專題04 方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）（原卷版）

第二部分方程（組）與不等式（組）

專題04方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)

核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)三二元一次方程組的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)五一元二次方程及其解法

核心考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式

核心考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

核心考點(diǎn)八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)

例1（2022·青海·中考真題）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A．若acbc，則abB．若a2b2，則ab

ab1

C．若，則abD．若x6，則x2

cc3

41

例2（2021·安徽·中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且bac，則下列結(jié)論正確的是（）

55

A．a(chǎn)bcB．cbaC．a(chǎn)b4(bc)D．a(chǎn)c5(ab)

例3（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．

例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：

設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令xm，

等式兩邊都乘以x，得x2mx．①

等式兩邊都減m2，得x2m2mxm2．②

等式兩邊分別分解因式，得xmxmmxm．③

等式兩邊都除以xm，得xmm．④

等式兩邊都減m，得x＝0.⑤

所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.

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以上推理過(guò)程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．

知識(shí)點(diǎn)、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對(duì)稱性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

112

【變式1】（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)西校三模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足ac2b，．則下列結(jié)

acb

論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a(chǎn)，b，c不可能同時(shí)相等D．若a2，則b28c

abcabc

【變式2】（2022·安徽蕪湖·二模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc0,a,c，則下

22

列結(jié)論不成立的是（）

A．b0B．c=0C．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

x2xy

【變式3】（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

【變式4】（2021·江蘇·正衡中學(xué)一模）設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc3，a2b2c24，則

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

bccaab

【變式5】（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知abc0，且0，求證：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

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核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用

x1x2

例1（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程1的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6，得3x112x2①

去括號(hào)，得3x312x2②

移項(xiàng)，得3x2x231③

合并同類項(xiàng)，得x4④

以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

例2（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）某商品的進(jìn)價(jià)為每件10元，若按標(biāo)價(jià)打八折售出后，每件可獲利2

元，則該商品的標(biāo)價(jià)為每件______元．

例3（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某地交警在一個(gè)路口對(duì)某個(gè)時(shí)段來(lái)往的車輛的車速進(jìn)行監(jiān)測(cè)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

如下表：

車速（km/h）404142434445

頻數(shù)6815a32

其中車速為40、43（單位：km/h）的車輛數(shù)分別占監(jiān)測(cè)的車輛總數(shù)的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一輛汽車行駛的車速不超過(guò)40km/h的10%，就認(rèn)定這輛車是安全行駛．若一年內(nèi)在該時(shí)段通過(guò)此路

口的車輛有20000輛，試估計(jì)其中安全行駛的車輛數(shù)．

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知識(shí)點(diǎn)一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個(gè)一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時(shí)應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

若方程含有括號(hào)，則先去小括號(hào)，再去中

括號(hào)，最后去大括號(hào)。若去括號(hào)時(shí)括號(hào)前

去括號(hào)

是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均

要。

把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等式的一邊，其他

移項(xiàng)項(xiàng)移到另一邊。一般把含的項(xiàng)移到

等式左邊。移項(xiàng)要改變符號(hào)。

合并同類項(xiàng)把方程化成axb（a0）的形式。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識(shí)點(diǎn)二、一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

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驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

行程問題

追及問題:同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時(shí)不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的

路程.

儲(chǔ)蓄問題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤(rùn)

銷售問題總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,利潤(rùn)率=×100%,利潤(rùn)=售價(jià)-成本(或進(jìn)價(jià))=利潤(rùn)率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時(shí)間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長(zhǎng)率問

已知基礎(chǔ)量為a,增長(zhǎng)后為b,若設(shè)增長(zhǎng)率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問題十位a，個(gè)位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個(gè)位c，表示為100a+10b+c

【變式1】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)二模）在風(fēng)凰山教育共同體數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)中，為展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，M

老師組織了一個(gè)數(shù)學(xué)沉浸式互動(dòng)游戲：隨機(jī)請(qǐng)A，B，C，D，E五位同學(xué)依次圍成一個(gè)圓圈，每個(gè)人心里先

想好一個(gè)實(shí)數(shù)，并把這個(gè)數(shù)悄悄的告訴相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人把與自己相鄰的兩個(gè)人告訴自己的數(shù)的

平均數(shù)報(bào)出來(lái)．若A，B，C，D，E五位同學(xué)報(bào)出來(lái)的數(shù)恰好分別是1，2，3，4，5，則D同學(xué)心里想的那

個(gè)數(shù)是（）

A．3B．4C．5D．9

【變式2】（2022·浙江金華·二模）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段AB上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別

是－8，6，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A'落在射線CB上，并且A'B=4，則C點(diǎn)表示的數(shù)是（）

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A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【變式3】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以

點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A落在點(diǎn)B的右邊，并且AB3，則C點(diǎn)表示的數(shù)是______．

【變式4】（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大

利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計(jì)算

4671，將乘數(shù)46寫在方格上邊，乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位

數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相

乘，則k______．

【變式5】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)小王在兩個(gè)超市看到的商品促銷信息解決下列問題：

甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄

不超過(guò)300元不優(yōu)惠；

全場(chǎng)8.5折超過(guò)300元而不超過(guò)500元，打9折；

超過(guò)500元，500元部分優(yōu)惠10%，超過(guò)500元部分打8折．

(1)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是400元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款分別是多少？

(2)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是多少時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣？

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核心考點(diǎn)三二元一次方程的解法及其應(yīng)用

例1（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方——

九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例

如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是（）

A．9B．10C．11D．12

1016

例2（2020·甘肅天水·中考真題）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

例3（2022·貴州黔西·中考真題）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B

兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植

費(fèi)用為300元．

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和

90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何

安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．

第7頁(yè)共28頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)一、二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個(gè)未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無(wú)數(shù)組解

方程知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。個(gè)未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代

入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)變形后可

以使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未

知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時(shí)依據(jù)方程自身特點(diǎn)，靈活運(yùn)用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí)，選擇代入消元法

較簡(jiǎn)單。

當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時(shí)，選擇加減消元法較簡(jiǎn)單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡(jiǎn)，快速解題。

知識(shí)點(diǎn)二、三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的

次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

第8頁(yè)共28頁(yè).

【變式1】（2022·廣東·華南師大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）2互為相反數(shù)，那么x,y的值為（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

4x3y6

【變式2】（2022·廣東·揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果關(guān)于x，y的方程組的解是整數(shù)，那么

6xmy26

整數(shù)m的值為（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【變式3】（2021·四川成都·三模）已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，則m的最小值為_________________．

2axby40x1

【變式4】（2022·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則

axby10y1

2a－b＝______．

【變式5】（2022·河南洛陽(yáng)·二模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本題常規(guī)的解題思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值．再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常

規(guī)思路運(yùn)算量較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)x，y的系數(shù)與所求代數(shù)式中x，y的系數(shù)之間的關(guān)系，

本題還可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃握w求得代數(shù)式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．

問題解決：

2xy6

(1)已知二元一次方程組，則xy值為，xy的值為．

x2y9

(2)某班組織活動(dòng)購(gòu)買獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本

日記本共需58元．則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

(3)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法

運(yùn)算．已知3*515，4*728，則1*1的值為．

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核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用

mx1

例1（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的方程3無(wú)解，則m的值為（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

11xa

例2（2022·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是

xx1x(x1)

__________．

例3（2020·新疆·中考真題）某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價(jià)比A款保溫杯多

10元，用480元購(gòu)買B款保溫杯的數(shù)量與用360元購(gòu)買A款保溫杯的數(shù)量相同．

(1)A、B兩款保溫杯的銷售單價(jià)各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B兩款保溫杯很快售完，該超市計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)這兩款保溫杯共120個(gè)，且A款保溫

杯的數(shù)量不少于B款保溫杯數(shù)量的兩倍．若A款保溫杯的銷售單價(jià)不變，B款保溫杯的銷售單價(jià)降低10%，

兩款保溫杯的進(jìn)價(jià)每個(gè)均為20元，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批保溫杯的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？

知識(shí)點(diǎn)一、分式方程的相關(guān)概念

定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別。

增根：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，使方程中的分母為0，這樣的根叫

方程的增根。

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知識(shí)點(diǎn)二、解分式方程

基本去分母，化分式方程為整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程兩邊同時(shí)乘以各分式的，化

解：最簡(jiǎn)公分母：x1x1

步驟為整式方程；

xx1x213

②解整式方程；

x2xx213③檢驗(yàn)，把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，

x2看計(jì)算結(jié)果是否為0，若結(jié)果不為0，說(shuō)明

此解是原分式方程的解；若為0，則為增根，

檢驗(yàn)：當(dāng)x2時(shí)，x1x10

原分式方程無(wú)解。

所以原分式方程的解為x2

驗(yàn)根方法一：利用方程解的定義，直接代回原方

方法程檢驗(yàn)；

方法二：把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，

看計(jì)算結(jié)果是否為0。

知識(shí)點(diǎn)三、分式方程的實(shí)際應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清等量關(guān)系。

設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出分式方程。

解：解分式方程

驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所得的解是否適合分式方程，又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問題。

答：完整作答（包括單位）

2、常見模型及關(guān)系式

路程

行程問題基本關(guān)系式：=時(shí)間

速度

常用關(guān)系式：（注意統(tǒng)一單位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=時(shí)間差；=時(shí)間差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作總量

工程問題基本關(guān)系式：=工作時(shí)間

工作效率

常用關(guān)系式：

第11頁(yè)共28頁(yè).

工作總量工作總量甲工作總量乙工作總量

=時(shí)間差=時(shí)間差

原工作效率改進(jìn)后工作效率甲工作效率乙工作效率

總價(jià)

銷售問題基本關(guān)系式：=數(shù)量

單價(jià)

總銷售金額總銷售金額

常用關(guān)系式：=數(shù)量差

變化后單價(jià)原單價(jià)

21

【變式1】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模）方程0的解為（）

x12x3

75

A．xB．x=1C．xD．x1

32

xaxa

1

【變式2】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組23無(wú)解，又使

x2a6

5ay

得關(guān)于y的分式方程1的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為()

y22y

A．4B．3C．2D．5

2m

【變式3】（2022·山東省淄博第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的分式方程2有增根，則m的值為

x3x3

______．

1ax1

【變式4】（2022·黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程2有解，則a的取值范圍是________．

x22x

【變式5】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功

著陸，三名航天員平安歸來(lái)，神舟十三號(hào)任務(wù)取得圓滿成功．飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”

模型．已知每個(gè)“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費(fèi)100元，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”

模型多5個(gè)．

(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

(2)飛箭航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型共200個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為30元，“天宮”模型的售價(jià)為15元．設(shè)

購(gòu)買“神舟”模型a個(gè)，銷售這批模型的利潤(rùn)為w元．

①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；

第12頁(yè)共28頁(yè).

1

②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天宮”模型數(shù)量的，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲

3

得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

核心考點(diǎn)五一元二次方程及其解法

例1（2022·四川雅安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則

c的值為（）

A．﹣3B．0C．3D．9

例2（2020·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一個(gè)根為x＝0，

則a＝___．

例3（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）（1）a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)

從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．

①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．

第13頁(yè)共28頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程及其解法

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)的系

數(shù)；c叫常數(shù)項(xiàng)。a，b，c是任意實(shí)數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開平方

2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法x2np

2

xnpp0

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對(duì)于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開平方法、

因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

73

【變式1】（2021·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）已知Mt2,Nt2t（t為任意實(shí)數(shù)），則M,N

55

的大小關(guān)系為（）

A．MNB．MNC．M=ND．不能確定

22

【變式2】（2021·山東濱州·三模）新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x﹣m)+k＝0與a2(x﹣m)+k＝0稱為“同

族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1

＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（）

A．2020B．2021C．2023D．2018

【變式3】（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）閱讀并回答問題：小亮是一位刻苦學(xué)習(xí)的同學(xué)．一天他在解方程x=-1

第14頁(yè)共28頁(yè).

時(shí)，突發(fā)奇想：x=-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i，使i2=-1，那么當(dāng)x2=-1時(shí)，有x=±i，從而x=±i

是方程x2=-1的兩個(gè)根．據(jù)此可知：方程x2-4x+5=0的兩根為__．(根用i表示)

【變式4】（2022·廣西南寧·一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此

abc

公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p，則

2

其面積Sppapbpc．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若p3，c2，則此三角形面

積的最大值是_________．

【變式5】（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數(shù)式x26x5的最小值．

2

x26x5x22x332325x34

2

∵x30

2

∴x344

∴當(dāng)x3時(shí)，x26x5有最小值4．

請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：

(1)求代數(shù)式x24x2的最小值；

(2)求代數(shù)式x26x9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；

(3)求證：無(wú)論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x210y26xy6x2y11的值都是正數(shù)．

第15頁(yè)共28頁(yè).

