機械優(yōu)化設(shè)計試卷及答案

《機械優(yōu)化設(shè)計》復(fù)習(xí)題及答案一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(X2-X12)2+(1-X1)2的最優(yōu)解時，設(shè)X(0)=[-0,5,0,5]t,第一步迭代的搜索方向為[-47；-50]。2、機械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是建立搜索方向二是計算最佳步長因子。3、當(dāng)優(yōu)化問題是__凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成高-低-高趨勢。5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為工 維優(yōu)化問題。6 、函數(shù) 1XtHX+BtX+C的梯度為2HX+B。7、設(shè)g為nxn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量也)，陌，滿足(肌刀加尸。，則d。、di之間存在_共軛關(guān)系。8、設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)點處取得極小值，其必要條件是梯度為零 ，充分條件是 海塞矩陣正定。10、 庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=x2-10x+36的極小點，初始搜索區(qū)間[a,b]=[-10,10]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [-2?36,2.36]。12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計變量 、約束條件 目標(biāo)函數(shù)、13、牛頓法的搜索方向dk=，其計算量大，且要求初始點在極小點建近—位置。14、將函數(shù)f(X)=X2+X2—XX—10X—4X+60表示成-XtHX+BtX+C的形

1 2 12 1 2 2式。15、存在矩陣H，向量d1，向量d2，當(dāng)滿足(d1)TGd2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有由小到大趨于無窮特點。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求。二、選擇題1、下面方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題minf\X）=x2+x2-4x+4g（X）=X-X2—1>0g（X）=3-x>0g3（X）=x2>0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X（1）=[1,1^T為 ，X（2）=[5,1]T22為。A.內(nèi)點；內(nèi)點外點；外點內(nèi)點；外點D.外點；內(nèi)點3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個點a1、b1，a1<b1，計算出f（a1）<f（b1），則縮短后的搜索區(qū)間為。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]d[a，b]1不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為Xk+尸Xk-akHkVf(Xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 。A.Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C,與海塞矩陣正交D,對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， 在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處。A正定B半正定C負定D半負定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯誤的是，假設(shè)要求在區(qū)間［a，用插入兩點a1、a2，且a1<a2。A、其縮短率為0.618B、a1=b-A(b-a)c、a1=a+入(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值」^方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值下降方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 不變方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是。A、等值線族的一個共同中心B、梯度為0的點C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為向量。A相切B正交C成銳角D共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠的點。D初始點必須在可行域內(nèi)15、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是A牛頓法B梯度法C共軛梯度法D變尺度法16、一維搜索試探方法——黃金分割法比二次插值法的收斂速度?、慢B、快C、一樣D、不確定17、下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯誤的是 。A需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度C共軛梯度法具有二次收斂性D第一步迭代的搜索方向為初始點的負梯度三、問答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)—一懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復(fù)迭代計算求得最佳步長因子的近似值4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。四、解答題

1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5X2+0.5X2-XX-2X的最優(yōu)解，設(shè)初始點X(o)=[-2,2 12 14]t,選代精度￡=0.02(迭代一步)。航1可初始成P'=[71|"則如始點處函數(shù)傷及橢會分別為-24IIL26-2+4^.,

-24IIL26-2+4^.,

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minf(X)=(x-2)2+x212s.t.g(X)=x>0g2(x)=x2>0g(X)=x2-x2+1>0用K-T條件驗證X*=1,0）為其約束最優(yōu)點。10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為X的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個無蓋的箱子，問如何截法（X取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。這個簡單的最優(yōu)化問題可把箱子的容積丫表成變量參數(shù)令其?階導(dǎo)數(shù)為零（即小皿工二0）,由工的函數(shù)，V=X6-2x）2,得極大點ml,函數(shù)極大值匕及二16,從■而獲得四角截去邊長1m的正方形使折轉(zhuǎn)的箱子容積最大（15令其?階導(dǎo)數(shù)為零（即小皿工二0）,由11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000（刑3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。4、設(shè)以2的比例截取鉛絲，能使問題運到最優(yōu)解:Ajr1如圖所示一式中把Ajr1如圖所示一式中把C 號I=2：解得：AC=——-CB折成的同妤1方形的面積之和為:】+2.Cif=——】十Z則這個問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:-2內(nèi)）=內(nèi)）=-fT7I）fmin13、求表面積為300M2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA