人教版八年級下冊初中數(shù)學(xué)全冊教案

人教版八年級下冊初中數(shù)學(xué)全冊教案（教學(xué)設(shè)計）

科目：數(shù)學(xué)

適用版本：人教版

適用范圍：【教師教學(xué)】

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16.1二次根式(1)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解二次根式的概念，并利用G(〃N0)的意義解答具體

題目.

過程與方法目標(biāo)：提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)

的科學(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：形如右(。/0)的式子叫做二次根式的概念.

2.難點與關(guān)鍵：利用“石(々N0)”解決具體問題.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感

悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識

上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起

了重要的作用。

2、講練結(jié)合法：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與平方根進(jìn)行類比，獲得解決

問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題

格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的模型，形成有

效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀

能力。

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3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活

動中的交流與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小

組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數(shù)產(chǎn)3,那么它的圖象在第一象限，橫、縱坐標(biāo)相等的

X

點的坐標(biāo)是___________?

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,4090。，那么AB

邊的長是__________.

老師點評：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即所以f=3.因為點在第一象限，所以

x=x/3,所以所求點的坐標(biāo)（6,6）.

問題2：由勾股定理得AB二標(biāo).

二、探索新知

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很明顯6、都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方

根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如右（。20）的

式子叫做二次根式，稱為二次根號.

議一議：

1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)。<0,&有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、皿、&

X

（Q0）、次、啦、-&、一!一、J7+7（X三0,>20）.

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“一”；第二，被開方

數(shù)是正數(shù)或。.

解:二次根式有:叵、G（x>0）sVo、-夜、［x+y（xNO,痔0）；

不是二次根式的有：3、1、蚯、一--.

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時，ViT二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以版-12

0,677才能有意義.

解：由得

當(dāng)X>g時，二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

三、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時，歷行十—匚在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

x+1

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分析：要使^/^十—］在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足中的

X+1

2x+3,0和——中的x+1六0.

x+l

AFdgez=f2x+3>0

解：依題意，得《1八

x+l/0

由①得：x>--.

2

由②得：xK-1.

當(dāng)9且X六?1時，J2X+3+—；在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

例4（1）已知），=及=7+4工+5,求工的值.（答案：2）

y5

⑵若"TTT+>/^二1二0,求小%網(wǎng)逐的值.（答案⑵

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（"N0）的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-x/7B.V7C.\/xD.x

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A.>/4B.6C.x/sD.一

x

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.后C.1D.以上皆不對

二、填空題

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1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計需

要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

2.當(dāng)x是多少時，叵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

x

3一若百二(+^/^^有意義，貝IJJF=.

4.使式子J-(x-5)2有意義的未知數(shù)x有()個.

A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知。、b為實數(shù),且序？+2jl0-2a?+4,求〃、6的值.

答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.G(〃20)2.G3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為七則0.2?=1,解得：戶石.

3

4A.2x+3N0xN—

2.依越息傳：I,2

xwO

3叵坦+/在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

.?.當(dāng)且xKO時,

2X

3.-4.B5.a=5,b=-4

3

板書設(shè)計：

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16.1二次根式⑴

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結(jié)

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16.1二次根式（2）

教學(xué)內(nèi)容

1.G（々NO）是一個非負(fù)數(shù)；

2.（-ja）2=a（心0）

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解&（〃N0）是一個非負(fù)數(shù)和（&）（。20）,并利

用它們進(jìn)行計算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出G（。20）是

一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（&）（aNO）；最

后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)

的科學(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：4a（〃》0）是一個非負(fù)數(shù)；（后）2=4及其運(yùn)用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出右（。20）是一個非負(fù)數(shù)；用探

究的方法導(dǎo)出（右）2=。3,0）.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感

悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識

上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起

了重要的作用；

2、講練結(jié)合法:在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀、類比，獲得解決問題的方法

后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

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學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生理解&（。，0）是一個非負(fù)

數(shù)和

（6）2=。（《N0）,形成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀

能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活

動中的交流與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小

組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)。20時，G叫什么？當(dāng)時，右有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：W（。三0）是一個什么數(shù)呢？

老師點評：

?（。之0）是一個非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

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("L二；(后)2=；(囪)2=；(73)

2_?

