十年高考2023年高考數(shù)學(xué)專題23立體幾何解答題解析

1.（2019?江蘇?第16題）如圖，在直三棱柱48C-44c中，分別為8C,4c的中點，AB=BC.

求證：（1）44〃平面。后6；（2）BELC.E.

【答案】見解析

【解析】證明：（1）因為。,E分別為8C,力。的中點，所以DE//AB

在直三棱柱力8C-44G中，AB//A.B,,所以4B//ED

又囚為?！陁平面DEC,,其與＜z平面DEC,

所以4耳〃平面OEG

（2）因為/1B=BC,E分別為47的中點，所以BEJ_4C

因為三楂柱力8。-44G是直三棱柱，所以Cq_L平面18C

又因為8Eu平面49C,所以CCJ8E.

因為qcu平面44cq，xcu平面4月eg,C,CQAC=C

所以6E_L平而44CG

因為C|Eu平面4/CC],所以8E_LC|E

2.（2022高考北京卷?第17題）如圖，在三棱柱45C-4與G中，側(cè)面8CG4為正方形，平面8CG&_L

平面4B8I4,AB=BC=2,M,/V分別為44,4c的中點.

⑴求證：MN〃平面BCC￡；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8.與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB上MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】解析:⑴取AB的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-4￡G可得四邊形"BH為平行四邊形，

而B\M=MA1,BK=KA,則MK//BB、,

而"Ka平面C44G，Bgu平面CBqG，故〃平面CBgG，

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面CBqG，

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面C'88cL而的Vu平面MKN,故,MN〃平面CBB￡,

⑵因為側(cè)面CBBg為正方形，故CB_LBB],

而C3u平面CBB￡,平面CBBg1平面ABB.A,,

平面CBB￡c平面ABBM產(chǎn)BB],故。8_L平面ABB.A.,

因為NKHBC,故NKJ_平面,

因為4平面力故NKA.AB,

若選①，則48_LMV,而欣J.48,NKCMN=N,

故/8_L平面MVK,而A/Ku平面MVK,故力6_LA/K,

所以而CB工BBi，CBcAB=B，故BB、上平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則5（0,0,0）,力（0,2,0）,N（1JO）,〃（0,1,2）,

故而=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,加=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為〃=（x,y,z）,

x+>=0

,取z=-l,則〃=（一2,2,-1）,

y+2z=0

設(shè)直線與平面8W所成的角為0,則

2^3~3

若選②，因為NA7/8C,故NK_L平面力844,而KA/u平面MKN,

故NK1KM,而B、M=BK=l,NK=l,故=NK,

而=MK=2,MB=MN,故ABB、MMMKN,

所以N3及A/=4MKN=90°,故耳片1BB1,

而CBcAB=B,故平面48C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,N（0,2,0）,N（1/,0）,〃（0』,2）,

故眉=(0,2,0),*N=(l/,0),B而=(0,1,2),

設(shè)平面BMW的法向量為〃=（x,y,z）,

3?麗=0X+>=0-/、

則《______,從而，尹2z=。'取Z-'則〃=(一2,2，一1),

n-BM=0

設(shè)直線彳6與平面8MM所成的角為。，則

sin"

3.（2016高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題）（本小題滿分12分）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓0的直徑,

EF是上底面圓。，的直徑，F(xiàn)S是圓臺的一條母線.

⑴已知G,"分別為EC,總的中點，求證：GH〃平面48C；

（II）已知七/二必二,力仁二？百AB=BC.求二面角尸一8C—4的余弦值.

2，

【答案】(I)見解析；(II)—

7

【解析】⑴證明：設(shè)用?的中點為/，連接G/,“/,

在KEF，因為G是C￡1的中點，所以GI//EF,又EFHOB,所以GI//0B,

在△。自8中，因為〃是尸8的中點，所以HI//BC,

又///cG/=/，所以平面GHIH平面ABC,

因為Gau平面G/力，所以Ga//平面力6c.

(II)解法一:

連接OO',則。O'_L平面/8C，又45=4C,且力。是圓O的直徑，所以8O_L/C.

以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-上,

由題意得8(0,26,0),C(-2>/3,0,0),過點/作垂直QB于點M,

所以FM=dFB2-BM2=3,可得F（0,瓜3）故反=（-2右,-2右,0）,BF=（0,-73,3）.

—m-BC=0

設(shè)m=(x,y,z)是平面5c尸的一個法向量.由,一

m-BF-0

-2&-2島=0,V3

打得＜,,可得平面以了的一個法向量比=(-1,1,、一)

-j3y+3z=0,3

inn_V7

因為平面ABC的一個法向量方=(0,0,1)，所以cos＜麗,萬〉=

|叫四~7

所以二面角尸—8C—4的余弦值為也

7

解法二：連接。。'，過點/作于點M,則有BW//OO',

又OO'_L平面ABC，所以FMJ_平面ABC可得尸〃=WB?-BM?=3,

過點M作MV垂直8C于點N,連接FN,

可得FNLBC,從而ZFNM為二面角/一8C—/的平面角.

又因為/3=BC,AC是圓。的直徑，所以MN=BMsin450="

從而FN=—,可得cos4FNM=且.所以二面角F-BC-A的余弦值為—

277

題型二：證明垂直問題

1.(2。20江蘇高考?第15題)在三棱柱/18C-48G中，/16_L4C,gCJ?平面/18C,乙廠分別是/IC,6c

的中點.

⑴求證："II平面力4G；

（2）求證：平面力8c，平面.

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】（1）由于小尸分別是AC,4c的中點，所以EF"AB「

由于平面ABG,叫u平面ABG,所以斯〃平面AB。1.

（2）由于AC_L平面力8C,4Bi平面48C,所以

由于48_L4C,4Cc8C=C,所以44_L平面48C,

由于48i平面/出4，所以平面48（3.平面力.

X------一q

Z\?.<7

2.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷-第15題）（本小題滿分14分）在平行六面體川絲。-44GA中，

AA,=AB,AB{A.B￡.

求證：(1)43〃平面44。;

(2)平面4644，平面48c.

D\

G

【答案】證明：（1）在平行六面體ABC0-481GD1中，A8〃4&.

（615%

因為A8a平面48iC,平面48iC,

所以48〃平面4&C.

（2）在平行六面體A8C0-481GD1中，四邊形ABB^為平行四邊形.

乂因為4A產(chǎn)A8,所以四邊形A8&4為菱形，因此48iJ_4艮

又因為48i_L8iCi，BC//B1C1，所以A81JL8c.

又因為4Br>BC=B.4BU平面BCU平面4灰\

所以A8」平面48C.

因為AaU平面48814，所以平面488i4_L平面48c.

3.（本小題滿分12分）如圖，在五面體48C。底/中，點O是矩形48。。的對角線的交點，面CQE是等

邊三角形，棱EFJBC.

2

（□證明^^/平面。^^；

（H）設(shè)BC=GCQ,證明EO_L平面C".

【答案】分析：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理

論證能力。

⑴證明：取CD中點M,連結(jié)0M

在矩形ABCD中，

OMd-BC^EFd-BC,

=2=2

則瑁管0”.連結(jié)EM,于是

四邊形EFOM為平行四邊形。

FO//EM.

又平面CDE,且EMu平面CDE,平面CDE。

（II）證明：連結(jié)FM。由⑴和已知條件，在等邊ACDE中，CM=DM,

EMJ.CQ且EW=-CD=-BC=EF.

22

因此平行四邊形EFOM為菱形，從而E01KW。

CD_LOM.CD1EM,:.CD_L平面EOM,從而CD1EO.

而/AfPICO=M,所以￡0_L平面CDF.

4.（2014高考數(shù)學(xué)江蘇?第16題）如圖，在三棱錐P-48。中，D,E,F分別為棱尸C,4C,48的中點.已

知"IGC,PA=6,

BC=8,DF=5.

⑴求證：直線產(chǎn)力〃平面OM；

（2）求證：平面平面/6C.

【答案】解析：（1）因為。，F(xiàn)分別為棱PC,ac的中點，所以DE〃叫.

乂因為PAQ平面DEF,DEu平面DEF,

所以直線以〃平面OEF.

（2）因為。，E,F分別為棱PC,AC.A8的中點，PA=6,8C=8,

所以DE〃〃，DE=-PA=3,EF=-BC=4.

22

又因為DF=5,故DF2=D￡2+EF2,所以ND￡F=90°,即DE_LEF.

又力_L4C,DE//PA,所以。E_L4C.

因為ACAEF=E,ACu平面48C,EFu平面八8C,所以?！辏矫姘?c.

又DEu平面BDE,所以平面8DE_L平面ABC.

（第16效）

5.（2015高考數(shù)學(xué)江蘇文理?第16題）如圖，在直三棱柱45。-44G中，已知4C_L8C,BC=CC\,

設(shè)力用的中點為。，BCCBq=E.

求證：（1）OE〃平面N4GC；

（2）BQ±AB..

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面34G。為平行四邊形，因此點￡為4c的中點，從而由三角形中位線性

質(zhì)得DE//AC,再由線面平行判定定理得DE//平面44GC（2）因為直三棱柱44G中

BC=CC],所以側(cè)面為正方形，因此8GJL8C，又/C_LBC,4C_LCG（可由直三棱

柱推導(dǎo)），因此由線面垂直判定定理得4c，平面瓦?CC，從而4C_LBG，再由線面垂直判定定理得

BC11平面/耳。，進而可得BC.1AB,

解析：（1）由題意知，E為B?的中點，

又D為AB】的中點，因此DE〃AC.

乂因為口￡2平面人慶《＜，ACu平面AACC，

所以DE〃平面AA?C.

（2）因為棱柱ABC一AFIG是直三棱柱，

所以CG_1_平面ABC.

因為ACu平面ABC,所以AC_LCC].

又因為AC_LBC,CGu平面BCJB|,BCu平面BCJB],BCnCC,=C,

所以AC_L平面BCC\B|.

又因為BQu平面BCC|B1,所以BJ_LAC.

因為BC=CG，所以矩形BCC|B1是正方形，因此BG1B|C.

因為AC,B〈u平面B|AC,ACnB,C=C,所以BQ_L平面B^AC.

乂因為AB|u平面B|AC,所以BC]_LAB].

6.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第15題）如圖，在三棱錐力-BC'O中，/A_L4。，BC1BD,平面/4力J_

平面BCD,點E,F（E與4。不重合）分別在棱力。，8力上旦）J./O.

求證：（1）E?尸〃平面力4。；

⑵ADLAC.

【答案】（1）見解析（2）見解析

解析：證明:（1）在平面力30內(nèi)，因為力4J.力。，石尸_L，所以"?〃力4.

又因為所二平面/AC,平面48C,所以七/〃平面/8C；

（2）又因為平面ABD1平面BCD,平面ABD±平面BCD平面二BD,BCu平面BCD,

8C_L8。，所以〃C_L平面ABD.

因為力。＜=平面ABD，所以8cl_4。.

又因為48J_40,BCr\AB=B48u平面48C,8Cu平面48C,所以力。1平面48C,

又因為力Cu平面ABC,所以AD±AC.

7.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科??第16題）如圖，在直三棱柱/8C—481G中，0E分別為。的中

點，點尸在側(cè)棱上,且B1D上4F,4cl工4自?

求證：（1）直線。E〃平面4G/；（2）平面qr>E_L平面4。/.

【答案】見解析?；

【官方解答】

⑴在直三棱柱/8C—48￡中，A,cx//AC.

在2M5C中，因為。，后分別為的中點，所以DE//4C,于是DE〃4G；

又因為4Gu平面4G/，且。七仁4?！福?/p>

所以直線OE〃平面4cL.

⑵在直三棱柱48C—48C中，力4，平面44G.

因為4Gu平面/4G，所以力4,4G.

又因為4GJL481,44，/4U平面,4448，441rl44=4,

所以4G，平面

因為4。<=平面力448,所以4G

又因為3Q_L4尸，46<=平面4。/，力尸匚平面4。廠,4Gn4尸=4,

所以BQ1平面4C/.

因為直線修。u平面4。后，所以平面4G尸.

