2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1.2求曲線的方程學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE7-2.1.2求曲線的方程[目標]1.駕馭求曲線方程的方法步驟.2.了解解析法的思想，體驗用坐標法探討幾何問題的方法與過程.3.培育數(shù)形結(jié)合的實力．[重點]利用求曲線方程的一般步驟求曲線方程．[難點]求曲線方程中的“建系”、“設(shè)點”、“化簡方程”及“檢查曲線的完備性”是本課時的難點．學(xué)問點一坐標法與解析幾何[填一填]1．坐標法與解析幾何借助于坐標系，用坐標表示點，把曲線看成滿意某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(x，y)所滿意的方程f(x，y)＝0表示曲線，通過探討方程的性質(zhì)間接地來探討曲線的性質(zhì)，這就是坐標法．數(shù)學(xué)中，用坐標法探討幾何圖形的學(xué)問形成的學(xué)科叫做解析幾何．2．平面解析幾何探討的主要問題是：(1)依據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；(2)通過曲線的方程，探討曲線的性質(zhì)．[答一答]1．為什么說“建立平面直角坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)”？提示：只有建立了坐標系，才有點的坐標，才能把曲線代數(shù)化，才能用代數(shù)法探討幾何問題．學(xué)問點二求曲線方程的一般步驟[填一填][答一答]2.如何建立恰當?shù)淖鴺讼?？提示：建立坐標系時，要充分利用圖形的幾何特征．例如，中心對稱圖形，可利用它的對稱中心為坐標原點；軸對稱圖形，可利用它的對稱軸為坐標軸；題設(shè)中有直角，可考慮以兩直角邊所在的直線為坐標軸等．同一曲線，坐標系建立的不同，方程也不相同．3．為什么第五步可以省略？提示：一般狀況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解；假如求解過程中的轉(zhuǎn)化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點，所以通常狀況下證明可以省略，不過特別狀況要進行說明．4．“軌跡”與“軌跡方程”是一回事兒嗎？提示：(1)動點的軌跡方程實質(zhì)上是軌跡上的點的坐標間的關(guān)系，即動點坐標(x，y)所適合的方程f(x，y)＝0，有時依據(jù)須要要在方程后指明變量的取值范圍．(2)軌跡是點的集合，是曲線，是幾何圖形．故求點的軌跡時，除了寫出方程外，還必需指出這個方程所代表的曲線的形態(tài)、位置、范圍、大小等．1．步驟(1)中“建立適當?shù)淖鴺讼怠敝缸鴺讼到⒌囊‘?、合理．如定點作為原點，相互垂直的直線作為坐標軸等．合理地建立坐標系，能使運算更便利；2．步驟(2)中可以不必寫出，也就是說可以依據(jù)等量關(guān)系列出方程，即(2)(3)步合并；3．步驟(5)中沒有特別狀況可以省略不寫．如有特別狀況，可以適當?shù)恼f明，缺少的補上，多余的剔除．類型一干脆法求曲線方程【例1】如圖已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，求動點P的軌跡方程．【分析】本題可設(shè)出P(x，y)，則Q(－1，y)．然后由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))得出P(x，y)滿意的關(guān)系式，整理后即可得P的軌跡方程．【解】設(shè)點P(x，y)，則Q(－1，y)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(x＋1,0)，eq\o(QF,\s\up6(→))＝(2，－y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－1，y)，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(－2，y)，由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即動點P的軌跡方程為y2＝4x.求曲線方程的基本思路是：建系設(shè)點、列等式、代換、化簡、證明五步法.在解題時，依據(jù)題意，正確列出方程是關(guān)鍵，還要留意最終一步，假如有不符合題意的特別點要加以說明.一般狀況下，求出曲線方程后的證明可以省去.)已知定點A(－1,0)，B(1,0)，動點P滿意直線PA，PB的斜率之積為－1，則動點P滿意的方程是(B)A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝eq\r(1－x2)(x≠±1)解析：設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則kPA＝eq\f(y,x＋1)(x≠－1)，kPB＝eq\f(y,x－1)(x≠1)．∵kPA·kPB＝－1，∴eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．類型二定義法求軌跡方程【例2】已知圓C：x2＋(y－3)2＝9，過原點作圓C的弦OP，求OP中點Q的軌跡方程．【分析】關(guān)鍵是找尋Q點滿意的幾何條件．可以考慮圓的幾何性質(zhì)，如CQ⊥OP，還可考慮Q是OP的中點．【解】解法一：(干脆法)如右圖，因為Q是OP的中點，所以∠OQC＝90°.設(shè)Q(x，y)，由題意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)(去掉原點)．解法二：(定義法)如右圖所示，因為Q是OP的中點，所以∠OQC＝90°，則Q在以O(shè)C為直徑的圓上，故Q點的軌跡方程為x2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)(去掉原點)．假如動點的軌跡滿意某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義寫出軌跡方程．另外也要留意以下三點：(1)要熟識各種常見的曲線的定義．(2)要擅長利用數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形具有的相關(guān)幾何性質(zhì)找尋等量關(guān)系．