—/

(￡)2=—；02=——；(KI：——.

老師點評："是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，"是一個平方

等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(")2=4.

同理可得：(&1=2,14)2=9,(6)2=3,(J1)2=1,(R)

2=2,(④)2=0,所以

2

(4a)2=a(aNO)

例1、計算

1.(J|)22.(3石)23.(g)24.(')2

分析：我們可以直接利用心2=a(。，0)的結(jié)論解題.

解：*)2=：，(3>5)2=32.(75)2=32-5=45,

■V(爭三零《

三、鞏固練習(xí)

計算下列各式的值：

阿閭用⑹闋

(3石”5周

四、應(yīng)用拓展

例2、計算

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1.(x/TTT)2(40)2.(77)23.("2+2a+1)2

4.(V4X2-12X+9)2

分析：⑴因為00,所以x+l>0；(2)a2^0；(3)a2+2a+\=(a+1)

NO；

(4)4A12X+9=(2X)2-2-2X-3+32=(2X-3)2^0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(G)2=。(〃NO)的重要結(jié)論解題.

解：⑴因為xNO,所以x+l>0,

(Vm)2=x+i.

(2)-a2^o,A(V7)2=a2.

(3)'.'a2+2a+\=(〃+l)2,(a+1)2^0,.,.a2+2a+\^0,

da2+2/+1=a1+2a+1.

(4)-.-4X2-12X+9=(2X)2-2-2X-3+32=(2X-3)2,(2x-3)2^0,

.?.4『-12x+9,0,(V4x2-12x4-9)MA12X+9.

例3、在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)』-3(2)X4-4(3)2f-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.y/a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

2.(6)2=。(心0);反之:斫(石)2(姬0).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

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1.下列各式中而、底、病二I、yia2+b2xVW2+20.7^144,二次

根式的個數(shù)是().

A.4B.3C.2D,1

2.數(shù)。沒有算術(shù)平方根，則。的取值范圍是().

A.a>0B.心0C.G<0D.a=0

二、填空題

1.(-V3)2=.

2.已知而T有意義，那么是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計算

(1)(@2⑵.(6)2⑶(176)2⑷卜圖.

⑸(2百+3@(2層3揚(yáng)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)1(4)x(Q0)

6

3.已知Jx-y+l+VT^=O,求爐的值.

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)f?2(2)X4-9(3)3f?5

答案：一、1.B2.C

-s1.32,非負(fù)數(shù)

三、1.(1)(79)2=9(2)-(V3)2=-3(3)(-V6)2=lx6=-

242

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2

(4)卜3圖=9X1=6(5)-6

2.(1)5=(>/5)2；(2)3.4=(月)2;(3)1=(￡)2；⑷廣

oV6

(石)2(注0)

Jx-y+l=0Jx=3”

3.<xy=y=S211

x-3=01y=4

4.(1)AT-2=(X+V2)(x-\/2)

(2)x4-9=(f+3)(AT-3)=(f+3)(x+y/3)(x?百)

⑶略

板書設(shè)計:

16.1.二次根式（2）

情境引入例1學(xué)生板演

1.y[a(心0)是一個非負(fù)數(shù)；例2

2

2.(4a)=a（心0）；

反之:a=(4a)2（心0）.例3小結(jié)

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16.1二次根式（3）

教學(xué)內(nèi)容:、必=。（々NO）

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解后=〃（。20）并利用它進(jìn)行計算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/二。（。三0）,并利用這個結(jié)

論解決具體問題.

情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)

的科學(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：標(biāo)-a（〃N0）.