民間解答：(1)?.?。,￡為中點，，。后為八48。的中位線，，?！辍?。

又?.?48。一44G為棱柱，AC//A.Q

DE//AG,又「Mgu平面4c/，且DE(ZA{C{F

.?.?！?/平面4c/；

(2)???ABC-AMi為直棱欄，.?.AA.平面44G,

/.AA}_L4G，

又，?4G_L且44]Pl.B]=4，44,44u平面44]81B

/.4cl_L平面AA}BXB,

又8,C,平面力448

又A{Fu平面AA[B]B,DE_LA}F

又?.?力/上與。，DEC\B、D=D,且。反4Ou平面8QE

_L平面4。七，又,.,/Eu4G77

.?.平面BQE_L平面4Gb.

8.(2023年全國乙卷理科?第19題)如圖，在三棱錐。一44。中，AB1BC,AB=2,BC=2jL

PB=PC=m，BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=y[5DO>點F在AC上，BF1AO.

(1)證明：EF〃平面4DO；

(2)證明：平面平面8EF；

(3)求一面角￡)—/。―C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析:

⑵證明見解析:建

解析(1)

連接。旦。/，設(shè)//二勿C,則旃=或+方=(1一/)加+/沅，Jo=-BA+-BCfBF1AO,

則而?言=［（］_，）就+/沅］+；碇）=?_1）02+；//=4?_l）+4f=0,

解得r=L,則/為4c的中點，由。，瓦0歲分別為P8/48C,4C的中點

2

于建DE//AB,DE==ABQF//AB,0F==AB,我DE/IOF,DE=OF,則四邊形。DEb為平

22

行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又印仁平面ADO,DOu平面ADO,

(2)由(1)可知瓦7/0。，則40=遙,。。=如，得力少=石。。二型，

22

^OD2+AO2=AD2,則。D_L力0,有EF上A0,

又40A.BF,BFCEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有40J_平面BfiT7,又49u平面4。。，所以平面4Q。J_平面BE尸.

⑶過點O作OHI/BF交AC于點H,設(shè)4。08七=G,

由4。_1_8產(chǎn)，得H0工A0,且FH=LAH,

3

又由⑵知，OO_L4O,則/為二面角0—40—C的平面角,

因為僅E分別為P8,P4的中點，因此G為△產(chǎn)43的重心：

1113

即有DG=-HD,G￡=-8E,又卜H=-AH,即有。"二一G"，

3332

.315

5一二4+6-42，解得以=而，同理得5七=逅,

cosZ.ABD=

裝2x2x76

2x2x----2

2

1

X/6

-XV62一

于是BE?+EF?=BF?=3,即有3石LEE,則G/7-二32

從而GF=姮,一口3幅屈

DH=—x---=----，

3232

)"1即百nn瓜nu

在△QO//中，C)H=—Br=——，OD=---,DH=----，

2222

6315.__________

于是cosZ.DOH匚L-，sinZZ)W7=J1-=—，

2x&業(yè)2\12J2

22

-/。一。的正弦值為也.

所以二面角Q-

2

A

題型三：求線線角

1.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第17撅）（本撅滿分14分，第1小潁滿分6分，第2小撅滿分8分）

已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，半徑為2,

（1）設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體枳;

⑵設(shè)PO=4,0408是底面半徑，且=90。，M為線段的中點，如圖，求異面直線

與。8所成的角的大小.

【答案】（1）V=應(yīng)；⑵arctan而.

3

解析：（1）由條件得圓錐的高。。=516-4=26,所以圓錐的體積p=；x（乃乂22卜2后=孚期.

⑵如圖，取W中點N,則MN〃0B,所以NPMV或其補角為異面直線與08所成角.

因為乙408=90。，BO1OP,40np。=。，所以B0_L平面P。，

所以MN_L平面PCU.

在放△PMW中，NM=-0B=\,PN=后，

2

PN/—

所以tan4PMN=——=V17.

NM

所以4PMN=arctanV17.

2.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第18題）如圖，四邊形力8C。為菱形，ZABC=\20\民尸是平面力ACQ

同一側(cè)的兩點，8E_L平面48CO,，平面N8C。，BE=2DF,AEA.EC.

（1）證明：平面4七。_1平面/尸C;

（2）求直線4E與直線C尸所成角的余弦值.

