機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)試卷及答案

《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題及答案一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(X2-X12)2+(1-X1)2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X(0)=[-0,5,0,5]t,第一步迭代的搜索方向?yàn)閇-47；-50]。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是建立搜索方向二是計(jì)算最佳步長因子。3、當(dāng)優(yōu)化問題是__凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高-低-高趨勢。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為工 維優(yōu)化問題。6 、函數(shù) 1XtHX+BtX+C的梯度為2HX+B。7、設(shè)g為nxn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量也)，陌，滿足(肌刀加尸。，則d。、di之間存在_共軛關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是梯度為零 ，充分條件是 海塞矩陣正定。10、 庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=x2-10x+36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間[a,b]=[-10,10]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [-2?36,2.36]。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量 、約束條件 目標(biāo)函數(shù)、13、牛頓法的搜索方向dk=，其計(jì)算量大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)建近—位置。14、將函數(shù)f(X)=X2+X2—XX—10X—4X+60表示成-XtHX+BtX+C的形

1 2 12 1 2 2式。15、存在矩陣H，向量d1，向量d2，當(dāng)滿足(d1)TGd2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有由小到大趨于無窮特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求。二、選擇題1、下面方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題minf\X）=x2+x2-4x+4g（X）=X-X2—1>0g（X）=3-x>0g3（X）=x2>0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X（1）=[1,1^T為 ，X（2）=[5,1]T22為。A.內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)；外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1，a1<b1，計(jì)算出f（a1）<f（b1），則縮短后的搜索區(qū)間為。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]d[a，b]1不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為Xk+尸Xk-akHkVf(Xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 。A.Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C,與海塞矩陣正交D,對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， 在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處。A正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是，假設(shè)要求在區(qū)間［a，用插入兩點(diǎn)a1、a2，且a1<a2。A、其縮短率為0.618B、a1=b-A(b-a)c、a1=a+入(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值」^方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 不變方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是。A、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為向量。A相切B正交C成銳角D共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)15、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是A牛頓法B梯度法C共軛梯度法D變尺度法16、一維搜索試探方法——黃金分割法比二次插值法的收斂速度?、慢B、快C、一樣D、不確定17、下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是 。A需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度C共軛梯度法具有二次收斂性D第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度三、問答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)—一懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長因子的近似值4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。四、解答題

1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5X2+0.5X2-XX-2X的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)X(o)=[-2,2 12 14]t,選代精度￡=0.02(迭代一步)。航1可初始成P'=[71|"則如始點(diǎn)處函數(shù)傷及橢會(huì)分別為-24IIL26-2+4^.,

-24IIL26-2+4^.,

1%_1a'|—.ij-i唳T[_-12沿《棒的進(jìn)行難搜索..1''—j[,n1''—j[,n-MD-4-IIWlq為■維搜索量佳步k皿過“門二口網(wǎng)槨叫印也」口求司『31=立時(shí)-180%+財(cái).jr(rn?-6L24/C1IM)-(l5翁.N-417則,r1-2+他■I-阻2617典17//則,r1-2+他■I-阻2617典17//}=>0?i?：-1和/+笈=5喟%試用牛頓法求f(X)=(X-2)2+(X-2X)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)X(o)=[2,1]t。12設(shè)有函數(shù)HXQXj+ZXyZAXaXj試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。求目標(biāo)函數(shù)f(X)=X2+XX+2X2+4X+6X2+10的極值和極值點(diǎn)。5、試證明函數(shù)f(X)=2X12+5X22+X32+2X3X2+2X3X1-6X2+3在點(diǎn)[1,1,-2]t處具有極小值。6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2S.t.G1(X)=—X12—Xj+5三0G2(X)=—X1—2X2+4三0g3(X)=X1三0g4(X)=X2三0驗(yàn)證在點(diǎn)x[2,i]TKuhn-Tucker條件成立。7、設(shè)非線性規(guī)劃問題

minf(X)=(x-2)2+x212s.t.g(X)=x>0g2(x)=x2>0g(X)=x2-x2+1>0用K-T條件驗(yàn)證X*=1,0）為其約束最優(yōu)點(diǎn)。10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為X的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（X取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。這個(gè)簡單的最優(yōu)化問題可把箱子的容積丫表成變量參數(shù)令其?階導(dǎo)數(shù)為零（即小皿工二0）,由工的函數(shù)，V=X6-2x）2,得極大點(diǎn)ml,函數(shù)極大值匕及二16,從■而獲得四角截去邊長1m的正方形使折轉(zhuǎn)的箱子容積最大（15令其?階導(dǎo)數(shù)為零（即小皿工二0）,由11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000（刑3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。4、設(shè)以2的比例截取鉛絲，能使問題運(yùn)到最優(yōu)解:Ajr1如圖所示一式中把Ajr1如圖所示一式中把C 號I=2：解得：AC=——-CB折成的同妤1方形的面積之和為:】+2.Cif=——】十Z則這個(gè)問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:-2內(nèi)）=內(nèi)）=-fT7I）fmin13、求表面積為300M2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA