2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三次月考卷02（測試范圍：選填題除解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率外）（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三次月考卷02（滿分150分，考試用時120分鐘）測試范圍：選填題除解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率外一?選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集結(jié)合一元二次不等式求，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.【解析】由題意知，，所以.故選：B3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先利用二倍角公式對題中已知條件進(jìn)行變形，對進(jìn)行平方化簡變形，然后再判斷兩個條件的邏輯關(guān)系即可得解.【解析】必要性：由，可得，則，即.所以“”是“的必要條件；充分性；由，可得，即，則，得或.所以“”不是“的充分條件；故選：B4．在中，點(diǎn)在線段上，，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)共線向量定理和平面向量基本定理可求出結(jié)果.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，即，所以，又，所以，所以.故選：C5．已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】利用空間線線的關(guān)系、面面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)逐一判定各選項(xiàng)，即可得出結(jié)論.【解析】對于A，若，，則或，則m，n相交、平行、異面都有可能，A錯誤；對于B，若，則與相交或平行，B錯誤；對于C，若，則，又，則或，C錯誤；對于D，由，得或，若，則存在過的平面與相交，令交線為，則，而，于是，；若，而，則，因此，D正確.故選：D6．若函數(shù)的兩對稱中心的最小距離為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的兩對稱中心的最小距離為，則函數(shù)的周期為π，再由計(jì)算即可.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的兩對稱中心的最小距離為，所以函數(shù)的周期為π，即，解得.故選：A.7．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球.....依此類推，最底層有個小球，共有層.現(xiàn)有一個由小球堆成的長方臺形垛積，共7層，小球總個數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列an，利用，可得，，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，進(jìn)而求得該垛積的第一層的小球個數(shù).【解析】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列an由題意得，因?yàn)椋傻?，則，因?yàn)榍?層小球總個數(shù)為168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個數(shù)為個.故選：B.8．已知函數(shù).設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，由得函數(shù)為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，則的直線方程為，故，兩式相加得，再由函數(shù)的奇偶性得即可求解.【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，如圖所示，因?yàn)椋圆环猎O(shè)，設(shè)點(diǎn)，則的直線方程為，如圖，因?yàn)?，所以兩式相加得，又因?yàn)?，所以，所以，?故選：C.二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)與是同一個函數(shù)B．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的定義域?yàn)镈．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【分析】運(yùn)用相等函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)定義域，結(jié)合不等式恒成立計(jì)算即可.【解析】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋屎瘮?shù)與不是同一個函數(shù)，A不正確；對于B：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?,1，B正確對于C，不等式，則解集為，C不正確對于D，當(dāng)x∈R時，不等式恒成立.當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，則需滿足，綜合可得的取值范圍是，D不正確，故選：ACD10．?dāng)?shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項(xiàng)由即可判斷；C,D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【解析】對于A：，正確；對于B:，有，兩式相加，得，又，所以，為偶數(shù)由，得：，也即，為奇數(shù)，所以，正確；對于C:由B可知：，則，錯誤.對于D：數(shù)列的前項(xiàng)和記為，，正確故選：ABD11．在四棱錐中，底面是矩形，，，平面平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），則（

）A．四棱錐的體積為1B．四棱錐外接球的表面積為C．不存在點(diǎn)使得D．當(dāng)?shù)街本€的距離最小時，過點(diǎn)，，作截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是【答案】BCD【分析】取AD的中點(diǎn)G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質(zhì)定理判斷C，求出，再由錐體的體積公式判斷A，把四棱錐補(bǔ)形成一個如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷B，由平面PGC，當(dāng)動點(diǎn)M到直線BD的距離最小時，從而得為PC的中點(diǎn)，N為QA的中點(diǎn)，再由體積公式計(jì)算后判斷D．【解析】如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，,則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面，平面，則．又因?yàn)椋?，又，平面，所以平面PGC．因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，故不存在點(diǎn)使得，故C正確；因?yàn)槠矫?，，，，所以，所以，所以，所以，故A錯誤；因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積，故B正確．如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動點(diǎn)M到直線BD的距離最小時，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，即為中點(diǎn),平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn),可知N為QA的中點(diǎn)，故，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球問題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對特殊的幾何體，常常通過補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．三、填空題12．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】由冪函數(shù)及其單調(diào)性即可求解.【解析】由題意可得，解得：,所以.