期末復習之與軸對稱圖形有關的熱考幾何模型（原卷版）

與軸對稱圖形有關的熱考幾何模型（考題猜想，熱考+壓軸必刷40題10種題型）折疊模型雙垂直平分線導角見等腰，構造三線合一平行平分出等腰等腰三角形雙腰上的高求定值等邊三角形類弦圖模型手拉手模型將軍飲馬問題三動點問題逆等線問題一．折疊模型（共4小題）1．（22-23八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠AOB=α，點M是射線OA上的一個定點，點N是射線OB上的一個動點，連結MN，把∠AOB沿MN折疊，點O落在∠AOB所在平面內的點(1)如圖1，點C在∠AOB的內部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則α=___°．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點C在直線OB上方，CM與OB交于點E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點E，且OM=5，ME=3，直接寫出此時ON的長．2．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）八上數(shù)學課本69頁，數(shù)學活動《折紙與證明》中告訴我們：折紙常常能為證明一個命題提供思路和方法，請用所學知識解決下列問題．（1）如圖1，一個三角形的紙片中，MC>MB，證明：∠MBC>∠MCB．小龍同學通過折疊紙片，將MB折疊到MC上，點B與點D重合，展開后得到折痕ME，如圖2，折痕ME交BC于點E，連接DE．幫助小龍同學寫出證明過程．（2）如圖3，在平面直角坐標系中，點B-107,237，點C2,5①求點E坐標；②直線l過點C，交y軸于點M，且∠ECM=45°，直線l沿y軸翻折恰好經過點B，只用圓規(guī)在直線BM上求作點G，使EG與直線BM所夾的銳角等于∠ECM．（不寫作法，保留作圖痕跡）③直接寫出（2）中點G的坐標．3．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖是兩個全等的直角三角形紙片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S24．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．點E為AD上的動點，點M為AB上的動點，連接ME，將△AME沿ME翻折．(1)圖1沿ME折疊，點A與點C重合，連接MD，若MD=CD，①求證CM⊥AB；②∠B的度數(shù)為_________度；(2)如圖2，若點M和點B重合，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△PBE，且BE=BC，設PB與AC相交于點F．求∠BFC度數(shù)．二．雙垂直平分線導角（共3小題）5．（22-23八年級上·廣西貴港·期末）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度數(shù)．6．（22-23八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC=110°，則7．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分線交于點P，兩垂直平分線交△ABC的邊于點G，D，E，H，連接AD,AE,AP．

(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)求證：AP平分∠DAE．三．見等腰，構造三線合一（共3小題）8．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在△ABC的外部，∠ABD=∠C,∠D=90°．求證BC=2BD．9．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線EF分別交邊BC,AB于點E，F(xiàn)，過點A作AD⊥BC于點D，且D為線段CE的中點．(1)求證：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度數(shù)．10．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．(1)求證：DE=DF；(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度數(shù)．11．（23-24八年級下·河南平頂山·期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF．(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)延長ED交BC的延長線于點G，求證：BE=FG．四．平行平分出等腰（共2小題）12．如圖，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若過點O作直線EF和邊BC平行，與AB交于點E，與AC交于點F，則線段EF和EB，F(xiàn)C之間有怎樣的數(shù)量關系并證明？13．（23-24八年級上·山東濟南·期末）用尺規(guī)作平行線的方法：已知：直線AB及直線AB外一點P．求作：經過點P的直線CD，使得CD∥AB．尺規(guī)作圖步驟：如圖，①過點P作直線AB的相交線，與直線AB交于點H；②以點H為圓心，任意長為半徑畫弧，交直線HP于點E，交直線AB于點F；③以點P為圓心，以線段HF長為半徑畫弧，交射線HP于點M；④以點M為圓心，線段長為EF半徑畫弧交前弧于點N；④過點P，N作直線CD．(1)在上述作圖步驟中通過______（填寫合適的選項）可判定△PMN≌△HEF，從而可得到∠MPN=∠EHF．A．“SSS”B．“SAS”C．“ASA”D．“AAS”(2)在上述作圖步驟中用到的判定CD∥AB的依據(jù)是________________．(3)如圖3，在△ABC中，AB=AC，小明通過剛才的方法，作出了∠EAD=∠B，可以得到AD是△ABC底邊BC的平行線，那么AD是△ABC外角∠EAC的平分線嗎？請說明理由．五．等腰三角形雙腰上的高求定值（共小題）14．（22-23八年級上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，過A作AP⊥BC于點P，點M是直線BC上一動點，設點M到△ABC兩邊AB、AC的距離分別為m，n，△ABC的高為