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清時，后二〃才成立.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感

悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識

上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起

了重要的作用；

2、講練結(jié)合法:在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配

以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟（。20）,形成

有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀

能力。

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3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活

動中的交流與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小

組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入

1.形如&（〃，0）的式子叫做二次根式；

2.&（〃，0）是一個非負(fù)數(shù)；

3.（8）2=a（心0）

那么，我們猜想當(dāng)。N0時，是否也成立呢？下面我們就來探究這個

問題.

二、探究新知

填空：

（老師點評）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到

亞二2；Vo.oi2=0.01；

因此，一般地：（""）

例1、化簡

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⑴囪(2)斤斤⑶V25(4)7^37

分析：因為⑴9=32,(2)(⑷292,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用二a(。20)去化簡.

解：⑴也=居=3(2)g7="=4

(3)昭=后=5(4)必產(chǎn)二療二3

三、應(yīng)用拓展

例2、填空：當(dāng)時，"/=；當(dāng)。＜0時，"=_______,并根據(jù)

這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若G=a,則?？梢允鞘裁磾?shù)？

(2)若后=0則。可以是什么數(shù)？

(3)標(biāo)則。可以是什么數(shù)？

分析：???//=〃(。20),??.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格

就不行，應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當(dāng)。W0時，

4^=yj(-a)2,那么?。20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)

(1)、(2)可知而二|a|,而|。|大于或等于4只有。＜0時才能使

＞a.

解：⑴因為"二a,所以〃N0.

(2)因為所以〃W0.

(3)因為當(dāng)時要使病＞。，即使。＞4所以〃不存在；當(dāng)

。＜0時，\[a^=-a,要使即使-〃＞〃，。＜0.綜上，?＜0.

例3、當(dāng)x＞2,化簡J(X-2)2?3(1—2x)2

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分析：（略）

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：后=a（〃N0）及其運(yùn)用，同時理解當(dāng)。<0時，

的應(yīng)用拓展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

「屆+國的值是（）.

22

A.0B.yC.4-D.以上都不對

2”20時，萬、斤彳、-病，比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確

的是（）.

A.\[a^=yl（-a）2B.后>?證

c.4^<yj（-a）2<-4^D.-4^>V?=7（-a）2

二、填空題

1.-V0.0004=.

2.若廊；是一個正整數(shù)，則正整數(shù)機(jī)的最小值是_______.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)。=9時，求4+川-2夕+々2的值甲、乙兩人的解答如

下：

甲的解答為：原式=4+二”+（\-a）=1；

乙的解答為：原式=〃+4-4）2.a+（a-\）=2tz-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是_________.

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2,若|1995-4|+>/a-2000=a,求4-19952的值

（提示：先由。-2000,0,判斷1995-4的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對

值）

3.若-3WX02時，試化簡|六2|+J（x+3>+，y2-10》+25。

答案:一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲沒有先判定1-。是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

2.由已知得。?|2000B0,02000

所以上1所5+或一2000=4,7?-2000=1995,6?-2000=19952,

所以?-19952=2000.

3.10-x

板書設(shè)計:

16.1二次根式（3）

情境引入例2學(xué)生板演

V?=a（心0）例3

例1練習(xí)小結(jié)

16.2二次根式的乘除⑴

?模式介紹

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“探究式教學(xué)”是以自主探究為主的教學(xué).它是指教學(xué)過程是在教師的啟發(fā)

誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主探究或合作討論為前提，以現(xiàn)行教材為基本探究內(nèi)

容，以學(xué)生周圍世界和生活實際為參照對象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)

疑、探究、討論問題的一種教學(xué)形式.學(xué)生對當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容中的主要知識點進(jìn)行

自主學(xué)習(xí)、深入探究并進(jìn)行小組合作交流，以自我獲取，自我求證的方式深化

知識的理解和運(yùn)用.從而較好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于認(rèn)知目標(biāo)與情感目標(biāo)要求的

一種教學(xué)模式.其中認(rèn)知目標(biāo)涉及與學(xué)科相關(guān)知識、概念、原理與能力的掌握；

情感目標(biāo)注重科學(xué)素養(yǎng)與道德品質(zhì)的培養(yǎng).

