專題09 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）（原卷版）

第三部分函數(shù)

專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點二與二次函數(shù)圖象有關的判斷

核心考點三與系數(shù)a、b、c有關的判斷

核心考點

核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關系

核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應用

核心考點六二次函數(shù)圖象的變換

新題速遞

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2

例1（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上．若

y1＜y2，則m的取值范圍為（）

33

A．m>2B．mC．m1D．m2

22

例2（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y(a1)x2，當x0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)

a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

例3（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=x22x3的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等

于m，則m的值為________．

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知識點：二次函數(shù)的概念及表達式

1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．

（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．

（3）交點式：，其中x，x是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．

yaxx1xx212

知識點：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）

b

對稱軸x=–

2a

b4acb2

頂點（–，）

2a4a

a的符號a>0a<0

圖象

開口方向開口向上開口向下

bb

當x=–時，當x=–時，

2a2a

最值

4acb24acb2

y最小值=y最大值=

4a4a

最點拋物線有最低點拋物線有最高點

bb

當x<–時，y隨x的增大而減?。划敭攛<–時，y隨x的增大而增大；當x>

2a2a

增減性

bb

x>–時，y隨x的增大而增大–時，y隨x的增大而減小

2a2a

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【變式1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過點1,0，0,1，頂點在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過點1,0，0,1，頂點在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級中學校考三模）如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA

繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A4,0，點P

是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．

【變式4】（2022·吉林長春·?？寄M預測）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱

2

為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A0,2，點C2,0，則互異二次函數(shù)yxmm與

正方形OABC有公共點時m的最大值是__________．

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【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線yax2k(a0,k0)與x軸交于A，B兩點(點B在點A

1

的右側(cè))，其頂點為C，點P為線段OC上一點，且PCOC．過點P作DE∥AB，分別交拋物線于D，E

4

兩點(點E在點D的右側(cè))，連接OD，DC．

(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(用含a，k的式子表示)

(2)猜想線段DE與AB之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

(3)若ODC90，k4，求a的值．

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核心考點二與二次函數(shù)圖象有關的判斷

2

例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）點x1,y1,x2,y2均在拋物線yx1上，下列說法正確的是（）

A．若y1y2，則x1x2B．若x1x2，則y1y2

C．若0x1x2，則y1y2D．若x1x20，則y1y2

例2（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)yx22的圖象與反比例函數(shù)

2

y的圖象的交點的橫坐標x0所在的范圍是（）

x

111133

A．0xB．xC．xD．x1

0440220440

222

例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對于拋物線y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，

給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點C0,1；②拋物線y3的對稱軸可由拋物線y1的對稱軸向右平移1

個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線y1的交點中，相鄰兩點

之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號是_______________．

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知識點、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小

完全相同，只是頂點的位置不同.

知識點、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2

b4acb2b4acb2

(1)公式法：yax2bxcax，∴頂點是（，），

2a4a2a4a

b

對稱軸是直線x.

2a

(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為yaxh2k的形式，

得到頂點為(h,k)，對稱軸是xh.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋

物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★

知識點、直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah2bhc).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)2的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程

yaxbxcxx1x2

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ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；

③沒有交點0拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為

k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

ykxn

的解的數(shù)目來確定：

2

yaxbxc

①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;

②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

2

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yaxbxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于

bc

x、x是方程ax2bxc0的兩個根，故xx,xx

1212a12a

22

22b4cb4ac

ABxxxxxx4xx

12121212aaaa

【變式1】（2022·四川瀘州·?？寄M預測）二次函數(shù)yax2bxc（a0）的自變量x與函數(shù)y的部分對

應值如下表：

x…101234…

yax2bxc…830103…

則這個函數(shù)圖像的頂點坐標是（）

A．(2,-1)B．1，2C．1,8D．4,3

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2

【變式2】（2022·山東日照·?？家荒＃┰OA2,y1，B1,y2，C2,y3是拋物線yx12上的三點，

則y1，y2，y3的大小關系為（）

A．y1y2y3B．y1y3y2

C．y3y2y1D．y3y1y2

22=2

【變式3】（2021·陜西西安·?？寄M預測）在同一坐標系中，二次函數(shù)y1a1x，y2a2x，y3a3x的圖

.

象如圖，則a1，a2，a3的大小關系為______（用“”連接）

【變式4】（2022·廣西·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，

0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍是______．

【變式5】（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線yax24ax2．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點坐標為_______；

(2)若當x滿足1x5時，y的最小值為6，求此時y的最大值．

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核心考點三與系數(shù)a、b、c有關的判斷

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線

x=1，有以下結(jié)論：①abc<0；②若t為任意實數(shù)，則有abtat2b；③當圖象經(jīng)過點(1,3)時，方程

2

axbxc30的兩根為x1，x2（x1x2），則x13x20，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

3

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+（ca≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x，

2

1

且經(jīng)過點（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點,y1，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b-3c=0；

2

④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例3（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）

兩點．則下列四個結(jié)論正確的有___（填寫序號）．

①4a+b＝0；

②5a+3b+2c＞0；

3

③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則a的取值范圍是a；

4

④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有

3個．

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知識點、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關系

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

bab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

b2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）

b2–4acb2–4ac>0與x軸有兩個交點

b2–4ac<0與x軸沒有交點

常用公式及方法：

（1）二次函數(shù)三種表達式：

表達式頂點坐標對稱軸

2

2b4acbb

一般式y(tǒng)axbxc,x

2a4a2a

頂點式y(tǒng)axh2kh,kxh

xxaxx2xx

交點式121212

yaxx1xx2,x

242

（2）韋達定理：若二次函數(shù)2圖象與x軸有兩個交點且交點坐標為（，0）和（，0），

yaxbxcx1x2

bc

則xx，xx。

12a12a

（3）賦值法：在二次函數(shù)yax2bxc中，令x1，則yabc；令x1，則yabc；

令x2，則y4a2bc；令x2，則y4a2bc；利用圖象上對應點的位置來判斷含有a、b、

c的關系式的正確性。

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【變式1】（2022·遼寧丹東·?？级＃┒魏瘮?shù)yax2bxc(a、b、c為常數(shù)，且a0)的x與y的部分

對應值如下表：（其中n1）

x31n

y33n

有下列結(jié)論：①a0；②4a2b10；③x3是關于x的一元二次方程ax2b1xc0的一個根；

2

④當3xn時，axb1xc0．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1

【變式2】（2022·四川廣安·統(tǒng)考二模）對稱軸為直線x1的拋物線yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，且a0)

如圖所示，小明同學得出了以下結(jié)論：①abc<0，②b24ac，③4a2bc0，④3ac0，

⑤abmamb(m為任意實數(shù))，⑥當x1時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為()

A．3B．4C．5D．6

2

【變式3】（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)yaxbxca0的圖象如圖所示．下列結(jié)論：

222

①abc0；②2ab0；③m為任意實數(shù)，則abambm；④abc0；⑤若ax1bx1ax2bx2

且x1x2，則x1x22．其中正確的有___________

【變式4】（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于A，B兩

點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x1．直線yxc與拋物線yax2bxc交于C，D兩點，D點在

x軸下方且橫坐標等于3，則下列結(jié)論：①abc<0；②3ac0；③xaxbab；④ax2b1x0

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的解集為0x3中正確的結(jié)論是______（只填寫序號）．

【變式5】（2022·河南·校聯(lián)考二模）已知拋物線ymx22mxn交x軸于A，B兩點交y軸于C點．

(1)若A1,0，C0,1．

①求該拋物線的解析式及點B坐標；

②設直線BC的解析式為ykxb，直接寫出不等式kxbmx22mxn的解集；

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點．若nm4，拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)

（不包含邊界）恰有7個整點，直接寫出m的取值范圍．

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核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關系

例1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A、B兩點，與y

軸交于點C，若OACOCB．則ac的值為（）

11

A．1B．2C．D．

23

2

例2（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）拋物線yaxbxca0的對稱軸是直線x=1，其圖象如圖所

22x,yx,y

示．下列結(jié)論：①abc<0；②4ac2b；③若11和22是拋物線上的兩點，則當x11x21

2

時，y1y2；④拋物線的頂點坐標為1,m，則關于x的方程axbxcm1無實數(shù)根．其中正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

例3（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yx26x5交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，

點Dm，m1是拋物線上的點，則點D關于直線AC的對稱點的坐標為_________．

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知識點：二次函數(shù)與一元二次方程的關系

1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．

2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．

3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；

（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；

（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．

【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學校考模擬預測）如果關于x的一元二次方程ax2bxc0有

兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，下列說法：

①方程x22x80是倍根方程；

1

②若x2mxn0是倍根方程，則mn或mn；

4

③若方程ax2bxc0是倍根方程，且相異兩點M2t,s，N4t,s都在拋物線yax2bxc上，則

方程ax2bxc0的一個根為2．

其中，正確說法的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

2

【變式2】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)yx2xmm0圖象與x軸有兩個交點x1,0，

2

x2,0x1x2，關于x的方程x2xm10有兩個非零實數(shù)根x3，x4x3x4，則下列關系式一定成立

的是（）

xx

14

A．x1x3x2x4B．01C．01D．x1x3x4x2

x3x2

【變式3】（2022·浙江寧波·?？寄M預測）已知關于x的方程x22bx3c0的兩個根分別是

m6m

x,x，若點A是二次函數(shù)yx22bx3c的圖象與y軸的交點，過A作ABy軸交拋物線于另

1222

一交點B，則AB的長為_____．

【變式4】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）的部分圖像

如圖所示，m，nmn是關于x的一元二次方程ax2bxc0的兩根，則下列結(jié)論正確的有______．（填

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序號即可）．

①abc<0

②7m6

③存在實數(shù)x，使得ax24bx20

551

④若x0時，y，則a

2248

【變式5】（2022·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點(2，0),(4，0)，與y軸交于點

(0，4)．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點x，y在該二次函數(shù)上．

3

①當y時，求x的值；

2

1

②當mxm2時，y的最小值為，求m的取值范圍．

2

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核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應用

例1（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F(xiàn)分別在邊

BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的△距離為x，DEF的面積為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致

是（）△

A．B．C．D．

例2（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）拋物線yx22mxm22與y軸交于點C，過點C作直線l垂直

于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點Mm1,y1，

Nm1,y2為圖形G上兩點，若y1y2，則m的取值范圍是（）

11

A．m1或m0B．mC．0m2D．1m1

22

x22x3(x2)

例3（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，函數(shù)y＝39的圖象由拋物線的一部分和一條

x(x2)

42

射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2

x1y1x2y2

＜x3）．設t＝，則t的取值范圍是_____．

x3y3

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知識點：二次函數(shù)的綜合

1、函數(shù)存在性問題

解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐

標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式

，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．

2、函數(shù)動點問題

（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數(shù)

綜合題．

（2）解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數(shù)表

達式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯

總成最終答案．

（3）解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或

拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關的條件進行

計算．

【變式1】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學?？寄M預測）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于點

A1，0、點B與y軸相交于點C0，3，下列結(jié)論：①b2；②B點坐標為3，0；③拋物線的頂點坐標

為1，3；④直線yh與拋物線交于點D、E，若DE2，則h的取值范圍是3h4；⑤在拋物線的對稱

軸上存在一點Q，使△QAC的周長最小，則Q點坐標為1，2．其中正確的有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

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【變式2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yx22mxm21與y

軸的交點為A，過點A作直線l垂直于y軸．將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，

，，

組成圖形G．點Mx1y1，Nx2y2為圖形G上任意兩點．若對于x1m3，x2m3，都有y1y2，

則m的取值范圍（）

A．0x3B．3x0C．x3D．3x3

【變式3】（2022·安徽合肥·合肥38中?？寄M預測）已知拋物線y＝x＋ax＋a（a為常數(shù)，a≠0）．

（1）若a＝2，則此拋物線的對稱軸為________

（2）設M（x1，y1）、N（x2，y2）是拋物線上的兩點，其中x1＜x2，當x1＋x2＞4時，都有y1＜y2，則a的

取值范圍是________

【變式4】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線yax24xca0經(jīng)過點

A3,4和B0,2．將拋物線在A、B之間的部分記為圖象M（含A、B兩點）．將圖象M沿直線x3翻折，

得到圖象N．若過點C9,4的直線ykxb與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個交點，則b的取值范圍

______．

【變式5】（2022·四川德陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax22xc與x軸分別交于

