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新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué)2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.843.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值:先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì);再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值,那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有一點(diǎn),則().A. B. C. D.5.已知正四面體外接球的體積為,則這個(gè)四面體的表面積為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng),若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.9.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.14.已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=_____,|z|=_____.15.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.16.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是()和(),其中().(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn),,求的面積最小值.19.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī),統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測(cè)試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再?gòu)倪@人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來(lái)評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效,若,則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的;否則認(rèn)定教育活動(dòng)無(wú)效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.20.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點(diǎn)在線段上移動(dòng)(不與重合),是的中點(diǎn).(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí),證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點(diǎn),且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí),AC與平面PCD所成的角為?22.(10分)已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線?(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線,切點(diǎn)為A,若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M,N兩點(diǎn),則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、D【解析】
由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì),滿足條件的面積,由幾何概型概率計(jì)算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計(jì)的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì),即,對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形,其面積為,若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.4、B【解析】
根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo),求得,代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn),所以,故選:B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式,熟練記憶公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.5、B【解析】
設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi),使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線,根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng),從而得出正四面體的棱長(zhǎng),最后可求出正四面體的表面積.【詳解】將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,如圖所示,設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則,得.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球,則有,∴.而正四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),所以,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為,因此,這個(gè)正四面體的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體,解決這類問(wèn)題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來(lái),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.6、A【解析】
由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng),則,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以,,所以;當(dāng)軸時(shí),,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.7、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).【詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除,可通過(guò)特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除,最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).8、B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】
試題分析:通過(guò)逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點(diǎn):邏輯命題10、D【解析】
設(shè),,去絕對(duì)值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、A【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),求得,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)z滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問(wèn)題,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.14、11【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z,∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)計(jì)算,根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計(jì)算模長(zhǎng),關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15、【解析】
求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)?,又,所以的最小值?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.16、【解析】
由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問(wèn)題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差,得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析:(1)由題意知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,兩式作差,得所以.考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于難題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn),利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積);②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào);③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò);④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18、(1);(2)16.【解析】
(1)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可;(2)利用極徑的幾何意義,聯(lián)立曲線,直線,直線的極坐標(biāo)方程,得出,利用三角形面積公式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),得出的面積最小值.【詳解】(1)曲線:,即化為直角坐標(biāo)方程為:;(2),即同理∴當(dāng)且僅當(dāng),即()時(shí)取等號(hào)即的面積最小值為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】
(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)好列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計(jì)算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值為,.的分布列為:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,所以中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由題意,先求得為的中點(diǎn),再證明平面平面,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí),四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí).則其外接球的半徑為.因?yàn)闀r(shí)邊長(zhǎng)為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因?yàn)?,所以為的中點(diǎn).記的中點(diǎn)為,連接,.則,,,所以平面平面.因?yàn)槠矫?,所以平?(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時(shí),的面積最大.所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí),四面體的體積最大.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,,.設(shè)平面的法向量為.則
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