核心考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式

例1（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※bab2b，若關(guān)于x

的方程1※xk有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

2

例2（2022·山東日照·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且

3

x2x2，則m=__________．

1216

2

例3（2021·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x6x2m10有x1，x2兩實(shí)數(shù)根．

（1）若x11，求x2及m的值；

6

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿足x1x1？若存在，求出求實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

12m5

知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程根的判別式

0方程實(shí)數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實(shí)數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實(shí)數(shù)根

易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。

如：已知關(guān)于x的一元二次方程ax23x10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

第16頁(yè)共28頁(yè).

ab

【變式1】（2022·河南安陽(yáng)·二模）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行，2列，兩邊各加一條豎線，記成，

cd

ab24x3

并規(guī)定adbc，例如23412，則3的根的情況為（）

cd13xx1

A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根

【變式2】（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)一模）若關(guān)于x的一元二次方程kx22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）

A．k1B．k1C．k1D．k1且k0

22

【變式3】（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2m1xm0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2．若

22

x1,x2之間關(guān)系滿足x1x20，則m的值為__________．

【變式4】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2bx10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則

ab2

的值為________．

a24ab2

22

【變式5】（2022·湖北黃石·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x(2m3)xm0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若x1x26x1x2，求m的值．

第17頁(yè)共28頁(yè).

核心考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

22

例1（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若x1,x2是方程x2x30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2的值為（）

A．3或9B．3或9C．3或6D．3或6

xx

221

例2（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝

x1x2

2

x1+2x2﹣1，則k的值為_____．

例3（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問題：

材料1

2

為了解方程x213x2360，如果我們把x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=x2，則原方程可化為

2

y13y360，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為x1,22，x3,43．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做

換元法．

材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2m10，n2n10，且mn，顯然m，n是方程x2x10的兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，由書達(dá)定理可知mn1，mn1．

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程x45x260的解為_______________________；

(2)間接應(yīng)用：

已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2a47a210，2b47b210且a1b，求a4b4的值；

(3)拓展應(yīng)用：

111

已知實(shí)數(shù)x，y滿足：7，n2n7且n0，求n2的值．

m4m2m4

第18頁(yè)共28頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

【變式1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程x26xkx3有兩個(gè)解，

則k的取值范圍是（）

38

A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k＞

4

【變式2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中為a整數(shù)，且a0）；有下列

結(jié)論，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

M17

①若M·N中不含x2項(xiàng)，則a1；②若為整式，則a2；③若a是MN0的一個(gè)根，則a2．

Na24

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

mn

【變式3】（2022·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m，n滿足m23m1,n23n1,的值為______．

nm

【變式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a3b20，若關(guān)于x的一

11

2

元二次方程xaxb0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則的值為______．

x1x2

2

【變式5】（2022·湖北·黃石十四中模擬預(yù)測(cè)）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若

滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：

(1)通過(guò)計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．

第19頁(yè)共28頁(yè).

核心考點(diǎn)八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

例1（2021·四川巴中·中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)

BPAP

P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中

APAB

處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，

主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（）

A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）

C．x（20﹣x）＝202D．以上都不對(duì)

例2（2022·四川成都·中考真題）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x26x40的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是_________．

例3（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，

進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）

類別

A款鑰匙扣B款鑰匙扣

價(jià)格

進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025

銷售價(jià)（元/件）4537

(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；

(2)第一次購(gòu)進(jìn)的冰墩嫩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷

售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)

是多少？

(3)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售

利潤(rùn)為90元？

第20頁(yè)共28頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程的應(yīng)用

實(shí)際數(shù)量-基準(zhǔn)數(shù)量

（1）增長(zhǎng)率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

基準(zhǔn)數(shù)量-降低后達(dá)到數(shù)量

（2）降低率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

變化率問題

（3）設(shè)a為原來(lái)的量,m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù),b為增