探究式教學(xué)的課程環(huán)節(jié)：

創(chuàng)設(shè)情境——啟發(fā)思考一自主探究——協(xié)作交流——總結(jié)提高

?思路說明

由數(shù)據(jù)引出&?6;而(a>0,ft>0),并利用逆向思維而=6?花

(^>0,^>0)讓學(xué)生感受到到等式的可逆性，從而形成結(jié)論是否可逆的思考方

式，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考深度，提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

?教材分析

本章內(nèi)容“二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它與己

學(xué)內(nèi)容“實數(shù)”“整式”“勾股定理”緊密聯(lián)系，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直三角

形”、“一元二次方程”、“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的不等

式、函數(shù)以及解析幾何等大部分做好準(zhǔn)備.通過本章通過對二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法

則、運(yùn)算規(guī)律等探究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握認(rèn)識

事物的一般規(guī)律。本章內(nèi)容無論在知識、數(shù)學(xué)思考方法上，還是在對學(xué)生的能力培養(yǎng)上都

是非常重要的.

?教學(xué)目標(biāo)

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【知識與能力目標(biāo)】

1.理解&?耳=4cib(a>0,/?>0),4ab=4a-4b(?>0,b>0),并利用它

們進(jìn)行計算和化簡.

2.利用逆向思維而二6?〃(?>0,/7>0)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡.

3.法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算.

【過程與方法】

1.學(xué)生在探索過程中，學(xué)會觀察、分析、總結(jié)歸納，學(xué)會思考問題，進(jìn)一步培

養(yǎng)學(xué)生觀察能力、歸納概括的能力.

2.通過二次根式的乘法運(yùn)算，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.學(xué)生通過分析、總結(jié)、歸納學(xué)會二次根式的乘除運(yùn)算，并能靈活運(yùn)算，感受

成功.

2.體驗數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學(xué)習(xí)活動中學(xué)會與

他人合作交流，培養(yǎng)學(xué)生求實創(chuàng)新和集體協(xié)作的精神.

?教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

理解石?揚(yáng)(d>0,/?>0),yfab=\fa-4b(?>0,Z?>0)并運(yùn)用它進(jìn)

行計算.

【教學(xué)難點】

=箍(a>0,b>0)的相關(guān)計算.

?課前準(zhǔn)備

教學(xué)PPT

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?課時安排

1課時

?教學(xué)過程

(一)知識回顧

1、你認(rèn)為什么樣的式子是二次根式?試舉一例

2、二次根式有哪些基本性質(zhì)？

(-)情境引入

L一個長方形的長是逐cm,寬是岳cm,這個長方形的面積是多少？

解：長方形的面積為小X后上/

思考：這個結(jié)果能否化簡？如何化簡？

(三)探索新知

計算:(1)V16xV9=716x9=

⑵""舊=----行=一

上述結(jié)果具有什么規(guī)律？利用規(guī)律進(jìn)行計算

(l)V2x^=(2)x/5xV7=

思考：J(-4)X(-9)=x0是否成立？

歸納：一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a-y[b=>/aK.(^-0,/)>0)

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.

推廣：石”=\ja?b…k(a>0,b>0....k>0)

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解決問題瓜x石=46x3=3>/2

(四)例題講解

例1,計算

(l)V3xV5(2)V3xV12(3)gx厲(4)4,必

二次根式的乘法法則G?揚(yáng)二(?>o,z?>o),

反過來，可以得到=&?耳(?>0,b>0)

文字?jǐn)⑹觯悍e的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

利用這個等式可以化簡一些根式.

例2.化簡

(1)74x121(2)722X42X8(3)^(-2)X(-8)

注意根式運(yùn)算的結(jié)果中，被開方數(shù)應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式

(五)總結(jié)分享

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的積和積的算術(shù)平方根

4a-4b=4ab(a>0,Z?>0),

4ab=>/a-y/b(a>0,b>0)

2.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數(shù)盡可能分解成幾個平方數(shù).