(1)當點M運動到什么位置時，m=n，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關系，并證明你的結論．(3)如圖（3），當點M運動到BC的延長線上時，求證：m15．（23-24七年級下·全國·期末）在△ABC中，AB=AC=a，AB邊上的高CD=h，點P是直線BC上任意一點，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且(1)如圖①，若點P在邊BC上時，h，(2)如圖②，③，若點P在BC或CB的延長線上時，h，(3)若點P是直線BC上的點，h1=5，16．（21-22八年級上·山東臨沂·期中）閱讀下列材料：陽陽同學遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC邊上一點，PM、PN分別與直線AB，AC垂直，垂足分別為點M、求證：BD=PM+PN．陽陽發(fā)現(xiàn)，連接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP他又畫出了當點P在CB的延長線上，且上面問題中其他條件不變時的圖形，如圖2所示，他猜想此時BD、PM、PN之間的數(shù)量關系是：BD=PN-PM．請回答：(1)請補全陽陽同學證明猜想的過程：證明：連接AP，∵S△ABC=∴12AC?BD=12∵AB=AC，∴BD=PN-PM．(2)參考陽陽同學思考問題的方法，解決下列問題：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一點，PM、PN、PQ分別與直線AB、AC、BC垂直，垂足分別為點M、①如圖3，若點P在△ABC的內部，猜想BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關系并寫出推理過程．②若點P在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關系并寫出推理過程．17．（21-22八年級上·河南南陽·期末）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ARP+S(1)類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h(2)理解與應用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等？若存在，求出這個距離r的值；若不存在，請說明理由．18．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=(1)深入探究將“在△ABC中，AB=AC,P為BC上一點”改成“P為等邊三角形ABC內一點”，作PE⊥AB，PF⊥AC,PM-⊥BC,BG⊥AC，垂足分別為E、F(2)理解與應用當點P在△ABC外，（1）結論是否成立?若成立，請予以證明；若不成立，PE、PF、六．等邊三角形類弦圖模型（共3小題）19．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）【課本鞏固】如圖①，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點，E為BC上一點，且AD=BE，連接AE與CD相交于點F．（1）AE與CD的數(shù)量關系為______，AE與CD構成的銳角夾角∠CFE的度數(shù)是______；【探究發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）的基礎上，延長AE至點G，使FG=FC，連接BG，CG，如圖②所示，求證：GA平分∠BGC．【拓展延伸】（3）如圖③，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點，E為BC上一點，且AD=BE，CF=3AF，CE=3BE，求AFEF20．（23-24八年級上·廣東汕頭·期末）在等邊△ABC的頂點A，C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經過t分鐘后，它們分別爬行到D，E處，請問：

(1)如圖1，爬行過程中，CD和BE的數(shù)量關系是________；(2)如圖2，當蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長線上的D，E處時，若EB的延長線與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小將會保持不變，請你證明：∠CQE=60°；(3)如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF=EF．21．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關系是．【深入研究】（2）如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；【深化模型】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD七．手拉手模型（共6小題）22．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖1，已知△ABC，△CDE均為等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接AE，(1)判斷線段AE，BD的數(shù)量關系，并說明理由．(2)求線段AE與線段BD的夾角∠AFB的度數(shù)．(3)如圖2，若點B，C，E不在同一條直線上，則（1）（2）中的結論_____________（填“成立”或“不成立”）．23．（23-24八年級下·廣西南寧·開學考試）【問題情境】如圖1，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點M，N分別是BE，CD的中點，連接AM，AN，MN．

【猜想證明】請證明：（1）求證：BE=CD；（2）求證：△AMN是等邊三角形．【類比探究】如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點M，N分別是BE，CD的中點，連接AM，AN.請?zhí)骄浚海?）若點N恰好也是AE的中點，且AE=2，求△ABE的面積．24．（23-24七年級下·四川成都·期末）已知△ABC是等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為AB，AC邊上的點，CE=AD，連接BE，CD相交于點F．求∠BFD的度數(shù)；(2)如圖2，AE∥BC，點D在AB邊上，點F在射線AE上，AC與DF相交于點Q，且①求證：DC=DF；②作FH⊥AC于點H，當點D在AB邊上移動時，請同學們探究線段AD，AC，CH之間的數(shù)量關系，并對結論加以證明．25．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）規(guī)定：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．

(1)如圖①，在△ABC與△ADE中，AB=AC，當∠BAC、∠BAD、∠BAE、滿足條件____時，△ABC與△ADE互為(2)如圖②，在△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，BE、CD相交于點M，連AM，求證：MA(3)如圖③，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB，AC=BC+DC，求∠BAD的度數(shù)．26．（22-23八年級上·遼寧撫順·期末）如圖，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分別以AB、AC為腰在AB左側、AC右側作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，連接CD、BE．