點A(1,0)和點B，與y軸交于點C0,3，連接BC．

(1)求拋物線的解析式及點B的坐標；

(2)如圖，點P為線段BC上的一個動點（點P不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，

求線段PQ長度的最大值．

(3)動點P以每秒2個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的

速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以點P，M，B，N為頂點的四邊形

是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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核心考點六二次函數(shù)圖象的變換

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)yax2bxca0,b24ac0的圖象是由函數(shù)

yax2bxca0,b24ac0的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則

下列結(jié)論正確的是（）

①2ab0；②c3；③abc0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y5有3個交點．

A．①②B．①③C．②③④D．①③④

例2（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線yx2kxk2的對稱軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向

右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則k的值是（）

A．5或2B．5C．2D．2

例3（2020·湖北武漢·中考真題）拋物線yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a<0）經(jīng)過A(2,0)，B(4,0)

兩點，下列四個結(jié)論：

2

①一元二次方程axbxc0的根為x12，x24；

②若點C5,y1，D,y2在該拋物線上，則y1y2；

③對于任意實數(shù)t，總有at2btab；

④對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2bxcp（p為常數(shù)，p0）的根為整數(shù)，則p的值只有

兩個．

其中正確的結(jié)論是________（填寫序號）．

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知識點：拋物線的平移

1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標為（h，k）．:

2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：

3．注意

二次函數(shù)平移遵循“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項）”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式

中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移

求出變化后的解析式．

知識點、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關于x軸對稱

yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

2.關于y軸對稱

yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

3.關于原點對稱

yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

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22

yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；

4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）

b2

yax2bxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

2a

22

yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．

5.關于點m，n對稱

22

yaxhk關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求

拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原

拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，

然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

【變式1】（2022·山東濱州·陽信縣實驗中學?？寄M預測）已知兩條拋物線P和Q的解析式分別是關于y與

22

x的關系式：P：yx22mxm2與Q：yx2mxm1．對上述拋物線說法正確的序號是（）

①兩條拋物線與y軸的交點一定不在x軸的上方；

②在拋物線P、Q中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；

③在拋物線P、Q中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向左或向右平移得到另一條拋物線；

④兩條拋物線的頂點之間的距離為1．

A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④

【變式2】（2022·廣東佛山·?？既＃┮阎獟佄锞€yx22tx2t2(t0)與y軸交于點A，將該拋物線平移，

使平移后的拋物線經(jīng)過點A，且與x軸交于B、C兩點，其中，點B的坐標為(t,0)．若線段OABC1，

那么t的值為（）

111

A．B．或1C．D．1或1

222

第21頁共27頁.

2

【變式3】（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線yaxbxca<0交x軸于點A、B，交y軸于點

C0，3，其中點B坐標為1，0，同時拋物線還經(jīng)過點2，5．

（1）拋物線的解析式為_____________；

（2）設拋物線的對稱軸與拋物線交于點E，與x軸交于點H，連接EC、EO，將拋物線向下平移nn0個

單位，當EO平分CEH時，則n的值為_____________．

【變式4】（2021·四川樂山·統(tǒng)考三模）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值

y，都滿足﹣M＜y＜M，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是

有界函數(shù)，其邊界值是1．

1

（1）判斷函數(shù)y＝（x＞0）是否為有界函數(shù)___（填“是”或“否”）；

x

3

（2）將函數(shù)y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，若≤t≤1則m

4

的取值范圍是___．

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【變式5】（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yax2bx6（a0）

1

與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，聯(lián)結(jié)BC，ABC的余切值為，AB8，點P

3

在拋物線上，且POPB.

(1)求上述拋物線的表達式；

(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點O和點P，新拋物線的對稱軸與x軸交于點E．

①求新拋物線的對稱軸；

②點F在新拋物線對稱軸上，且EOFPCO，求點F的坐標．

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【新題速遞】

1．（2022·江蘇無錫·?？家荒＃佄锞€y=x2向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋

物線的解析式是（）

2222

A．yx21B．yx21C．yx21D．yx21

2．（2022·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，直線l的解析式為yx4，它與x軸和y軸分別相交于A，B兩點，

點C為線段OA上一動點，過點C作直線l的平行線m，交y軸于點D，點C從原點O出發(fā)，沿OA以每秒1

個單位長度的速度向終點A運動，運動時間為t秒，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE（E，O兩點分別

在CD兩側(cè)）．若CDE和OAB的重