(2)應(yīng)用公式后?折=4ab(應(yīng)0,b>Q),

(3)將平方項應(yīng)用二次根式的性質(zhì)化簡.

(六)鞏固新知

1.將正彘化簡，正確的結(jié)果是()

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A.6＞/2B.±6V2C.3A/8D.±3春

2.對于任意實數(shù)。，下列各式中一定成立的是()

A.Jtz，-1=y/a-T,\JCJ+\

B.J(a+6￥=4+6

C.J(-16).(-a)=-4后

D.V2V=5a2

3.下列計算中，正確的是()

A.(2V3I=2x3=6

B.—=V4=2

2

C.J(-9)X(-4)=\/36=6

D.,9+16=x/9+V16

4.設(shè)a=4i,b=6,用含a、b的式子表示反二一.

5.對于任意不相等的兩個實公〃，定義運(yùn)算※如下：［※人=應(yīng)2,那么

a-b

6^12=_.

6.若＞/?=4,6=5,且而＜0,則a-b=.

7.計算

(l)V6xV15xx/io；(2)5712x4^

⑶2疝x3』

7.如何I比較一7#和一6療的大??？

?板書設(shè)計

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16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法則：&?揚(yáng)=窺(?>0,厄0)

反過來可以得到］浜=??亞(a>0,Z?>0)

二.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數(shù)盡可能分解成幾個平方數(shù).

(2)應(yīng)用公式6?布=4ab(tz>0,h>0),

(3)將平方項應(yīng)用二次根式的性質(zhì)化簡.

?教學(xué)反思

在探究二次根式乘法的過程中，使學(xué)生在探究時，經(jīng)歷了觀察、實驗、歸

納、總結(jié)以及由具體到抽象、由特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，體會到了研究問題、

解決問題的方法，加深了對二次根式乘法法則的理解。

沒有刻意地增加難度，而立足于教材，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)新知，

使學(xué)生能準(zhǔn)確地把握學(xué)習(xí)重點，突破學(xué)習(xí)難點。

16.2二次根式的乘除(2)

?教材分析

本章內(nèi)容“二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它與己

學(xué)內(nèi)容“實數(shù)”“整式”“勾股定理”緊密聯(lián)系，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直三角

形”、“一元二次方程”、“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的不等

式、函數(shù)以及解析幾何等大部分做好準(zhǔn)備.通過本章通過對二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法

則、運(yùn)算規(guī)律等探究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握認(rèn)識

事物的一般規(guī)律。本章內(nèi)容無論在知識、數(shù)學(xué)思考方法上，還是在對學(xué)生的能力培養(yǎng)上都

是非常重要的.

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?教學(xué)目標(biāo)

【知識與能力目標(biāo)】

1.理解今有(?>0,於0)和導(dǎo)坐(?>0,b>0)及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

2.掌握最簡二次根式，及二次根式的乘除法的混合運(yùn)算.

【過程與方法】

1.學(xué)生在探索過程中，學(xué)會觀察、分析、總結(jié)歸納，學(xué)會思考問題，進(jìn)一步培

養(yǎng)學(xué)生觀察能力、歸納概括的能力.

2,通過一次根式的除法運(yùn)算和乘除混合運(yùn)算，提高學(xué)生分析問題、解決問題的

能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.學(xué)生通過分析、總結(jié)、歸納學(xué)會二次根式的乘除運(yùn)算，并能靈活運(yùn)算，感受

成功.

2.體驗數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學(xué)習(xí)活動中學(xué)會與

他人合作交流，培養(yǎng)學(xué)生求實創(chuàng)新和集體協(xié)作的精神.

?教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

\[a_[a[a_4a

理解[a>0,b>0)(?>o,b>0)及利用它們進(jìn)行計算和化

簡.