【答案】（I）見解析（1【）立

3

分析：（1）連接80，設(shè)BDUAC二G,連接EG,FG,EF,在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB二1易證EG_LAC,

通過計算可證EG_LFG,根據(jù)線面垂直判它甄知EG_L平面AFC,由面面垂直座定理即平面AFC_L

平面AEC；（II）以G為坐標(biāo)原點，分別以6瓦比的方向為X軸，y軸正方向，|麗|為單位長度，建立

空間直角坐標(biāo)系G-xyz,利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.

解析：（1）連接8。，設(shè)BDGAC二G,連接EG,FG,EF,在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1,山NABC=120c,

可得AG=GC=V3.

由BE_L平面ABCD,AB二BC可知，AE=EC,

XVAE1EC,???EG=V5,EG1AC,

在RtZ\EBG中，可得BE二及，故DF二正

2

在RtZ\FDG中，可得FG二逅

2

在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=&,DF=Y2可得EF=之①，

22

/.EG2+FG2=EF2?/.EG_LFG,

VACnFG=G,???EGJ■平面AFC,

VEGu面AEC,工平面AFC,平面AEC.

（U）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以。萬，元的方向為X軸，y軸正方向，|赤|為單位長度，建立空

間直角坐標(biāo)系G-xyz,由（I）可得A（0,一百，0）,E（l,0,桓）,F（—l,0,—）,C（0,B0）,

2

__R

：,AE=（1,J3,x/2）,CF=（-1,-J3,注）.…10分

2

故cos〈次，而>=匹百=-且.

l^l|CF|3

所以直線AE與CF所成的角的余弦值為由.

3

3.（2016高考數(shù)學(xué)上海理科-第19題）（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題

滿分6分.

一.、2/.、

將邊長為1的正方形4400（及其內(nèi)部）繞的。?旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，力C長為§乃，44長

為工，其中4與。在平面力4a。的同側(cè).

3

（1）求三棱錐c—Q44的體積；

（2）求異面直線及c與力4所成的角的大小.

【答案】（1）且.（2）&.

124

解析：（1）由題意可知，圓柱的高/?=1,底面半徑，?=1.

---?jrTF

由A》1的長為上，可知NAQ|B|=一.

113ill

SAO|A四=；OA.°B.sin/AQB=乎，

v_lc「正

V

C-O,A,B,-3JAO|A|B|,〃一]2.

⑵設(shè)過點B,的母線與下底面交于點B,則BB.//AA）,

所以NCBF或其補角為直線B.C與A，％所成的角.

由AC長為把，可知NAOC=3,

33

7T71

XZAOB=ZA,O1B1=-,所以NCOB二上，

1,133

從而ACOB為等邊三角形，得CB=1.

因為平面4。。，所以

7T7T

在中，因為/8由。=耳，CB=l,B[B=l,所以/。8避二彳

7T

從而直線BC與AA1所成的角的大小為巴.

114

4.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第18題）（本小題滿分14分）

如圖2,三角形PDC所在的平面與長方形48co所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,8c=3.點E

是CD邊的中點，點F,G分別在線段48,BC上，且AF=2F8,CG=2GB.

⑴證明:PE.LFG；

（2）求二面角P—45—C的正切值；

（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

【答案】解析：（1）證明：???PD=PC且點、E為CD的中點,

PELDC,又平面POCJL平面力5CQ,且平面POCD平面45co=C。，尸Eu平面尸QC,

/.尸EJ.平面又FGu平面力BCZ）,

???PE工FG；

（2）???/48是矩形，???ADLDC,又平面PQCJ_平面43cO,且平面PQCD平面

ABCD=CD,力。u平面43CD,???/。_1_平面尸。。，又C。、PQu平面尸OC,

???ADLDC,AD1PD,

???/PQC即為二面角P-/。-。的平面角，

在RTAPDE中,PD=4,DE」AB=3,PD=y/PD2-DE2=77,

2

PEg

tan/.PDE=二面角尸一4。一。的正切值為立.

~DE~~

⑶如下圖所示，連接4C,

APCG

VAF=2FB,CG=2GB^—=—=2,AAC//FG,

FBGB

???N"C為直線"與直線尸G所成角或其補角，

在△24。中，PA=>jPD2￥AD2=5,AC=^AD2+CD2=375,

DA24_p「225+45-16_975

由余弦定理可得cosNPZC=-———-----------

2PAMC2x5x375—25

9石

???直線尸4與直線/G所成角的余弦值為土.

