7≤k≤13，k∈N}時，f(k當(dāng)k∈{k|14≤k≤20，k∈N}時，f(k當(dāng)k∈{k|21≤k≤23，k∈N）}時，f(k當(dāng)k∈{k|1≤k≤7，k∈N}時，f(-當(dāng)k∈{k|8≤k≤14，k∈N}時，f(-當(dāng)k∈{k|15≤k≤21，k∈N}時，f(-當(dāng)k∈{k|22≤k≤23，k∈N}時，f(-k=123f(-當(dāng)m∈[0，1）時，n∈[0，1），f（m）＝f（n）＝0，此時（m，n）組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)m∈[1，2）時，n∈[1，2），f（m）＝f（n）＝1，此時（m，n）組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)m∈[2，3）時，n∈[2，3），f（m）＝f（n）＝2，此時（m，n）組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)m∈[3，103)時，n∈[3，103此時（m，n）組成區(qū)域的面積為(10綜上點(diǎn)所述，（m，n）組成區(qū)域的面積為1×3+1故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查命題真假的判斷、函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是理解新符號的含義，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和作圖能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x＜解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，y=x用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點(diǎn)評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1=(x+1)當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點(diǎn)評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點(diǎn)評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．函數(shù)的定義域及其求法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．3．函數(shù)的奇偶性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．4．函數(shù)的零點(diǎn)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點(diǎn)．即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是一個實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；③計算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時零點(diǎn)x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時零點(diǎn)x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)（2）～（4）【命題方向】零點(diǎn)其實(shí)并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個零點(diǎn)．這個考點(diǎn)屬于了解性的，知道它的概念就行了．5．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點(diǎn)．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．6．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．7．函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問題．【解題方法點(diǎn)撥】﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)．﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．﹣綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實(shí)際問題．【命題方向】常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運(yùn)用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．8．分段函數(shù)的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實(shí)際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件8000100-p元，預(yù)計年銷售量將減少p（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為8000100-p（11.8﹣p政府對該商品征收的稅收y=8000100-p（11.8﹣p）p故所求函數(shù)為y=80100-p（11.8﹣p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p≥化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p≤∵g(p)=8000100-p(11.8-p)=800(10+882100-p∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當(dāng)稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實(shí)無關(guān)．我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達(dá)式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實(shí)分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．9．根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．實(shí)際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗，基本符合實(shí)際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y=kx（k＞0）型，增長特點(diǎn)是y隨③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a