【教學(xué)難點】

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理解魯聆（介0,b>0）,聆啜（介0,理0）及利用它們進(jìn)行計算和化

簡.

?課前準(zhǔn)備

教學(xué)PPT

?課時安排

1課時

?教學(xué)過程

（一）知識回顧

1、二次根式有哪些基本性質(zhì)？

2、二次根式的乘法法則是什么？

（二）探究新知

1.化簡二次根式：

計算上述各式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，利用規(guī)律填空

一般地，對二次根式的除法規(guī)定為

聆書心。,八。）

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.

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（三）嘗試應(yīng)用

L計算吟⑵舟

4a_[a

二次根式的除法法則[a>0,b>0)

反過來，可以得到(在0,b>0)

文字?jǐn)⑹觯荷痰乃阈g(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的商.

2.化簡:⑴總⑵懵

注意根式運(yùn)算的結(jié)果中，被開方數(shù)應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

⑶等

3.化簡：

注意：在二次根式的運(yùn)算中，一般要求最后結(jié)果的分母中不含根式

歸納：什么是最簡二次根式？

1、被開方數(shù)不含分母；

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

（四）能力拓展

計算：折（后,4回

（五）總結(jié)分享

1.二次根式的除法法則:奈=監(jiān)

(a>0,b>0)

算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根。

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2.二次根式的除法法則的逆用:聆］(a>0,b>0)

商的算術(shù)平方根等于被除式與除式的算術(shù)平方根的商。

3.最簡二次根式需要滿足哪些條件？

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

(六)鞏固新知

1.下列計算正確的是()

A.3V3-V3+2V3=4R.5V2+V2=10C.(d]=-2D.2-V2=72

2計算后*的結(jié)果是

/八、...0.09x169

(x>0)；(z3)J--------

'70.64x196

6.計算：

7.化簡下列各式：

⑴拚”0)；

(2)梏(地b加,c>0)；

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?板書設(shè)計

16.2.2二次根式的乘法

一、二次根式的除法法則:堵二丫不

（?>0,b>0]

算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根。

二次根式的除法法則的逆用：積=亨

（應(yīng)0,b>0）

商的算術(shù)平方根等于被除式與除式的算術(shù)平方根的商。

三、最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

?教學(xué)反思

從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)組織教學(xué)，類比二次根式的乘法法則，推理出二次根式

的除法法則。促進(jìn)正向遷移，同化新知，鞏固新知。

尊重學(xué)生解決問題的方法的多樣性，鼓勵學(xué)生從多角度思考問題。

營造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，注意讓學(xué)生在新知識探究的過程中提高合情合理的

推理能力、表達(dá)能力、與人合作意識，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法等各方面的進(jìn)一步發(fā)

展。

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16.3二次根式的加減(1)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

過程與方法目標(biāo)：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式

進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.

情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

重難點關(guān)鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感

悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識

上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起

了重要的作用；2、講練結(jié)合法:在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與同類項進(jìn)

行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀

習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式加減的模型，形

成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀

能力。

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3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活

動中的交流與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小

組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X24-5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2.2/+/

教師點評：上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學(xué)的同類項合并.同類項

合并就是字母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)20+30(2)2瓜-3瓜+5瓜

(3)萬+2萬+反7(4)3>/3-2>/3+V2

老師點評：

(1)如果我們把正當(dāng)成X不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

2叵+3應(yīng)=(2+3)72=572

(2)把應(yīng)當(dāng)成y；

2瓜-3瓜+5瓜=(2-3+5)限4癢8&

(3)把4當(dāng)成z；

幣+2幣+亞不

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=幣+2幣+3出=(1+2+3)幣=6幣

⑷6看為x,&看為y.

3y/3-2y/3+yf2

=(3-2)V3+V2

=5/3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如3行與人表面上看是不

相同的，但它們可以合并嗎？可以的.

3及+次=3及+20=5及

35/3+V27=3A/3+3A/3=6>/3

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方

數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

例1.計算：⑴舟樂(2)VI晟+病7

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相

同的最簡二次根式進(jìn)行合并.