(1)如圖1，當∠BAD=∠CAE=60°時，①△ABD、△ACE的形狀是____________；②求證：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如圖2，當AB=AD，AC=AE時，②如圖3，當AB=DB，AC=EC時，八．將軍飲馬問題（共6小題）27．（23-24八年級下·廣東深圳·期末）【綜合實踐活動】【問題背景】如圖1，A，B表示兩個村莊，要在A，B一側的河岸邊建造一個抽水站P，使得它到兩個村莊的距離和最短，抽水站P應該修建在什么位置？【數(shù)學建?！啃±ぐl(fā)現(xiàn)這個問題可以用軸對稱知識解決，他先將實際問題抽象成如下數(shù)學問題：如圖2，A，B是直線l同側的兩個點，點P在直線l上．P在何處時，PA+PB的值最?。媹D：如圖3，作B關于直線l的對稱點B'，連結AB'與直線l交于點P證明：∵B和B'關于直線l∴直線l垂直平分B∴PB=________，∴PA+PB=PA+P根據(jù)“________”（填寫序號：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短；③兩點確定一列條直線．）可得PA+PB'最小值為________（填線段名稱），此時P點是線段AB【問題拓展】如圖4，村莊B的某物流公司在河的對岸有一個倉庫C（河流兩側河岸平行，即GD∥EF），為了方便渡河，需要在河上修建一座橋MN（橋的長度固定不變，等于河流的寬度且與河岸方向垂直），請問橋MN修建在何處才能使得B到C的路線最短？請你畫出此時橋MN的位置（保留畫圖痕跡，否則不給分）．【遷移應用】光明區(qū)某濕地公園如圖5所示，四邊形AEDC為花海景區(qū)，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，長方形CFGH為人工湖景區(qū)，為了方便市民觀景，公園決定修建一條步行觀光路線（折線AM-MN-BN），A為起點，終點B在ED上，BD=30米，MN為湖邊觀景臺，長度固定不變(MN=40米），且需要修建在湖邊所在直線CF上，步行觀光路線的長度會隨著觀景臺位置的變化而變化，請直接寫出步行觀光路線的最短長度．28．（23-24七年級下·河南焦作·期末）唐朝著名詩人李頎的代表作品《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含著一個有趣的數(shù)學問題．如圖1，詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營．請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題．(1)如圖2，作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'與直線l交于點C理由：如圖3，在直線l上另取不同于點C的任一點C'，連接因為點B、B'關于直線l對稱，點C、C'在直線所以CB=，C'B=所以AC+CB=AC+CB'在△AC'B可得A所以AC+CB<A即AC+CB最?。?2)遷移應用：如圖4，△ABC是等邊三角形，N是AB的中點，AD是BC邊上的中線，AD=6，M是AD上的一個動點，連接BM、MN，則BM+MN的最小值是．29．（22-23八年級上·吉林長春·期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內容．請根據(jù)所給教材內容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．定理應用：△ABC(1)如圖②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，(2)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分別是30．（22-23八年級上·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面積為12，AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊的中點，M為線段EF上的一動點，求△BDM周長的最小值．31．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在∠MON內．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點32．（21-22八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，鐵路上A、B兩站相距8km，C、D為兩個村莊，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AC=2km，BD=4km，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個中轉站P，使得P到C、D兩村的距離和最短．請在圖中畫出P九．三動點問題（共3小題）33．（21-22八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的動點，則△DEF34．（21-22七年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E、F在AD上，連接BE，CE，CF，延長CF交BE于點G．(1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，則S△ABE＝；(2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求證：AE＝EF；(3)如圖2，在（2）條件下，點P、M、N分別是△GEF三邊上的動點，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，當△PMN的周長最小時，直接寫出FPAP35．動手操作：請按要求作圖．（規(guī)范作圖，保留作圖痕跡即可，不要求尺規(guī)作圖）（1）如圖（1），P是∠ABC內一定點，F(xiàn)為射線BC邊上一定點，請在射線BA上找一點E，使得PE+EF最小．（2）如圖（2），P是∠ABC內一定點，點E、F分別為射線BA、BC邊上兩個動點，請作出使得PE+EF最小的E點和F點．（3）如圖（3），P是∠ABC內一定點，點E、F分別為射線BA、BC邊上兩個動點，請作出使得PE+PF+EF最小的E點和F點．拓展應用：（4）如圖（4），△ABC為銳角三角形，∠ABC=30°，AC=6，△