故答案為：13．對于任意的正數(shù)m，n，不等式成立，則λ的最大值為【答案】/【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為成立，利用，結(jié)合基本不等式求得最小值，即可求解.【解析】因?yàn)槎紴檎龜?shù)，則不等式成立，即為成立，又由，當(dāng)時，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.14．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有2個正整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】原不等式的解集有且只有兩個整數(shù)解等價于的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論后者的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.【解析】設(shè)，則，而的定義域?yàn)?，故為上的奇函?shù)，（不恒為零），故為上的單調(diào)減函數(shù)，又即為：，也就是，故，故的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，若，則當(dāng)時，，此時不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)解，不合題意；若，因?yàn)?，，故的解集中不會?,2，其解集中的正整數(shù)解必定大于等于3，不妨設(shè)，則的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，設(shè)，，

故在上為增函數(shù)，由題設(shè)可得，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式解集中的正整數(shù)解的個數(shù)問題，可通過參變分離轉(zhuǎn)化水平的動直線與確定函數(shù)圖像的位置關(guān)系來處理.四、解答題15．在公差不為0的等差數(shù)列an中，，且是與的等比中項(xiàng).(1)求an(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式把、、都用與表示，結(jié)合已知解出，即可得出的通項(xiàng)公式；（2）先表示出，再表示出，用錯位相減法即可求解.【解析】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，整理得.又，，所以，則.（2）由（1）可得，，則①，②，①-②得則.16．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化邊，可求的值；（2）已知條件結(jié)合三角形面積公式化簡求出，由正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式得，由，得，可求周長的取值范圍．【解析】（1）∵，由正弦定理可得：，由余弦定理知：，，可得，則有，由，解得.（2）中由余弦定理知，又在中有，∴，化簡得，∵，∴.又，由正弦定理得：，，，因在中，，，，所以，當(dāng)時，等號成立，∴周長的取值范圍是．17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若，當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)的極大值為,的極小值為．(2),．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；（2）將化為，由此令，則，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，繼而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解．【解析】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，則，令f′x>0，則或；令f′x則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，的極小值為．（2）不妨設(shè)，因?yàn)閷σ磺卸汲闪?，所以對一切都成立，令，則，定義域?yàn)?，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增；又，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，需在上恒成立，即在上恒成立，對于，圖象過定點(diǎn)，對稱軸為，故要使得在上恒成立，需滿足且，解得，綜合可得，即的取值范圍為,．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由對一切都成立，轉(zhuǎn)化為對一切都成立，構(gòu)造，將原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)求解.18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸是短軸的倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為是橢圓左右頂點(diǎn)，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過作的垂線交于.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若，直線與的斜率分別為與，求的值.(3)求證：【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程的點(diǎn)斜式，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得的值.（3）設(shè)（），再設(shè)過點(diǎn)的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得，的表達(dá)式.再把和用，表示，化簡整理即可.【解析】（1）由題意：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：，即，由，消去，整理得：，由，整理得：，所以.（3）設(shè)（），的延長線交軸于點(diǎn)，如圖：、兩點(diǎn)處切線斜率分別為，則.設(shè)點(diǎn)的橢圓的切線方程為：，即，由消去，化簡整理得：，由得：化簡整理得：，由韋達(dá)定理，得：，，所以，，所以要證明，只需證明：，即，因?yàn)椋陨鲜匠闪?，即成?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．已知為正整數(shù)，集合中，依次構(gòu)成公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列.集合為的非空子集.若中只有一個元素或中任意兩個元素都滿足，則稱為的“-分離子集”.記數(shù)列為的正零點(diǎn).(1)寫出的所有2-分離子集；(2)記的“1-分離子集”的數(shù)量為，證明：；(3)在中的所有非空子集中等概率地選取一個子集，證明：為的“-分離子集”的概率大于.【答案】(1)，，，，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知，，根據(jù)題意一一列舉；（2）由題知，，不多于兩個元素每個1-分離子集只能有一個元素,當(dāng)時，不含元素的全體1-分離子集即為的全體1-分離子集，其數(shù)量為，結(jié)合數(shù)列為的正零點(diǎn)證明；（3）中的所有非空子集數(shù)量為，故只需證明的“-分離子集”數(shù)量大于.【解析】（1）一個元素的有：，，，由題得，故兩個元素的只有可能為，且不可能有三個元素以上的子集.故為，，，，（2）由題可知，，當(dāng)不多于兩個元素每個1-分離子集只能有一個元素，故顯然，，當(dāng)時，不含元素的全體1-分離子集即為的全體1-分離子集，其數(shù)量為若集合為的1-分離子集，且中包含元素，則不是中的元素，否則不符合題意，而對的任意1-分離子集與的并集，由中元素都不大于，故符合題意，其數(shù)量為且單元素集合也符合題意，故包含元素的全體1-分離子集數(shù)量為，得，故又，故，且，，故時，，同理，故原式得證?。?）中的所有非空子集數(shù)量為，故只需證明的“-分離子集”數(shù)量大于，記的“-分離子集”的數(shù)量為，則當(dāng)時，由中任意兩個元素滿足，故-分離子集只能為單元素子集，，當(dāng)時，與（2）同理，不含元素的全體-分離子集數(shù)量為，包含元素則-分離子集為或除外最大元素只能不大于，故的全體-分離子集為與的-分離子集的并集和，故數(shù)量為，因此得，由，得同（2）可得，只需證明在時，，令，只需證明