25

題型四：求線面角

L（2021年高考浙江卷?第19題）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面488是平行四邊形，

N4BC=120。,4B=1,BC=4,P4=屈,M,N分別為8cpe的中點，PDA.DC.PMA.MD.

⑴證明：AB1PM；

⑵求直線力N與平面PD”所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；⑵巫.

解析：⑴在△DCM中，DC=\,CM=2,Z.DCM=60°，由余弦定理可得。M=G，

所以。,“2+。02=0/2,，?！?，。。.由題意0clp。且PQcOA/=O,.?./5C1平面PZM1,而

PMu平面所以。C_LPA/,又ABHDC,所以力B_LR”.

（2）由PMLMD,AB1PM，而與DM相交，所以PM_L平面ABCD,因為AM=不，所以

PM=2五,取/。中點E,連接用￡,則用及DW/M兩兩垂直，以點M為坐標(biāo)原點，如圖所示，建

立空間直角坐標(biāo)系，則A（-行,2,Q）,P（0,0,2場）,D（6,0,0）,M（0,0,0）,C（A-l,0）

又N為尸C中點，所以《看一支血，麗=（半母點.

由⑴得CO1平面,所以平面夕。M的一個法向量力=（0』,0）

___5

?nI俞?卻2而

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sine=扁玄=g25=~'

V4+4+2

2.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第20題）如圖，已知三棱柱A8c-4&G的底面是正三角形，側(cè)面88iGC是

矩形，M,仰分別為BC,81G的中點，P為4M上一點，過81G和P的平面交A8于E,交47于F.

（1）證明：且平面44MN_LF&GF：

（2）設(shè)。為△481J的中心,若40〃平面EBiQF,且4。=48,求直線8月與平面4AMN所成角的正弦

值.

【答案】（1）證明見解析；（2）業(yè)1.

10

解析：⑴丁M,N分別為BC,4G的中點，

MN//BB、

又

:.MNI/AA、

在△ABC中，M為8c中點，則4cl.4V/

又?.?側(cè)面84GC為矩形，

BC1BB、

MNi/BB\

MNIBC

由MVc/A/=MV/Mu平面//MN

/.8C_L平面44"N

又?;,且與G<X平面45C,BCu平面4BC,

〃平面ABC

又BCu平面且平面EBC/c平面4=

BCJ/EF

EF//BC

又丁3C_L平面

Ebu平面E?C尸

平面EB.C.F1平面A】AMN

（2）連接NP

Cl

???40〃平面Eqc/,平面4ONPc平面EBCF=NP

??.AO//NP

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面4NMAc平面ABC=AM,面4NMAc平面J,從孰=4N

ON//AP

故：四邊形0NP/1是平行四邊形

設(shè)△XBC邊長是6m（〃？＞0）

可得：ON=AP,NP=A0=AB=6m

。為△44G的中心，且星G邊長為6〃？

二.ON——x6xsin60°-

3

故：ON=AP=&

???EFUBC

.AP_EP

.△_EP

,,藐=石

解得：EP=m

在Bq截取B[Q=EP=m,故QN=2m

B、Q=EP且B\QHEP

.?.四邊形片。尸￡是平行四邊形，

/.B.E//PQ

由⑴AG，平面

故4QPN為B}E與平面AAMN所成角

在必△0PV，根據(jù)勾股定理可得：PQ=y]QN2+PN2=7(2w)2+(6/rz)2=2VlOw

.QN2mVio

PQ2阿i10

直線片上與平面44MN所成角的正弦值：叵.

10

【點睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證

線面垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.

3.(2020北京高考?第16題)如圖，在正方體48CO-4與G"中，E為的中點.

(I)求證：平面力?！?；

(II)求直線44與平面AD.E所成角的正弦值.

2

【答案】(I)證明見解析；(II)；.