解：(1)瓜+曬=2收+3叵=(2+3)72=572.

(2)V16x+=4>/x-8Vx=(4+8)4x=12>/x.

例2,計算：(1)3a-9，1+3配；(2)(屈+同)+(配-

亞).

解：(1)3相-9￡+3厄=126-36+66=(12-3+6)6=156.

(2)(>/48+V20)+(巫-6)=7484-720+712-75

=46+2石+2石-石=6石+石.

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三、應(yīng)用拓展:

例3.已知4f+y24-6y+10=0,求（g+y?）?（/J'/?）的

值.

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2r?l）2+

（y-3）2=0,即產(chǎn):，y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項化成最

簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

,/4x^-4x+1+y2-6y+9=0

=2x\[x+^xy-x4x+5y/xy

=x>[x+6y/xy

當(dāng)下;，y=3時，

原式弓“卜6號與+38.

四、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次

根式；（2）相同的最簡二次根式進(jìn)行合并.

五、布置作業(yè)：

一、選擇題

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1.以下二次根式：①疝;②廳;③;④技中，與G是同類二次

根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=66；②?1萬=1；③叵+口=瓜=2亞；④

一7

華=2&,其中錯誤的有（）.

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題：

1.在■x/s、—\J15a、—q9。、J125、一J3a、3J0.2、-2—中，與

33aV8

島是同類二次根式的有.

2.計算二次根式5G?3揚(yáng)?76+9〃的最后結(jié)果是________.

三、綜合提高題：

1.已知逐=2.236,求（瘋-?）-（舊+［例）的值.（結(jié)果精確

到0.01）

2.先化簡，再求值.

+-（以甘+，36到）,其中y=27.

答案:一、1.C2.A

二、1.->/75?-V3?2.6y/b-2ja

3a

三、1.原式=4石.36.3、石?U石二!石Q"LX2.236Q0.45.

55555

2.原式=6j^+3（4j^+6j^）=（6+3-4-6）弧=-弧,

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當(dāng)后方y(tǒng)=27時，^=J|x27=-1V2.

板書設(shè)計：

16.3.二次根式的加減（1：

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的加減法則例3

例1練習(xí)小結(jié)

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16.3二次根式的加減(2)

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：運(yùn)用二次根式的化簡解應(yīng)用題.

過程與方法目標(biāo)：通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根

式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題.

情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

重難點關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)

鍵點.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感

悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識

上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起

了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與整式的加

減進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的

閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的加減模型，形

成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀

能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活

動中的交流與合作。

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4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小

組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把之歸為兩個步驟：

第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次

根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示的RtaABC中，4B=90。，點P從點B開始沿BA邊以1厘

米/?秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速

度向點C移動.問：幾秒后APBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘

米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后APBQ的面積為35平方厘米，那么PBr,BQ=2x,根據(jù)

三角形面積公式就可以求出工的值.

解:設(shè)x后aPBQ的面積為35平方厘米，

貝IJ有PB=x,BQ=2x.

依題意，得《x2r=35

2

f=35

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x=x/35

所以后秒后,aPBQ的面積為35平方厘米.

PQ=4PB?+802=J/+4f==45x35=5幣

答：后秒后4PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5近厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材(精確到0.1m)?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需

知道這四段的長度.

解：由勾股定理，得

AB=JAD?+BD?=V42+22=向=2逐

BC=y]BD2+CD2=j22+<=6

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=26十6+5十2

=35/5+7

=3x2.24+7213.7(m)

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.

三、應(yīng)用拓展

例3.若最簡根式孫保育與根式八曲-式+64是同類二次根式,求

%b的值.

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（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相

同；事實上，根式劭2不是最簡二次根式,因此羽亞新不育

化簡成|b|-d2a-b+6,才由同類二次根式的定義得3a-b=2,2〃-b+6=4〃+3b.

解：首先