(3)依據(jù)等量關(guān)系和曲線的定義確定動點的軌跡方程．定長為6的線段，其端點A、B分別在x軸、y軸上移動，線段AB的中點為M，求M點的軌跡方程．解：設(shè)M(x，y)，O為坐標原點，由直角三角形的性質(zhì)知|OM|＝eq\f(1,2)|AB|，∴M到O的距離是3，故其軌跡方程為x2＋y2＝9.類型三代入法求軌跡方程【例3】已知△ABC的兩頂點A、B的坐標分別為A(0,0)、B(6,0)，頂點C在曲線y＝x2＋3上運動，求△ABC重心的軌跡方程．【分析】由重心坐標公式，可知△ABC的重心坐標可以由A、B、C三點的坐標表示出來，而A、B是定點，且C在曲線y＝x2＋3上運動，故重心與C相關(guān)聯(lián)．因此，設(shè)出重心與C點坐標，找出它們之間的關(guān)系，代入曲線方程y＝x2＋3即可．【解】設(shè)G(x，y)為所求軌跡上任一點，頂點C的坐標為(x′，y′)，則由重心坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(0＋6＋x′,3)，,y＝\f(0＋0＋y′,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x－6，,y′＝3y.))∵頂點C(x′，y′)在曲線y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故所求軌跡方程為y＝3(x－2)2＋1.1本例是求軌跡方程中的常見題型，難度適中.本題解法稱為代入法或相關(guān)點法，此法適用于已知一動點的軌跡方程，求另一動點的軌跡方程的問題.2應(yīng)留意的是，本例中曲線y＝x2＋3上沒有與A、B共線的點，因此，整理方程3y＝3x－62＋3就得到軌跡方程；若曲線方程為y＝x2－3，則應(yīng)去掉與A、B共線時所對應(yīng)的重心坐標.已知圓C：(x＋1)2＋y2＝1與定點P(0,2)，動點M在圓C上移動，Q是PM上的點且滿意eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QP,\s\up6(→))，求Q點的軌跡方程并說明Q點的軌跡．解：設(shè)Q(x，y)，M(x0，y0)，則由題意可得(x－x0，y－y0)＝2(－x,2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x,y－y0＝4－2y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x,y0＝3y－4))①，∵M(x0，y0)是圓上的動點，故(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝1②，∴將①式代入②式可得(3x＋1)2＋(3y－4)2＝1，即(x＋eq\f(1,3))2＋(y－eq\f(4,3))2＝eq\f(1,9).故所求動點Q的軌跡方程為(x＋eq\f(1,3))2＋(y－eq\f(4,3))2＝eq\f(1,9)，其軌跡是以(－eq\f(1,3)，eq\f(4,3))為圓心，以eq\f(1,3)為半徑的圓．類型四素養(yǎng)提升應(yīng)用平面幾何性質(zhì)求軌跡方程【例4】已知點Q(2,0)和圓O：x2＋y2＝1，動點M到圓O的切線長等于圓O的半徑與|MQ|的和，求動點M的軌跡方程．【規(guī)范解答】如圖，過M作圓的切線MN，N為切點，設(shè)M(x，y)．由題意知|MN|＝|MQ|＋|ON|.由于|MN|＝eq\r(|OM|2－|ON|2)＝eq\r(x2＋y2－1)，|MQ|＝eq\r(x－22＋y2)，|ON|＝1，∴eq\r(x2＋y2－1)＝eq\r(x－22＋y2)＋1.兩邊平方整理得2x－3＝eq\r(x－22＋y2)，再兩邊平方整理得3x2－y2－8x＋5＝0.即：9(x－eq\f(4,3))2－3y2＝1.∵2x－3＝eq\r(x－22＋y2)中2x－3≥0，∴x≥eq\f(3,2).∴點M的軌跡方程為9(x－eq\f(4,3))2－3y2＝1(x≥eq\f(3,2))．【解后反思】1.在解決平面幾何問題時，要留意數(shù)形結(jié)合思想的運用，如本例中切線長的表示．2．在對方程的化簡整理過程中要留意隱含條件的挖掘，確保變形的每步都為恒等變形，如本例中的限制條件x≥eq\f(3,2).過點P(2,4)作兩條相互垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．解：設(shè)O為坐標原點，∵l1⊥l2，OA⊥OB，∴O，A，P，B四點共圓，且該圓的圓心為M.∴|MP|＝|MO|.∴點M的軌跡為線段OP的中垂線．∵kOP＝eq\f(4－0,2－0)＝2，OP的中點坐標為(1,2)，∴點M的軌跡方程是y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.1．動點P到點(1，－2)的距離為3，則動點P的軌跡方程為(B)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3解析：由題意知，點P的軌跡滿意圓的定義，圓心為(1，－2)，半徑為3，所以P點軌跡方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，假如動點P滿意|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(B)A．πB．4πC．8πD．9π解析：設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓，則其面積是22·π＝4π.3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距離相等的點的軌跡方程是x＋y－1＝0.解析：動點的軌跡是線段AB的垂直平分線．4．設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則動點P的軌跡方程是(x－1)2＋y2＝2.解析：設(shè)圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0)，又半徑r＝1，則|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的軌跡方程為：(x－1)2＋y2＝2.5．已知線段AB在直線y＝－2上移動，|AB|＝4，O為坐標原點．求△AOB的外心M的軌跡方程．解：∵A