【解析】(1)如下圖所示:

在正方體力3c。一4片弓。中，/出〃44且44=44,44〃G。且44=GA，

.?./8〃€］口且力8=。1%,所以，四邊形為平行四邊形，則

8G(Z平面力"E,4"u平面力O|E,8CJ/平面力；

(H)以點力為坐標(biāo)原點，AD,AB、所在直線分別為x、N、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系4-kz,

設(shè)正方體力8c0-48GA的棱長為2,則4(0,0,0)、4(0,0,2)、4(2,0,2)、￡(0,2,1),福=(2,0,2),

荏=(0,2,1),

設(shè)平面力。]￡的法向量為〃=（x,y,z）,由黑?得，；

[n-AE=0[2y+z=（）

4_2

令z=-2,則x=2,y=\則；;=（2』,-2）.3^2--3,

2

因此，直線力4與平面4）田所成角的正弦值為2.

4.（2019?浙江?第19題）如圖，已知三棱柱力4C—44￡,平面力/CG-L平面48C,480=90。，

Z5/1C=30°,

AyA=A}C=AC,E,尸分刑是4C,月蜴的中點.

（I）證明：EFA.BC,

（II）求直線EF與平面44c所成角的余弦值.

【答案】【意圖】本題主要考查空間點、線、面的位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，同時考

查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。

【解析】解法一：（I）連接4E，因為力/二4。，七是4C的中點，所以4EJL4C.

又平面4/1CG1平面4?c,%Eu平面%/eq,

平面4/CGn平面/出C=4C,所以4EJ■平面/BC,則4EJ_8C.

又因為A】F"AB,ZJ5C=90°,故BC工4F.

所以8C_L平面4".因此E/18c.

(11)取8。中點6,連接EG,GF,則EG%是平行四邊形.

由于4E1平面/8C,故力￡_LEG,所以平行四邊形EGF4是矩形.

由(I)得4。_1平面則平面4〃C_L平面EG尸4,所以E尸在平面48C上的射影在直線4G上,

連接4G交EF于0,則NEOG是直線EF與平面A.BC所成角(或其補角),

不妨設(shè)力。=4,則在Rt^MEG中，4￡=2囪，EG=0

由于。是4G的中點，故EO=OG=￥=拳，

EO?+0G2-EG?3

所以cosZ.EOG=

2xEOxOG5

因此，直線EF與平面4"。所成,角的余弦值為

解法二：(I)連接4E,因為44=4。，E是/C的中點，所以4E_L/IC.

又平面A.ACC,J_平面ABC,A、Eu平面A.ACC,,

平面4/CGD平面48C=4C,所以

A{E_L平面ABC.

如圖，以點E為原點，分別以射線EC,EAi為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系￡-xyz.

不妨設(shè)力。=4,則4僅,0,2、行)，5(73,1,0),%收3,2揚，F(xiàn)吟等回,。(0,2,0)

因此，弄=(8,3,26)，5C=(-73,1,0),

22

由麗?福=0,得EF工BC.

(II)設(shè)直線EE與平面44c所成角為0,

由(【)得於=(-石,1,0),4C=(0,2,-2x/3)

設(shè)平面48c的法向量〃=(x,y,z),則《一,

A1C*n=y-x/3z=0.

取〃二(1,道,1),故

八\EF-n\4

sin0=4=——匚=-,

IS?"I5

3

因此，直線E尸與平面4夕C所成角的余弦值為右

5.(2019?天津?理?第17題)如圖，力￡_!.平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD1.AB,AB=AD=LAE=BC=2.

(I)求證：BF〃平面力DE；

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(III)若二面角E-BD-F的余弦值為求線段CF的長.

3

【答案】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向

量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分.

依題意，可以建立以4為原點，分別以方，而，公的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐

標(biāo)系(如圖)，可得4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),￡>(0,1,0),￡(0,0,2).設(shè)CF=h(A>0),

則

F(l,2,/0.

(I)證明：依題意，方二(1,0,0)是平面力。石的法向量，又旃=(0,2,彷，可得加2畝=0,又

因為直線平面力。所以4/7/平面4OE.

(II)解：依題意,而=(-1,1,0),詼=(-1,0,2),CE=(-1-2,2).

-\n?BD=0,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面8OE的法向量，則《_____即《=不妨令一建

n?BE=0,-x+2z=0,

可得3=（2,2/）.因此有cos（直——,外二尸CF格n二4

''lC4H9

4

所以，直線CE與平面8QE所成角的正弦值為

9

一[m-BD=0,r+y=0,

(III)解：設(shè)〃7